Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 2
Текст из файла (страница 2)
λ2 + 4λ + 5 (λ − 1) = 0 дает()λ 2 , 3 = −2 ± 4 − 5 = − 2 ± i .Корню характеристического уравнения λ1 = 1 соответствует частное решение y1 = e x , корням λ2,3 = −2 ± i - решенияy 2 = e −2 x cos x и y 3 = e −2 x sin x .Общее решение однородного уравнения в действительнойформеy o = C1e x + C 2 e −2 x cos x + C 3 e −2 x sin x ,где C1 , C 2 , C 3 - действительные произвольные постоянные.2. Частное решения неоднородного уравнения.10В нашем случае f ( x ) = 10e x − 5 x , т.е. f (x ) = f1 (x ) + f 2 (x ) ,где f1 (x ) = 10e x , f 2 (x ) = −5 x .Поиск частного решения проводим методом неопределенных коэффициентов:f1 (x ) = 10e x = Pm (x )e γx , Pm ( x ) = 10 , т.е. m = 0 , γ = 1 (чтосоответствует λ1 = 1 ) - резонансный случай, кратность корняs = 1 , поэтому частное решение ищем в видеy ч1 = x1Q0 e x = xae x .Подставляя yч1 (x ) = axe x , в исходное дифференциальноеуравнение при f (x ) = f1 (x ) , получаем10 ae x = 10e x .Приравнивая выражения при одинаковых функциях, име-ем10 a = 10 , a = 1 и y ч1 = xe x .f 2 ( x ) = −5 x = −5 xe 0 x = Pm ( x )e γx , Pm (x ) = −5 x , т.е.
m = 1 ,γ = 0 (таких корней у характеристического уравнения нет),т.е. кратность корня s = 0 , поэтому частное решение ищем ввиде yч2 = x 0 Q1e 0 x = ax + b .Подставляя y ч2 = ax + b ,. в исходное дифференциальноеуравнениеприполучаемf (x ) ≡ f 2 (x ) ,0 + 3 ⋅ 0 + a − 5(ax + b ) = −5 x . Приравнивая выражения приодинаковых степенях, имеемx1 :− 5a = −5,0x : a − 5b = 0;111a = и y ч2 = x + .555Частное решения неоднородного уравнения1y ч (x ) = y ч1 (x ) + y ч2 (x ) = xe x + x +5b=11это дает a = 1 ,3. Общее решение неоднородного уравненияy = y o + y ч = C1e x + C 2 e − 2 x cos x + C 3 e − 2 x sin x + xe x + x +1.5oПример 1.3. (1-24) Найти все действительные решения урав13 ⎞⎛нения y ′′′ + 4 y ′′ + y ′ + 4 y = 34 sin x + ⎜ 34 x + ⎟e 4 x .4⎠⎝e Исходное уравнение неоднородное.1. Найдем общее решение соответствующего однородногоуравнения:y ′′′ + 4 y ′′ + y ′ + 4 y = 0 .Составляемхарактеристическоеуравнение:32λ + 4λ + λ + 4 = 0 .Его корни λ1 = −4 , λ2,3 = ±i .λ1 = −4 соответствует частное решение y1 = e −4 x , корнямλ2,3 = ±i - решения y 2 = sin x , y 3 = cos x .Общее решение однородного уравнения в действительнойформеy o = C1e −4 x + C 2 sin x + C 3 cos x ,где C1 , C 2 , C 3 - действительные произвольные постоянные.2.
