Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 6
Текст из файла (страница 6)
y > 0 , получаем частное решение, соответствующее45()поставленным начальным условиям: y = exp 2 − 2 1 − cos x .o3.4. Задачи для самостоятельного решенияРешить задачу Коши:3257. (7-01) 2 y 2 y ′′ sin x − 2 y 2 y ′ cos x + ( y ′) − 2 y ( y ′) sin x = 0 ,⎛π ⎞⎛π ⎞y⎜ ⎟ = 1 , y ′⎜ ⎟ = −1 .2⎝ ⎠⎝2⎠()58. (7-02) 4 yy ′′ + 4 y 2 − 1 ( y ′)6 + ( y ′)2 = 0 , y (2 ) = 1 , y ′(2 ) = −1 .59.
(7-03) 2 y y ′′ cos x + 2 y 2 y ′ sin x + ( y ′)3 − 2 y ( y ′)2 cos x = 0 ,23⎛π ⎞⎛π ⎞y ⎜ ⎟ = 1 , y ′⎜ ⎟ = −.662⎝ ⎠⎝ ⎠()1260. (7-04) 4 yy ′′ + y 2 − 9 ( y ′)6 + ( y ′)2 = 0 , y (0 ) = 1 , y ′(0 ) = − .61. (6-11) yy ′ + 2 x( y ′)2 = xyy ′′ , y (1) = 1, y ′(1) = −1 .62. (6-12) 3 yy ′′ − 3( y ′)2 = 4 y ( y ′)5 , y (0 ) = 1, y ′(0) = −1 .63. (6-13) yy ′ − xyy ′′ + x( y ′)2 = 2 x( y ′)2 ln x , y (1) = 1, y ′(1) = −2 .64. (6-14) y ′′( y − 1)2 + ( y ′)2 ( y − 1) = ( y ′)3 , y (0 ) = 2, y ′(0 ) = 2 .()65. (8-21) 2 x y 2 y ′′ + ( y ′)3 = y ′y 2 + 2 xy( y ′)2 , y (1) = y ′(1) = 1 .66.
(8-22) y ′′( y − 1) + y ′( y − 1)2 = ( y ′)2 , y (0 ) = 2, y ′(0 ) = −2 .67. (8-23) xyy ′′ = yy ′ + x( y ′)2 + 4 x 5 y 2 , y (1) = 1, y ′(1) = 1 .68. (8-24) 2 yy ′′ ln y = ( y ′)2 (1 + 2 ln y ) , y (0) = e, y ′(0) = e .()69. (8-31) yy ′′ = ( y ′)2 y 2 y ′ + 1 , y (0) = 1, y ′(0) = −3 .70. (8-32) y ′′y 2 x 2 − xy 2 y ′ − x 2 ( y ′)2 y −y (2 ) = 1, y ′(2 ) = −2e .e−x( y ′)3 = 0 ,271. (8-33) y ′y ′′ − ( y ′)3 ctg y + cos 2 y sin 4 y = 0 , y (0) =46π4, y ′(0) =1.2()72.
(8-34) yy ′′ − yy ′ − ( y ′)2 e x + 1 = 0 , y (1) = sh 1, y ′(1) = −1 .1e73. (5-41) x 2 yy ′′ − 2 x 2 ( y ′)2 + xyy ′ = 0 , y (e ) = 1, y ′(e ) = − .74. (5-42) xyy ′′ − 2 x( y ′)2 + yy ′ = 0 , y (1) = y ′(1) = 1 .75. (5-43) y 2 y ′′ − y ( y ′)2 − y 3 = 0 , y (0) = 1, y ′(0) = 1 .76. (5-44) xyy ′′ + x( y ′)2 − yy ′ = 0 , y (1) = 4, y ′(1) = 1 .77.
