Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Все корни характеристического уравнения различны,следовательно существует базис из собственных векторовматрицы A системы.r rλ1 = 5 , ( A − λ1 E )h1 = 0 .280⎞⎛ −1 3⎜⎟A − λ1 E = ⎜ 0 − 1 − 3 ⎟⎜ −1 30 ⎟⎠⎝⎛ − 9⎞r ⎜ ⎟h1 = ⎜ − 3 ⎟ .⎜ 1⎟⎝ ⎠r rλ 2 = 4 + 3i , ( A − λ 2 E )h2 = 0 .A − λ2 E =⎯⎯→30⎞⎛ − 3i⎜⎟− 3⎟⎜ 0 − 3i⎜ −13 1 − 3i ⎟⎠⎝⎯⎯→⎛1 0 9⎞⎜⎟⎜ 0 1 3⎟ ,⎜ 0 0 0⎟⎝⎠дает⎛ 1 0 − 1⎞⎜⎟i ⎟ , дает⎜0 1⎜ 0 0 0⎟⎝⎠⎛1⎞r ⎜ ⎟h2 = ⎜ i ⎟ .⎜1⎟⎝ ⎠⎛ 1⎞⎛ 1⎞r⎜ ⎟⎜ ⎟rВ нашем случае xλ2 = h2 e (4 + 3i )t = ⎜ i ⎟e (4 + 3i )t = e 4t ⎜ i ⎟e 3it =⎜ 1⎟⎜ 1⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎛ cos 3t ⎞ ⎛ sin 3t ⎞ ⎞⎛1⎞⎜⎜⎟ ⎜⎟⎟⎜ ⎟4t4te ⎜ i ⎟(cos 3t + i sin 3t ) = e ⎜ ⎜ − sin 3t ⎟ + i⎜ cos 3t ⎟ ⎟ .⎜ ⎜ cos 3t ⎟ ⎜ sin 3t ⎟ ⎟⎜1⎟⎠ ⎝⎠⎠⎝ ⎠⎝⎝rrrrВектор-функции x 2 = Re x λ2 и x3 = Im x λ2 - действитель-ные решения системы.2.
Общее решение⎡ ⎛ cos 3t ⎞⎛ x⎞⎛ 9⎞⎛ sin 3t ⎞⎤⎜ ⎟⎜ ⎟ 4t ⎢ ⎜⎟⎜⎟⎥5t⎜ y ⎟ = C1 e ⎜ 3 ⎟ + e ⎢C 2 ⎜ − sin 3t ⎟ + C 3 ⎜ cos 3t ⎟⎥ . p⎜z⎟⎜ − 1⎟⎜ sin 3t ⎟⎥⎢ ⎜⎝ cos 3t ⎟⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝⎠⎦⎣29Пример 2.4. (2-41) Найти все действительные решения сис⎧e 2t⎪ x& = x + y +темы ⎨cos t .⎪⎩ y& = − 2 x + 3 y⎛ 1 1⎞⎟⎟ .f Матрица системы A = ⎜⎜⎝ − 2 3⎠1. Решаем характеристическое уравнение det ( A − λE ) = 0 .1− λ1= (1 − λ )(3 − λ ) + 2 = λ 2 − 4λ + 5 = 0, отку− 2 3−λда λ1, 2 = 2 ± i .2.
Все корни характеристического уравнения различны,поэтому существует базис из собственных векторов матрицыA системы.r rλ1 = 2 + i , ( A − λ1 E )h1 = 0 .A − λ1 E =⎛ −1− i 1 ⎞⎜⎜⎟⎟⎝ − 2 1− i⎠⎯⎯→1 i⎞⎛⎜1 − + ⎟ ,2 2⎟⎜0 ⎠⎝0r ⎛1 −h1 = ⎜⎜ 2⎝ 1даетi⎞r ⎛1 − i ⎞r ⎛ 1 ⎞⎟⎟⎟ , или h1 = ⎜⎜⎟.2 ⎟ , или h1 = ⎜⎜2 ⎠1 + i ⎟⎠⎝⎝⎠r⎛ 1 ⎞ (2+ i )tr⎟⎟eВнашемслучаеx λ1 ==h1e λ1t = ⎜⎜⎝1 + i ⎠⎛ ⎛ cos t ⎞ ⎛ sin t ⎞ ⎞⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎟⎟ + i⎜⎜⎟⎟ ⎟⎟ .e 2t ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟e it = e 2t ⎜⎜ ⎜⎜t−tt+t1icossincossin⎠ ⎝⎠⎠⎝⎝⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠rrrrВектор функции x1 = Re x λ1 и x 2 = Im x λ1 - действительные решения системы.3. Общее решение однородной системы⎛ x⎞⎛ cos t ⎞⎛ sin t⎞⎜⎜ ⎟⎟ = C1 e 2t ⎜⎜⎟⎟ + C 2 e 2t ⎜⎜⎟⎟ .⎝ y⎠⎝ cos t − sin t ⎠⎝ cos t + sin t ⎠304.
