Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 9
Текст из файла (страница 9)
y = ±- особые решения, y ( x, C ) = ⎜ Cx 3 − C 3 ⎟ .⎟4 ⎜⎝2 3⎠132. y =135. y = 2 ln x - особое решение, y (x, C ) = 2C ln x −C2.24136. y = −137. y = 333x 323 2- особое решение, y (x, C ) =Cx 21− 2.2Cx21, x ≠ 0 - особое решение, y (x, C ) = Cx + 2 ,4CC ≠ 0;.138. y = 1 + ln x - особое решение, y (x, C ) = Cx − ln C , C > 0 ;.81139. y = 33x, x > 0 - особое решение,4C > 0;140. y = x ln x − x-особое82решение,y (x, C ) = Cx +1C,y (x, C ) = Cx − e C ;§ 6.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХПЕРВОГО ПОРЯДКА6.1. Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядкаЛинейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется уравнение видаr ∂ur ∂ur ∂ua1 ( x )+ a 2 (x )+ K + a n (x )=0,(6.1)∂x1∂x 2∂x n⎛ x1 ⎞⎜ ⎟rrrr ⎜ x2 ⎟где x = ⎜ ⎟ ∈ Ω ⊂ R n , a1 (x ) , a 2 (x ) , … , a n (x ) - заданные неM⎜ ⎟⎜x ⎟⎝ n⎠прерывно дифференцируемые функции в области, причем в2 r2 r2 rкаждой точке Ω имеет место a1 (x ) + a 2 (x ) + K + a n (x ) ≠ 0 ;ru = u (x ) - непрерывно дифференцируемая функция, подлежащая определению.Замечание. Уравнение (6.1) имеет очевидное решениеu = C (C = const ) .Характеристической системой обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме, соответствующей однородному линейному уравнению с частнымипроизводными (6.1) называется системаdx ndx1dx 2(6.2)r =r =L=r .a1 (x ) a 2 (x )a n (x )Характеристической системой однородного уравнения(6.1) в нормальной форме Коши называется автономная система для функций x1 = x1 (t ) , x 2 = x 2 (t ) , … , x n = x n (t ) вида:83r⎧ x&1 = a1 ( x ),⎪ x& = a ( xr ),⎪ 22⎨M⎪⎪⎩ x& n = a n ( xr ),где t - независимая переменная.(6.3)rЗамечание.
Если в некоторой точке x 0 ∈ Ω имеет местоrra m x 0 ≠ 0 , т.е. в силу непрерывности функции a m (x ) найrдется такая окрестность точки x 0 в области Ω , в которойra m (x ) ≠ 0 , то в качестве независимой переменной можно выбрать x m . При t = x m система в нормальной форме Кошиимеет видra1 ( x )⎧ dx1⎪ dx = a ( xr ) ,m r⎪ mdxa⎪⎪ 2 = 2 (x ) ,r(6.3')⎨ dx m a m ( x )⎪M r⎪ dxa (x )⎪ n = n r .⎪⎩ dx m a m (x )Первым интегралом системы (6.2) (или (6.3)) называетсяrнепрерывно дифференцируемая в Ω функция u (x ) такая, чтоrдля любого решения x (t ) системы (6.2) (или (6.3))ru (x (t )) = const .rНепрерывно дифференцируемая в Ω функция u ( x ) является решением уравнения (6.1) тогда и только тогда, когдаона является первым интегралом характеристической системы (6.2).rrЕсли есть несколько первых интегралов u1 (x ) , … , u k (x ) ,то произвольная непрерывно дифференцируемая функцияrrΦ(u1 (x ), K , u k (x )) - тоже первый интеграл.( )84rrПусть u1 (x ) , … , u k ( x ) - первые интегралы характеристической системы (6.2), определенные в некоторой окрестностиrrточки y ∈ Ω .
Они называются независимыми в точке y , если∂u1 r ⎞⎛ ∂u1 r(y) L( y )⎟⎜∂x n⎜ ∂x1⎟Rg ⎜ MM ⎟=k.⎜ ∂u k r∂u k r ⎟(y) L( y )⎟⎟⎜⎜∂x n⎝ ∂x1⎠rДля каждой точки y ∈ Ω существует ровно (n − 1) незавиrсимых в y первых интегралов (6.2).Общее решение (6.1) имеет видrrru (x ) = Φ(u1 (x ), K , u n −1 (x )) ,(6.4)rrгде u1 (x ) , … , u n −1 (x ) - независимые первые интегралы хаrrрактеристической системы (6.2), Φ(u1 ( x ), K , u n −1 (x )) - непрерывно дифференцируемая функция.Чтобы решить уравнение (6.1) надо найти (n − 1) независимых первых интеграла характеристической системы (6.2)rr(или (6.3)) u1 (x ) , … , u n −1 (x ) .
Это можно сделать, например,путем отыскания интегрируемых комбинаций, используяdxdx1 dx 2== L = n = t , тосвойство равных дробей: еслиa1a2ank1 , k 2 , K , k nприлюбыхтаких,чтоk1 a1 + k 2 a 2 + K + k n a n ≠ 0 ,имеемk1 dx1 + k 2 dx 2 + K + k n dx n=t .k1 a1 + k 2 a 2 + K + k n a n6.2. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядкаДостаточные условия существования и единственностизадачи Коши дает85Теорема.