(5-51) 3 y 2 y ′y ′′ + 2 y ( y ′)3 = 4 y 3 , y (1) = −1, y ′(1) = 1 .78. (5-52) 4 yy ′′ + ( y ′)2 + y ( y ′)4 = 0 , y (1) = 1, y ′(1) = −1 .79. (5-53) 2( y + 1) y ′′ + ( y ′)2 = 2( y + 1) , y (2 ) = 0, y ′(2 ) = −1 .80. (5-54) yy ′′ + 3( y ′)2 = y 2 ( y ′)3 , y (4) = 2, y ′(4) =1.481. (5-61) xyy ′′ + 2 x 3 ( y ′)2 − yy ′ = 0 , y (1) = y ′(1) = 1 .π282. (5-62) y ′′ + ( y ′)2 tg y − ( y ′)4 sin 2 y = 0 , y (0) = , y ′(0) = −.683.
(5-63) xyy ′′ + x ( y ′) + 3 yy ′ = 0 , y (1) = 1, y ′(1) = 2 .2484. (5-64) y ′′ − ( y ′)2 th y + ( y ′)4 sh 2 y = 0 , y (0) = 0, y ′(0) = 1 .3.6. Ответы:{57. y = exp 2 − 2 1 − cos x[]158. y = (7 − 3x )2 3 + 12{59. y = exp 2 − 2 sin x⎛⎝3 ⎞2 ⎠}2360. y = ⎜ 8 − x ⎟61. y =}−322x +1⎛62. y = ⎜1 −⎝4 ⎞x⎟3 ⎠3447363. y = 1 − 2 ln x64. y = 1 + e 2 x65. y = e 266. y =x −22e x2e x − 167.
yx 6 −1=e 668. y⎛x ⎞⎜ +1 ⎟= e⎝ 2 ⎠269. y = 3 1 − 9 x⎛x⎞70. y = exp⎜ (4 − 2 x )e 2 ⎟⎜⎝⎟⎠( )71. y = arctg e x⎛ e + 1 ⎞ (e − 1)2⎟x⎟ 2ee1−⎠⎝173. y =ln x174. y =1 − ln x72. y = ⎜⎜75. y = ex1x+ x2276. y = 2 x 2 + 3⎛ x−4⎞⎟⎝ 3 ⎠377. y = ⎜2⎛ 5 − 3x ⎞ 378. y = ⎜⎟⎝ 2 ⎠2⎛ x−4⎞⎟ −1⎝ 2 ⎠79. y = ⎜4880. y = 3 3 x − 481. y =2x 2x2 +1⎛1⎞82. y = arcsin⎜ − x ⎟⎝2⎠83. y =(2 x3)−123x284. y = ln⎛⎜ x + x 2 + 1 ⎞⎟ ⇔ x = sh y⎝⎠49§ 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГОИСЧИСЛЕНИЯ4.1 Основные понятияПусть M - некоторое множество функций.Функционалом J = J ( y ) называется переменная величина,зависящая от функции y (x ) , если каждой функции y (x ) ∈ Mпо некоторому правилу поставлено в соответствие число.Множество M функций y ( x ) , на котором определенфункционал J ( y ) , называется его областью определения.В приложениях часто встречаются функционалы видаbJ ( y ) = F (x, y (x ), y ′(x ))dx ,∫(4.1)aгде F (x, y, p ) - заданная дважды непрерывно дифференци-руемая функция для ∀x ∈ [a, b] и ∀( y , p ) ∈ R(2y , p ) - плоскости сдекартовыми прямоугольными координатами y , p .Будем обозначать через C 1 [a, b] пространство всех непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций с нормойy = max y (x ) + max y ′(x ) .x∈[a ,b ]x∈[a ,b ]Говорят, что функция yˆ (x ) ∈ M , дает (слабый локальный)минимум функционала J ( y ) , если ∃ число ε > 0 такое, что∀y (x ) ∈ M , для которого y ( x ) − yˆ ( x ) < ε , выполнено неравенство J ( y ) ≥ J ( yˆ ) .Говорят, что функция yˆ (x ) ∈ M , дает (слабый локальный)максимум функционала J ( y ) , если ∃ число ε > 0 такое, что∀y (x ) ∈ M , для которого y ( x ) − yˆ ( x ) < ε , выполнено нера-венство J ( y ) ≥ J ( yˆ ) .504.2 Простейшая вариационная задачаПростейшей вариационной задачей называется задача нахождения слабого локального экстремума функционала (4.1)в классе непрерывно дифференцируемых на [a, b] функцийy (x ) , удовлетворяющих граничным условиямy (a ) = A , y (b ) = B .