Решение неоднородной системы ищем методом вариации постоянных, полагая C1 = C1 (t ) и C 2 = C 2 (t ) .Подставляя′′′x& = C1 (t )e 2t cos t + C1 (t ) e 2t cos t + C 2 (t )e 2t sin t +′+ C 2 (t ) e 2t sin tи′′y& = C1 (t )e 2t (cos t − sin t ) + C1 (t ) e 2t (cos t − sin t ) +′′+ C 2 (t )e 2t (cos t + sin t ) + C 2 (t ) e 2t (cos t + sin t )в неоднородную исходную систему, получим для определе′′ния C1 и C 2 систему(())(())⎧ ′e 2t′2t2t=⎪C1 (t )e cos t + C 2 (t )e sin tcos t ,⎨⎪C ′ (t )e 2t (cos t − sin t ) + C ′ (t )e 2t (cos t + sin t ) = 02⎩ 1сокращаем оба уравнения на e 2t , и умножаем первое уравнение на cos t⎧⎪C ′ (t ) cos 2 t + C ′ (t ) sin t cos t=12,⎨ 1′⎪⎩C1 (t )(cos t − sin t ) + C 2 ′ (t )(cos t + sin t ) = 0к первому уравнению, умноженному на 2, прибавляем второе, умноженное на (cos t + sin t )⎧⎪C ′ (t ) cos 2 t + C ′ (t ) sin t cos t=112,⎨ ′2′22⎪⎩C1 (t ) cos t − sin t + C 2 (t )(cos t + sin t ) = 0ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на 2⎧⎪C ′ (t ) − C ′ (t ) = 212.⎨ ′⎪⎩C1 (t )(cos t − sin t ) + C 2 ′ (t )(cos t + sin t ) = 0′′Полученный из первого уравнения результат C1 = C 2 + 2′подставляем во второе уравнение 2⎛⎜ C 2 + 1⎞⎟ cos t = 2 sin t ,⎝⎠()31d cos tsin t ⎞⎛dt + c 2 =откуда C 2 (t ) = ⎜ − 1 +⎟dt + c 2 = − t −cos t ⎠cos t⎝= −t − ln cos t + c 2 ,аналогичнонаходим∫∫⎛ sin t ⎞C1 (t ) = ⎜1 +⎟dt + c1 = t − ln cos t + c1 .⎝ cos t ⎠Общее решение неоднородной системы⎛ x⎞⎛ cos t ⎞ 2t⎜⎜ ⎟⎟ = (t − ln cos t + c1 )⎜⎜⎟⎟e +⎝ y⎠⎝ cos t − sin t ⎠∫(− t − ln cos t + c 2 )⎛⎜⎜⎞ 2t⎟⎟e .
q⎝ cos t + sin t ⎠sin t2.6. Задачи для самостоятельного решенияНайти все действительные решения систем уравнений:⎧ x& = 4 x + 3 y⎪29. (2-01) ⎨ y& = 4 y − 3z, ( λ1 = 5 , λ 2,3 = 4 ± 3i ).⎪ z& = − x + 3 y + 5 z⎩⎧ x& = −2 x − y + z⎪30. (2-02) ⎨ y& = 2 x − 5 y + 2 z , ( λ1, 2,3 = −3 ).⎪ z& = 3 x − 2 y − 2 z⎩⎧ x& = 3x + 2 y⎪31. (2-03) ⎨ y& = 3 y + z, ( λ1 = 4 , λ 2,3 = 3 ± 2i ).⎪ z& = 2 x − 4 y + 4 z⎩⎧ x& = −4 x + 2 y − 3z⎪32. (2-04) ⎨ y& = −2 y + z, (λ1, 2,3 = −2) .⎪ z& = x − y⎩32⎧ x& = 3 x + y − 2 z⎪33. (2-11) ⎨ y& = 5 y − 3 z, ( λ1 = 2 , λ 2,3 = 3 ± i ).⎪ z& = − x + 3 y⎩⎧ x& = 6 x + y + 2 z⎪34.