Частное решения неоднородного уравнения.13 ⎞⎛В нашем случае f ( x ) = 34 sin x + ⎜ 34 x + ⎟e 4 x , т.е.4⎠⎝гдеf (x ) = f1 (x ) + f 2 (x ) ,f1 (x ) = 34 sin x ,13 ⎞⎛f 2 ( x ) = ⎜ 34 x + ⎟e 4 x .4⎠⎝f1 (x ) = 34 sin x = e γx (Pm (x ) cos βx + Qn (x )sin β x ) , Pm (x ) = 0 ,Qn ( x ) = 34 , p = max{m, n} = 0 , γ + β i = i - корень характеристического уравнения - резонансный случай, кратность корня12s =1,поэтому частноеy ч1 ( x ) = x(a sin x + b cos x )решениеищемввидеПодставляя y ч1 (x ) = x(a sin x + b cos x ) , в исходное дифференциальноеуравнениеприполучаемf (x ) = f1 (x ) ,8(a cos x − b sin x ) − 2(a sin x + b cos x ) = 34 sin x .Приравнивая коэффициенты при cos x и при sin x , имеемcos x : 8a − 2b = 0,a = −1,этодаетиsin x : − 8b − 2a = 34;b = −4y ч1 = − x sin x − 4 x cos x .13 ⎞13⎛f 2 ( x ) = ⎜ 34 x + ⎟e 4 x = Pm (x )e γx , Pm (x ) = 34 x + , т.е.4⎠4⎝m = 1 , γ = 4 не является корнем характеристического уравнения, кратность корня s = 0 , поэтому частное решениеищем в виде y ч2 = x 0 Q1e 4 x = (ax + b )e 4 x .Подставляя yч2 = (ax + b )e 4 x , в исходное дифференциаль-ное уравнение при f ( x ) ≡ f 2 ( x ) , получаем48a + 64(ax + b ) + 32a + 64(ax + b ) + a + 4(ax + b ) + 4(ax + b ) = 34 x +13 .4Приравнивая выражения при одинаковых степенях, имеемx1 :136 a = 34,1113 это дает a = , b = − и0x : 136b + 81a = ;4841⎞⎛1y ч 2 = ⎜ x 2 − ⎟e 4 x .8⎠⎝4Частное решения неоднородного уравнения1⎞⎛1yч = yч1 + yч2 = − x sin x − 4 x cos x + ⎜ x 2 − ⎟e 4 x .8⎠⎝43.
Общее решение неоднородного уравнения13y = y o + y ч = C1e −4 x + C 2 sin x + C 3 cos x −⎛ x 1⎞− x sin x − 4 x cos x + ⎜ − ⎟e 4 x .p⎝ 4 8⎠1.5. Задачи для самостоятельного решенияНайти все действительные решения уравнений:1. (1-01) y IV + 4 y ′′ = 8e 2 x + 8 x 2 .2. (1-02) y IV − y ′′′ = sin x + e x .3. (1-03) y IV − y = 2e x + 5e x sin x .4.
(1-04) y IV + y ′′′ − y ′′ − y ′ = 2 x + 2 sin x .5. (1-11) y ′′′ − 3 y ′′ + 3 y ′ − y = 6e x + x .6. (1-12) y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = x 2 + 4e x .7. (1-13) y ′′′ + 5 y ′′ + 9 y ′ + 5 y = 2e − x + 5 x + 4 .8. (1-14) y ′′′ + 3 y ′′ + y ′ − 5 y = 10e x − 5 x .9. (1-21) y ′′′ − y ′′ + 9 y ′ − 9 y = 60 cos 3 x + 4 xe − x .10. (1-22) y ′′′ + y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 8 sin 2 x + 20 xe x .11 −9 xe .3613 ⎞⎛12. (1-24) y ′′′ + 4 y ′′ + y ′ + 4 y = 34 sin x +`⎜ 34 x + ⎟e 4 x .4⎠⎝−x13. (1-31) y ′′′ − 3 y ′ − 2 y = 18(1 − x )e + 100 cos 2 x .11.
(1-23) y ′′′ − 9 y ′′ + y ′ − 9 y = 164 sin x +`18 xe 3 x +14. (1-32) y ′′′ − 3 y ′′ + 4 y ′ − 12 y = (1 − 26 x )e 3 x + 30 cos 3 x .15. (1-33) y ′′′ + 3 y ′′ − 4 y = 18(1 − x )e −2 x + 40 cos 2 x .16. (1-34) y ′′′ + y ′′ + 16 y ′ + 16 y = (34 x − 4 )e − x + 30 sin x .17. (1-41) y IV + 8 y ′′ + 16 y = 8 cos 2 x .18. (1-42) y ′′ + y = sin x sin 2 x .1419. (1-43) y ′′ − 2 y ′ + y = e − x sin x + 4e x .20. (1-44) y ′′ + 2 y ′ + y = xe−x+ cos x .21. (1-51) y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 4 cos x − (4 x − 14 )e − x .22. (1-52) y ′′′ + y ′′ − y ′ − y = 4 sin x + 8(x + 1)e x .23. (1-53) y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 4 cos x + 4(x − 4)e − x .24.