(4.2)Если функция ŷ (x ) является решением простейшей вариационной задачи, то она на [a, b] необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера∂F d ∂F=0−(4.3)∂y dx ∂y ′(здесьd- полная производная по x ).dxЭкстремалью называется всякое решение уравнения Эйлера (4.3).4.3 Задача со свободным концом (концами)Пусть функционал (4.1) рассматривается при граничномусловииy (a ) = A .(4.4)Тогда говорят, что x = a - закрепленный конец, x = b - свободный конец.Задачей со свободным концом называется задача нахождения слабого локального экстремума функционала (4.1) вклассе непрерывно дифференцируемых на [a, b] функцийy (x ) , удовлетворяющих условию (4.4).Если функция ŷ (x ) является решением задачи со свободным концом, то она на [a, b] необходимо удовлетворяетуравнению Эйлера (4.3) и граничному условию при x = bвида51∂F(b, yˆ (b ), yˆ ′(b )) = 0 .∂y ′(4.5)Если функционал J ( y ) рассматривается при граничномусловииy (b ) = B ,(4.6)то x = a - свободный конец.
Функция ŷ ( x ) , доставляющаяJ ( y ) слабый локальный экстремум, должна удовлетворятьуравнению Эйлера (4.3), граничному условию (4.6) и граничному условию при x = a :∂F(a, yˆ (a ), yˆ ′(a )) = 0 .(4.7)∂y ′Если граничных условий не ставится, то есть оба концасвободные, то ŷ ( x ) должна удовлетворять уравнению Эйлера(4.3) и граничным условиям (4.5), (4.7).4.4. Решение уравнения ЭйлераЛинейным дифференциальным уравнением n-го порядка спеременными коэффициентами называется дифференциальное уравнение видаa 0 (x ) y (n ) + a1 (x ) y (n −1) +...+ a n −1 (x ) y ′ + a n (x ) y = f (x ) ,(4.8)где x ∈ [a, b] - независимая переменная; y (x ) - искомая функция; f (x ) , a 0 ( x ), a1 (x ), K , a n (x ) - заданные на [a, b ] функции,причем ∀x : x ∈ [a, b] функция a 0 (x ) ≠ 0 .Уравнением Эйлера называется линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами видаa k ( x ) = bk x n − k , k = 0, n , где b0 , b1 , K , bn - заданные числа,причем b0 ≠ 0 :b0 x n y (n ) + b1 x n −1 y (n −1) +...+ bn −1 xy ′ + bn y = f (x ) .(4.9)Заменой x = e (t = ln x ) (4.9) сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентаt52ми.d2ydx2тим,Действительно=d ⎛ dy ⎞d ⎛⎜ ⎟ = = e −t ⎜ e −tdx ⎝ dx ⎠dt ⎝чтоk-аяdy dy dt 1 dydy=⋅== e −t,dx dt dx x dtdt2dy ⎞dy ⎞− 2t ⎛ d y⎟ = e ⎜⎜ 2 − ⎟⎟ .
Допусdt ⎠dt ⎠⎝ dtпроизводнаяимеетвидdkydx k=⎛dkyd k −1 ydy ⎞⎟=e − kt ⎜⎜ k + α 1 k −1 + K + α k −1⎟dtdtdt⎝⎠kk −1d ydy ⎞1 ⎛d y⎟ , где α 1 , α 2 , K , α k −1 = k ⎜⎜ k + α 1 k −1 + K + α k −1dt ⎟⎠x ⎝ dtdtпостоянные. Тогда (k+1)-ая производная будет равнаd k +1 y d ⎛ d k y ⎞d ⎛dky⎞⎜⎟ = e −t ⎜⎟==dt ⎜⎝ dx k ⎟⎠dx k +1 dx ⎜⎝ dx k ⎟⎠⎛ d k +1 ydkydy ⎞⎟== e − (k +1)t ⎜⎜ k |+1 + (α 1 − k ) k + K − kα k −1dt ⎟⎠dt⎝ dtdkydy ⎞1 ⎛ d k +1 y⎟.= k +1 ⎜⎜ k |+1 + (α 1 − k ) k + K − kα k −1dt ⎟⎠x ⎝ dtdtТак как в преобразованном уравнении, в случае отсутствия кратных корней характеристического уравнения, решения имеют вид y = e λt , следовательно, в исходном уравненииони имеют вид y = x λ .