(2-12) ⎨ y& = 2 x + 2 y + z , (λ1, 2,3 = 2) .⎪ z& = −8 x − 2 y − 2 z⎩⎧ x& = 4 x − 5 y + 5 z⎪35. (2-13) ⎨ y& = 3x − 2 y + 5 z , ( λ1 = −1 , λ 2,3 = 1 ± i ).⎪ z& = − x + 2 y − z⎩⎧ x& = 7 x + y + 2 z⎪36. (2-14) ⎨ y& = 2 x + 3 y + z , (λ1, 2,3 = 3) .⎪ z& = −8 x − 2 y − z⎩⎧ x& = −4 x + 2 y + 5 z⎪37. (2-21) ⎨ y& = 6 x − y − 6 z , (λ1, 2 = 1, λ3 = 2) .⎪ z& = −8 x + 3 y + 9 z⎩⎧ x& = x + y − z⎪38. (2-22) ⎨ y& = − x + 2 y − z , (λ1, 2 = 2, λ3 = 3) .⎪ z& = 2 x − y + 4 z⎩⎧ x& = 2 x + y + z⎪39. (2-23) ⎨ y& = −2 x − z, (λ1, 2 = 1, λ3 = 2) .⎪ z& = 2 x + y + 2 z⎩⎧ x& = 5 x − y − 4 z⎪40. (2-24) ⎨ y& = −12 x + 5 y + 12 z , (λ1 = −1, λ 2,3 = 1) .⎪ z& = 10 x − 3 y − 9 z⎩⎧ x& = −4 x + y⎪41. (2-31) ⎨ y& = x − 4 y − 2 z , (λ1 = −3, λ 2,3 = −2 ± i ) .⎪ z& = −5 x + 5 y + z⎩33⎧ x& = −3 x − z⎪42. (2-32) ⎨ y& = −4 x − 2 y − 3 z , (λ1 = 0, λ 2,3 = −1) .⎪ z& = 4 x + 2 y + 3z⎩⎧ x& = 4 x − 3 y + z⎪43. (2-33) ⎨ y& = x − 2 y + 3z , (λ1 = 2, λ 2,3 = 1 ± 2i ) .⎪ z& = 5 x − 5 y + 2 z⎩⎧ x& = − x + 2 y − z⎪44.
(2-34) ⎨ y& = − x − 3 y + z , ( λ1, 2,3 = −2) .⎪ z& = y − 2 z⎩⎧e 2t⎪ x& = x + y +45. (2-41) ⎨cos t ,⎪⎩ y& = −2 x + 3 y⎧⎪ x& = 2 x + y + t t e 3t,46. (2-42) ⎨⎪⎩ y& = − x + 4 y1⎧⎪ x& = y + cos t47. (2-43) ⎨,1⎪ y& = − x +sin t⎩⎧ x& = 3 x − 2 y,48. (2-44) ⎨t⎩ y& = 2 x − y + 15e t⎧ x& = −4 x + y + 2 z⎪49. (2-51) ⎨ y& = − y + z, (λ1 = −1, λ 2,3 = −1 ± i ) .⎪ z& = −6 x + 2 y + 2 z⎩⎧ x& = 3x + y − z⎪50.
(2-52) ⎨ y& = 4 x + 5 y − 2 z , (λ1 = 3, λ 2,3 = 1) .⎪ z& = 8 x + 6 y − 3z⎩34⎧ x& = −2 y − z⎪51. (2-53) ⎨ y& = 2 x + 4 y + 2 z , (λ1 = 2, λ 2,3 = 1 ± i ) .⎪ z& = −2 x − 2 y⎩⎧ x& = −7 x + 10 y + 8 z⎪52. (2-54) ⎨ y& = − x + z, (λ1 = 1, λ 2,3 = −2) .⎪ z& = −3x + 6 y + 4 z⎩⎧ x& = 3x + y + z⎪53. (2-61) ⎨ y& = x + 3 y + z , (λ1 = 2, λ 2,3 = 4) .⎪ z& = 2 x − 2 y + 4 z⎩⎧ x& = 3x − 3 y − 6 z⎪54. (2-62) ⎨ y& = y + 4 z, (λ1 = 3, λ 2,3 = −1) .⎪ z& = − y − 3z⎩⎧ x& = 2 x + y − z⎪55. (2-63) ⎨ y& = x + 3 y − z , (λ1 = 1, λ 2,3 = 2) .⎪ z& = x + 2 y⎩⎧ x& = −3 x − y⎪56.