Пусть в области Ω множество Π задано уравнеrrнием g (x ) = 0 , где функция g (x ) непрерывна в Ωr∂g (x )rrвместе сr . Пусть точка y ∈ Π . Пусть в точке y∂xимеетместо⎛ r ∂gr ∂gr ∂g ⎞⎜⎜ a1 (x )⎟+ a 2 (x )+ K + a n (x )≠ 0 . Пусть∂x1∂x 2∂x n ⎟⎠ xr = yr⎝rв некоторой окрестности точки y задана непрерывноrдифференцируемая функция ϕ (x ) .
Тогда в некоторойrокрестности точки y существует и притом единстrвенное решение u ( x ) уравнения (6.1), удовлетворяюrrщее условию u (x ) = ϕ (x ) на Π .Замечание. Поверхность Π , задаваемая уравнениемrg (x ) = 0 , называется начальной поверхностью.В дальнейшем будем рассматривать трехмерное простран⎛ x⎞r ⎜ ⎟ство: x = ⎜ y ⎟ ∈ Ω ⊂ R 3 .⎜z⎟⎝ ⎠Пусть уравнение g (x, y , z ) = 0 задает в области Ω гладкуюповерхность Π , и ϕ (x, y, z ) - непрерывно дифференцируемаяфункция, заданная на Π .Задача Коши для уравнения в частных производных (6.1) в3R ставится следующим образом: среди всех решений этогоуравнения найти такое решениеu = f ( x, y , z ) ,(6.5)которое удовлетворяет начальным условиям:u = ϕ (x, y , z ) при g (x, y , z ) = 0 .(6.6)Для решения задачи Коши:861. составляем соответствующую систему обыкновенныхдифференциальных уравнений (6.2), или (6.3), и находимдва независимых первых интегралаu 1 ( x, y , z ) , u 2 ( x, y , z )(6.7)2.
из системы:⎧u1 (x, y, z ) = u1 ,⎪u (x, y, z ) = u ,⎪ 22(6.8)⎨()ϕ=,,,uxyz⎪⎪⎩ g (x, y, z ) = 0исключаем x, y , z и находим u как функцию u1 и u 2 :u = Φ (u1 , u 2 ) ;3. подставляем в последнее выражение вместо u1 и u 2 первые интегралы (6.7):u (x, y , z ) = Φ(u1 ( x, y, z ), u 2 (x, y, z )) .Т.о., получаем функцию, которая и дает решение задачи Коши.6.3.
Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работахПример(6.1.(7-24) Найти все решения уравнения∂u∂u∂uy 2 +1 z+ x 2 −1 z+ x 2 −1 y= 0 и решить∂x∂y∂z)()()задачу Коши: u = z 2 при y = x (x > 1, z > 0) .c 1. Составляем соответствующую (характеристическую)систему обыкновенных дифференциальных уравнений (всимметрической форме)dydxdz= 2= 2.2y +1 zx −1 zx −1 yНайдем 2 независимых первых интеграла:() () ()871)(xdy2=) (x−1 zdz2)−1 y, ydy = zdz ,1 2 1 2y = z + C .
Пер22вый интеграл u1 = y 2 − z 2dydx= 22),x 2 − 1 dx = y 2 + 1 dy ,2y +1 zx −1 z1 31x − x = y3 + y + C .Первыйинтеграл33u 2 = y 3 − x 3 + 3(x + y ) .3)Общеерешениеимеетвид:2233u = Φ y − z , y − x + 3(x + y ) .() (()()())⎫⎪u = y − x + 3( x + y ),⎪2. 2 2⎬u=z ,⎪⎪y = x,⎭2233u1 = y − z ,z = y − u1 , ⎫⎪6 y = u2 ,⎪⎬2u=z ,⎪⎪y = x.⎭2222u⎛u ⎞3.
Откуда u y = x = z= ⎜ 2 ⎟ − u1 = 2 − u1 .y=x36⎝ 6 ⎠4. Подставляя значения первых интегралов, получаем решение задачи Коши:2u = z2 − y2 +(y3)− x 3 + 3(x + y )362XПример 6.2. (6-01) Найти общее решение уравнения4 x 2 − y 2 ∂u∂u∂u−y+ 4x+z= 0 и решить задачуxy∂x∂y∂zzКоши u = 4 при x = y (x > 0, z > 0 ) .xd 1. Составляем соответствующую (характеристическую)систему обыкновенных дифференциальных уравнений (всимметрической форме)88dx dydz.==− y 4x⎛ 4x 2 − y 2 ⎞⎟z ⎜⎜⎟xy⎠⎝Найдем 2 независимых первых интеграла:y2dx dyx2=1)=−+ C . Первый инте, 4 xdx = − ydy , 4− y 4x22грал u1 = 4 x 2 + y 2dydydzdz=2),=22224x⎛ 4x − y ⎞ 4x y z 4x − y 2⎟z ⎜⎜⎟xy⎝⎠Используя найденный первый интеграл, имеемdydz=4 x 2 = u1 − y 2 ,,т.о.2u1 − y y z u1 − y 2 − y 2((u122)(− y − y dy(u2)=dz,z−y y1~ln y + ln u1 − y 2 = ln z + C ,2≈C=1y u1 − y 2z))(dyydydz−=,2yzu1 − y.