Поэтому можно непосредственноподставить его в уравнение Эйлера (4.9). Посколькуd k xλxk= λ (λ − 1)L (λ − k + 1) при k ≤ λ , то характеристичеdxkское уравнение имеет видb0 λ (λ − 1)L (λ − n + 1) + K + bn − 2 λ (λ − 1) +bn −1 λ + bn = 0 . (4.10)Каждому простому корню λ уравнения (4.10) соответствует частное решение однородного уравнения Эйлера x λ ;53каждому действительному корню λ кратности l (l ≥ 2) соответствует l линейно независимых частных решений одноl −1родного уравнения Эйлера x λ , x λ ln x , ... , x λ (ln x ) .
В случае невещественных корней λ надо учитывать, чтоx iβ = e iβ ln x , т.о., паре комплексно сопряженных корнейα ± iβ уравнения (4.10) будут соответствовать два решенияоднородногоуравненияЭйлераx α cos(β ln x )иx α sin (β ln x ) .4.5 Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работахПример 4.1. (5-01) Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал4⎛ 9 y 2 15 yy ′4y ⎞2⎟dx , y (1) = 2 , y (4) = −5 .⎜′()2y−+−⎟⎜ x2xxx⎠⎝1∫dF y′ = 0 :dx4y−,x x1 Составляем уравнение Эйлера F y −15 yy ′2+ 2( y ′)xx18 y 15 y ′4−Fy = 2 −,xxx x15 y ′ 15 ydFy′ = −+ 2 + 4 y ′′ ,xdxx15 yF y′ = −+ 4 y′ ,xУравнение Эйлера (4.3) имеет вид18 y 15 y ′15 y ′ 15 y4−−+− 2 − 4 y ′′ = 0 или2xxxxx xF ( x, y , y ′ ) =9y22−4 x 2 y ′′ − 3 y = −4 x .(4.1.1)54Для его решения применяем стандартный алгоритм:1. Решения однородного линейного уравнения ищем в виде: y = x λ .Характеристическое уравнение 4λ (λ − 1) − 3 = 0 или4λ 2 − 4λ − 3 = 0 .(2λ )2 − 2(2λ ) − 3 = 0 , (2λ − 3)(2λ + 1) = 0 .13Его корни λ1 = − , λ 2 = .22Соответствующее общее решение однородного уравне−13ния y o = C1 x 2 + C 2 x 22.
Частное решение (случай нерезонансный) ищем в видеyч = a xaa′″yч =, yч = −, подставляя в неоднородное2 x4x xуравнение Эйлера, получаем −4x 24x x− 3a x = −4 x ,или − 4a = −4 , т.е. a = 1 , и y ч = x .3. Общее решение неоднородного уравнения ЭйлераCy = 1 + C2 x x + x .xПостоянные C1 и C 2 находим из граничных условий⎧ C1 + C 2 + 1 = 2,⎧ C1 + C 2 = 1,⎪откуда полу⎨ C1 + 8C + 2 = −5; или ⎨2⎩C1 + 16C 2 = −14;⎪⎩ 2чаем 15C 2 = −15 , т.е. C 2 = −1 , C1 = 2 .2−x x+ x.Стационарная точка yˆ =x4. Исследование на экстремум.55Пустьh ∈ C 1 [1;4] ,h(1) = h(4) = 0 .РассмотримˆˆΔJ = J ( y + h ) − J ( y ) .
Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой кривой ŷ , то линейная по h частьприращения функционала δJ ( yˆ ) = 0 . В этом можно при желании убедиться непосредственно используя прием интегрирования по частям, граничные условия и уравнение Эйлера(на экстремали оно обращается в ноль). Следовательно4⎛ 9h 2 15hh ′2⎞+ 2(h ′) ⎟⎟dx .ΔJ = ⎜⎜ 2 −xx⎠1⎝Интегрируяпочастями учитываяравенстваh(1) = h(4) = 0 , находим∫4415h 2⎛ 15hh ′ ⎞⎛ 15 ⎞ 2⎜−⎟dx = ⎜ −⎟dh = −2x ⎠x ⎠2x1⎝1⎝∫∫414⎛ 15h 2+ ⎜⎜ −2x 21⎝∫⎞⎟dx =⎟⎠4=−15h 2dx .2x 21∫Таким образом,44⎛ 9h 2 15h 2⎛ 3h 22⎞2⎞⎟dx = ⎜′()+2h+ 2(h ′) ⎟⎟dx ≥ 0 ,ΔJ = ⎜⎜ 2 −22⎟⎜2xx2x⎠⎠1⎝1⎝т.е. МИНИМУМ.∫∫Пример 4.2.
(4-24) Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал, определив знак приращенияe21ln x ⎞⎛2J ( y ) = ⎜ x( y ′) + y 2 − 2 y ′ − 2y ⎟dx , y (1) = 0 .xx ⎠1⎝2 Задача со свободным концом. Составляем уравнение Эйdлера F y −F y′ = 0 :dx1ln x2F ( x, y , y ′ ) = x ( y ′ ) + y 2 − 2 y ′ − 2y,xx∫56d2ln x, F y′ = 2 xy ′ − 2 ,F y′ = 2 y ′ + 2 xy ′′ .y−2dxxxУравнение Эйлера (4.3) имеет вид2ln x− 2 y ′ − 2 xy ′′ = 0 илиy−2xx(4.2.1)x 2 y ′′ + xy ′ − y = − ln x .Для его решения применяем стандартный алгоритм:1. Заменой x = e t (t = ln x ) сведем (4.2.1) к линейномудифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами:y′y ′x = y t′ ⋅ t ′x = t ,x′′y t′ ( y t′ ) x y tt′′ ⋅ t ′xy ′ y ′′ − y ′⎛ y t′ ⎞=− 2t = tt 2 ty ′xx′ = ⎜ ⎟ x = − 2 +xxxxx⎝ x ⎠и y tt′′ − y t′ + y t′ − y = −t илиy tt′′ − y = −t .(4.2.2)2. Решения однородного линейного уравнения (4.2.2)ищем в виде: y = e λt .Fy =Характеристическое уравнение λ 2 − 1 = 0 .Его корни λ1, 2 = ±1 .Соответствующее решение однородного уравненияy o = C1e t + C 2 e − t .3.
Частное решение (случай нерезонансный) ищем в видеy ч = at + b .Подставляя в неоднородное уравнение Эйлера, получаем− at − b = −t , т.е. a = 1 , b = 0 , и y ч = t .4. Общее решение неоднородного уравнения Эйлераy = C1 e −t + C 2 e t + t или, возвращаясь к независимой переменной x :571+ C 2 x + ln x .xПостоянные C1 и C 2 находим из следующих краевыхусловийy (1) = 0 , F y′ 2 = 0 .y = C1x =eТаким образомF y′ 2 = (2 xy ′ − 2 ) x =e 2 = 2e 2 − C1 e −4 + C 2 + e −2 − 2 = 0 и(x =e)C1 + C 2 = 0,⎧⎧ C + C = 0,или ⎨ 1 42от⎨2−2⎩− 2e C1 + 2e C 2 + 2 − 2 = 0;⎩− C1 + e C 2 = 0;()куда получаем 1 + e 2 C 2 = 0 , т.е. C 2 = 0 , C1 = 0Стационарная точка yˆ = ln x .5. Исследование на экстремум.Пусть h ∈ C 1 1, e 2 , h(1) = 0 и F y′ 2 = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