(2-64) ⎨ y& = 4 x + y, (λ1 = −2, λ 2,3 = −1) .⎪ z& = 2 x + y − 2 z⎩2.7. Ответы:⎛ x⎞⎛ sin 3t ⎞⎛ cos 3t ⎞⎛ 9⎞⎟⎜ ⎟⎟⎜⎟5t ⎜4t ⎜4t29. ⎜ y ⎟ = C1e ⎜ 3 ⎟ + C 2 e ⎜ − sin 3t ⎟ + C3 e ⎜ cos 3t ⎟⎜z⎟⎜ sin 3t ⎟⎜ cos 3t ⎟⎜ − 1⎟⎠⎝ ⎠⎠⎝⎝⎝ ⎠35⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎤⎛ x⎞⎛1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥−3t ⎜ ⎟−3t ⎢30. ⎜ y ⎟ = C1e ⎜ 2 ⎟ + C 2 e ⎢t ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 0 ⎟⎥ +⎜z⎟⎜1⎟⎢ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣⎦+ C3 e−3t⎡ 2⎢t⎢2⎢⎣⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎜ 2 ⎟ + t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟⎥⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦⎛ 2⎞⎛ sin 2t ⎞⎛ cos 2t ⎞⎛ x⎞⎜ ⎟⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟4t3t3t31. ⎜ y ⎟ = C1e ⎜ 1 ⎟ + C 2 e ⎜ − sin 2t ⎟ + C 3 e ⎜ cos 2t ⎟⎜1⎟⎜ − 2 sin 2t ⎟⎜ − 2 cos 2t ⎟⎜z⎟⎝ ⎠⎝⎝⎝ ⎠⎠⎠⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎤⎛ x⎞⎛1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥− 2t ⎜ ⎟− 2t ⎢32.
⎜ y ⎟ = C1e ⎜ 1 ⎟ + C 2 e ⎢t ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟⎥ +⎜z⎟⎜ 0⎟⎢ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣⎦⎡ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎤⎢ t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥+ C 3 e − 2t ⎢ ⎜ 1 ⎟ + t ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ⎥2⎢ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎥⎣⎦⎛ 2 sin t + cos t ⎞⎛ x⎞⎛ 1⎞⎛ 2 cos t − sin t ⎞⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎟33. ⎜ y ⎟ = C1e 2t ⎜1⎟ + C 2 e 3t ⎜ 3 cos t ⎟ + C 3 e 3t ⎜ 3 sin t ⎟⎜ 2 sin t − cos t ⎟⎜z⎟⎜ 1⎟⎜ sin t + 2 cos t ⎟⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝⎠⎡ ⎛ − 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎤⎛ x⎞⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥34.
⎜ y ⎟ = C1e 2t ⎜ 0 ⎟ + C 2 e 2t ⎢t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ − 1⎟⎥ +⎜z⎟⎜ 2⎟⎢ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣⎦⎡ 2 ⎛ − 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎤⎢ t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥+ C 3 e ⎢ ⎜ 0 ⎟ + t ⎜ − 1⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎥2⎢ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1⎟⎠⎥⎣⎦⎛ 2⎞⎛ cos t − 2 sin t ⎞⎛ 2 cos t + sin t ⎞⎛ x⎞⎜ ⎟⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟−tttsin tcos t35. ⎜ y ⎟ = C1e ⎜ 1⎟ + C 2 e ⎜⎟⎟ + C3 e ⎜⎜ − 1⎟⎜⎜ − cos t ⎟⎜z⎟⎟tsin⎝ ⎠⎝⎝⎝ ⎠⎠⎠2t36⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎤⎛ x⎞⎛ 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎜ ⎟3t3t ⎢36. ⎜ y ⎟ = C1e ⎜ 0 ⎟ + C 2 e ⎢t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1⎟⎥ +⎜z⎟⎜ − 2⎟⎢ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣⎦⎡ 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞⎤⎢ t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥+ C 3 e ⎢ ⎜ 0 ⎟ + t ⎜ 1⎟ + ⎜ − 1⎟⎥2⎢ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1⎟⎠⎥⎣⎦⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎤⎛ x ⎞ ⎡ ⎛1⎞⎛ 1⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥ t⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟37. ⎜ y ⎟ = ⎢C1 ⎜ 0 ⎟ + C 2 ⎜ t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ⎟⎥ e + C3 ⎜ − 2 ⎟e 2t⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜ z ⎟ ⎢ ⎜1⎟⎜ 2⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎠⎦3t⎡ ⎛ 1⎞⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎤⎛ x⎞⎛ 2⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ 3t ⎢ ⎜ ⎟38.