(1-54) y ′′′ + y ′′ + y ′ + y = 4 sin x + 2(x + 1)e x .25. (1-61) y ′′ + 2 y ′ − 3 y = 2e x sin 2 x .26. (1-62) y ′′′ − 2 y ′′ + y ′ = 6 xe x + 4 sh x .x27. (1-63) y ′′ − y ′ − 2 y = 10e 2 x cos 2 .2′′′′′′28. (1-64) y + 2 y + y = 16 ch x − 6 xe − x .1.6. Ответы:5.⎛ x 2 1 ⎞ 1 2x− ⎟+ ey = C1 + C 2 x + C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x + x 2 ⎜⎜62 ⎟⎠ 4⎝1y = C1 + C 2 x + C3 x 2 + C 4 e x + xe x + (sin x − cos x )21x−xy = C1e + C 2 e + C3 sin x + C 4 cos x + xe x − e x sin x21y = C1 + C 2 e − x + C 3 xe − x + C 4 e x + 2 x − x 2 + (sin x + cos x )2xx2 x3 xy = C1e + C 2 xe + C3 x e + x e − x − 36.y = C1e x + C 2 xe x + C3 e − x + x 2 + 2 x + 4 + x 2 e x7.y = C1e − x + C 2 cos xe −2 x + C3 sin xe −2 x + xe − x + x − 11y = C1e x + C 2 cos xe −2 x + C 3 sin xe −2 x + xe x + x +51.2.3.4.8.9.⎛x⎝5y = C1 cos 3x + C2 sin 3x + C3e x − ⎜ +157 ⎞ −x⎟e − x(3 cos 3 x + sin 3 x )50 ⎠10.
y = C1e − x + C 2 sin 2 x + C3 cos 2 x +9⎞ x 2⎛⎜ 2 x − ⎟e − x(2 sin 2 x + cos 2 x )5⎠5⎝11. y = C1 sin x + C2 cos x + C3e9 x + 9 x cos x − x sin x ++ (− 0.3 x + 0.13)e3 x −11e−9 x72 ⋅ 738⎛x⎝41⎞8⎠12. y = C1e −4 x + C 2 sin x + C 3 cos x − x sin x − 4 x cos x + ⎜ − ⎟e 4 x()13. y = (C1 x + C 2 )e − x + C3 e 2 x + x 3 − 2 x 2 e − x − cos 2 x − 7 sin 2 x14. y = C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x + C3 e15.
y = (C1 x + C 2 )e16. y = C1e−x−2 xx3x(3()+ x − x 2 e 3 x + cos 3x − sin 3x2)+ C3 e + x − 2 x e−2 x2 −x+ C 2 cos 4 x + C3 sin 4 x + x e17. y = (C1 + C 2 x ) cos 2 x + (C 3 + C 4 x )sin 2 x −− 2 cos 2 x − sin 2 x− cos x + sin x1 2x cos 2 x41xsin x + cos 3x4163 sin x + 4 cos x − x19. y = (C1 + C 2 x )e x + 2 x 2 e x +e251120. y = (C1 + C 2 x )e − x + sin x + x 3 e − x2621. y = C1e x + C 2 cos x + C3 sin x − x(cos x + sin x ) + (x − 2)e − x18.
y = C1 cos x + C 2 sin x +22. y = C1e x + (C 2 + C3 x )e − x + x 2e x + cos x − sin x()1 2x − 6 x e − x + cos x − sin x2124. y = C1e − x + C 2 cos x + C3 sin x − x(cos x + sin x ) + (2 x − 1)e x4111⎛⎞25. y = C1e x + C 2 e −3 x + xe x + ⎜ cos 2 x − sin 2 x ⎟e x410⎝ 20⎠23. y = C1e − x + (C 2 + C3 x )e x +()126. y = C1 + (C 2 + C 3 x )e x + x 3 − 2 x 2 e x + e − x2165 2x ⎛ 31⎞xe + ⎜ sin x − cos x ⎟e 2 x32⎝2⎠−xx32 −x28. y = C1 + (C 2 + C3 x )e + 2e + x − x e27. y = C1e − x + C 2 e 2 x +(17)§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ2.1. Основные понятияНормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система видаndx k=a kj x j , k = 1, n ,(2.1)dtj =1∑где a kj = const .⎛ x1 (t ) ⎞⎜⎟→⎜ x 2 (t )⎟и матВводя в рассмотрение вектор-функцию x = ⎜... ⎟⎜⎟⎜ x (t )⎟⎝ n ⎠( )рицу A = a kj , уравнения (2.1) можно представить в векторной форме→→dx= Ax.dt(2.2)2.2.
Общее решение однородной системыФундаментальной системой решений однородной системы дифференциальных уравнений (2.1) называется совокупность n линейно независимых решений⎛ x11 (t ) ⎞⎛ x12 (t ) ⎞⎛ x1n (t ) ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→⎜ x 21 (t )⎟ → ⎜ x 22 (t ) ⎟⎜ x 2 n (t )⎟x1 = ⎜, x2 = ⎜, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