Первый интеграл u 2 =()≈y u1 − y 2 = C z ,xyzxy ⎞⎛3) Общее решение имеет вид: u = Φ⎜ 4 x 2 + y 2 , ⎟ .z ⎠⎝5 x 2 = u1 , ⎫u1 = 4 x 2 + y 2 , ⎫⎪⎪xyx2⎪⎪u2 = ,= u 2 , ⎪⎪zz2.⎬⎬zz 1 ⎪⎪u= 4 ,u= 2 ⋅ 2 ,⎪xx x ⎪⎪⎭⎪⎭y = x,y = x.89)3. Откуда uy=x=zx4=y=x1 5⋅ .u 2 u14. Подставляя значения первых интегралов, получаем решение задачи Коши:5zu=o24 x + y 2 xy()Пример 6.3. (7-02) Найти общее решение уравнения и решитьзадачуКошиuuzu∂∂∂sin22 y cos 2 x+ 1 + y 2 sin 2 x+=0,y ∂z∂x∂y()u = x − 1 + ctg zприy 2 cos 2 x = 1π⎛⎞⎜ 0 < x < ,0 < z < π ⎟ .2⎝⎠e 1. Составляем соответствующую (характеристическую)систему обыкновенных дифференциальных уравнений (всимметрической форме)dydxdz==.222 y cos x 1 + y sin 2 x 1 sin 2 zy1) В этом случае интегрирование системы проведем путемподбора так называемых интегрируемых комбинаций.Для этого сначала характеристическую систему дифференциальных уравнений перепишем в виде (6.3):⎧⎪ x& = 2 y cos 2 x,⎪2⎨ y& = 1 + y sin 2 x,⎪1⎪ z& = y sin 2 z.⎩Вычитая из второго уравнения, умноженного на cos x ,y sin x ,первое,умноженноенаполучаем90•( y cos x ) = cos x .− yx& sin x + y& cos x = cos xилиd ( y cos x ) dtdzdt= .
Нетрудно заметить, что= .y cos xysin 2 z yТаким образом получили интегрируемую комбинациюd ( y cos x )dz=.y cos xsin 2 z1 sin vdv1 dvdzln y cos x ====sin 2 z2 sin v2 sin 2 v1 ⎛ 11 ⎞1d cos v⎜⎜⎟ dζ ==−=−+24 ⎝ 1 − ζ 1 + ζ ⎟⎠2 1 − cos v1 1 − cos 2 z1 1+ ζ+C == − ln+ C = ln4 1 + cos 2 z4 1− ζ∫∫(∫∫∫)1 2 sin 2 z1+ C = ln (tg z ) + C .
Первый интеln24 2 cos z222грал u1 = y cos x ctg z .dxdtdzdt= , ис= ydt = y 2и2) Замечая, что2ysin 2 z y2 cos xпользуя найденный первый интеграл, получаемu tg zu dzdxdz= 1 2,dx = 1 2 ,22 cos x cos x 2 sin z cos zcos z~x = u1 tg z + C . Первый интеграл u 2 = y 2 cos 2 x − x .3) Общее решение имеет вид:u = Φ y 2 cos 2 x ctg z, y 2 cos 2 x − x .=(u1 = y 2 cos 2 x ctg z ,⎫⎪u = y 2 cos 2 x − x, ⎪2. 2⎬u = x − 1 + ctg z ,⎪22⎪y cos x = 1,⎭)ctg z = u1 ,⎫⎪1 − x = u2 ,⎪⎪u = x − 1 + ctg z ,⎬y 2 cos 2 x = 1. ⎪⎪⎪⎭913.
Откуда uy 2 cos 2 x =1= (x − 1 + ctg z ) y 2 cos 2 x =1 = u1 − u 2 .4. Подставляя значения первых интегралов, получаем решение задачи Коши:u = y 2 cos 2 x(ctg z − 1) + x . p6.4. Задачи для самостоятельного решенияНайти общее решение уравнения и решить задачу Коши:z4 x 2 − y 2 ∂u∂u∂u141. (6-01) − y + 4 x + z= 0 , u = 4 при x = yxy∂x∂y∂zx(x > 0, z > 0) .142. (6-02)z2y ∂u∂u 2 x 4 − y 2 ∂u,=при y = x 2ux−+z=0x∂y∂z2 x 2 ∂x4x 3 y(x > 0, z > 0) .z∂u∂u∂u+ y2− z (x + y )= 0 , u = при x = 3 y∂x∂y∂zx(x > 0, z > 0) .∂u∂u∂u144. (6-04) 3z 2+ y 2e x+ 2 zye x= 0 , u = e x y 4 при∂x∂y∂z143. (6-03) x 2y2z = 1( y > 0) .145.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