⎜ y ⎟ = C1 ⎜ 1⎟e + ⎢C2 ⎜ 0 ⎟ + C3 ⎜ t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ ⎟⎥ e 2t⎜ ⎜ − 1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟⎥⎜z⎟⎜ − 3⎟⎢ ⎜ − 1⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎦⎣ ⎝ ⎠⎡ ⎛ 0⎞⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎞⎤⎛ x⎞⎛ 1⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ 2t ⎢ ⎜ ⎟39. ⎜ y ⎟ = C1 ⎜ − 2 ⎟e + ⎢C 2 ⎜ − 1⎟ + C 3 ⎜ t ⎜ − 1⎟ + ⎜ − 1⎟ ⎟⎥ e t⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜z⎟⎜ 2⎟⎢ ⎜ 1⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ 1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎠⎦⎣ ⎝ ⎠⎧ ⎛1⎞⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎫⎛ x⎞⎛ 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ t⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎪−t40. ⎜ y ⎟ = C1e ⎜ − 2 ⎟ + e ⎨C 2 ⎜ 0 ⎟ + C3 ⎢t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 3 ⎟⎥ ⎬⎜z⎟⎜ 2⎟⎪ ⎜1⎟⎢ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠⎥ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎣⎦⎭⎩ ⎝ ⎠⎛ ⎛cos tsin t⎛⎞⎞⎞⎛1⎞⎛ x⎞⎜⎟⎟⎟⎜ ⎟ −3t ⎜ ⎜⎜ ⎟41.
⎜ y ⎟ = C1 ⎜ 1 ⎟e + ⎜ C 2 ⎜ 2 cos t − sin t ⎟ + C 3 ⎜ 2 sin t + cos t ⎟ ⎟e − 2t⎜ ⎜⎜ − sin t − 2 cos t ⎟ ⎟⎟⎜0⎟⎜z⎟⎝⎠⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ − cos t + 2 sin t ⎠⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ − 1⎛ x ⎞ ⎡ ⎛ 1⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟42. ⎜ y ⎟ = ⎢C1 ⎜ 2 ⎟ + C2 ⎜ t ⎜ 2 ⎟ + ⎜⎜ ⎜ − 2⎟ ⎜⎜ z ⎟ ⎢ ⎜ − 2⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎝372 ⎞ ⎞⎤⎛ 2 ⎞⎟ ⎟⎥ −t⎜ ⎟0 ⎟ ⎟⎥ e + C3 ⎜ 5 ⎟⎜ − 6⎟0 ⎟⎠ ⎟⎠⎥⎦⎝ ⎠⎛ ⎛ 3 cos 2t + sin 2t ⎞⎛ x⎞⎛1⎞⎛ 3 sin 2t − cos 2t ⎞ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ 2t ⎜ ⎜⎟⎜⎟⎟43. ⎜ y ⎟ = C1⎜1⎟e + ⎜ C2 ⎜ 4 cos 2t + 3sin 2t ⎟ + C3 ⎜ 4 sin 2t − 3 cos 2t ⎟ ⎟et⎜ ⎜⎜z⎟⎜1⎟⎟⎜⎟⎟5 cos 2t5 sin 2t⎝ ⎠⎝ ⎠⎠⎝⎠⎠⎝ ⎝⎛ x⎞⎜ ⎟⎡ ⎛1⎞⎢ ⎜ ⎟⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎞⎤⎜ t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ − 2t⎜ 0 ⎟ + t ⎜ 1⎟ + ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎥ e .⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎠⎦44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
