Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 3
Текст из файла (страница 3)
, x n = ⎜(2.3)... ⎟... ⎟... ⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ x (t )⎟⎜ x (t )⎟⎜ x (t )⎟⎝ n1 ⎠⎝ n2 ⎠⎝ nn ⎠этой системы.Общее решение векторного уравнения (2.2) представляется в виде18→→→→x (t ) = C1 x1 (t ) + C 2 x 2 (t ) + K + C n x n (t ) ,(2.4)где C1 , C 2 , K , C n - произвольный постоянные постоянные.2.3. Метод Эйлера(Метод сведения решения системы к задаче отысканиясобственных значений и собственных векторов матрицы системы).Чтобы найти решения (2.2):1) Вычислим собственные значения матрицы A , решивхарактеристическое уравнение(2.5)det ( A − λE ) = 0 .Обозначим λ1 , λ 2 ,..., λ n корни (2.5), вообще говоря, комплексные.Для собственного значения λ , отвечающий ему собственrный вектор h определяется условиемrr r(2.6)Ah = λ h , h ≠ 0 .2.1) Корни характеристического уравнения (2.5) действительные, простые. Тогда существует базис из собственныхrr rвекторов матрицы A : Ahm = λ m hm , hm ≠ 0 , m = 1, n .→→Вектор-функции x m = hm e λmt , m = 1, n являются решениями (2.2).Общее решение векторного уравнения (2.2) есть их произвольная линейная комбинация ( C m – постоянные)n→r(2.8)x=C m hm e λm t .∑m =12.2) Корни характеристического уравнения (2.5) невещественные, простые.Еще раз напомним, что для комплексного числа z = x + iy ,где x, y ∈ R , его действительной и мнимой частью называют-19ся соответственно Re z = x , Im z = y .
Кроме того, имеет место формула Эйлера e (α + iβ )t = e αt (cos βt + i sin βt ) .Если среди корней характеристического уравнения (2.5)есть невещественный корень λ = α + iβ , то комплексно сопряженное ему число λ = α − iβ также будет корнем этогоуравнения (по свойству алгебраических уравнений с действительными коэффициентами). Этой комплексной паре корнейсоответствуют два линейно независимых частных решения→→→→векторного уравнения (2.2) x (t ) = h e λt и x (t ) = h e λ t .
Поскольку ставится задача отыскания действительных решенийсистемы дифференциальных уравнений, то в качестве решений, соответствующих такой паре комплексных сопряженных собственных значений матрицы A , выбирают линейные→→x (t ) + x (t )комбинации решений x и x , а именно, x1 (t ) =и2→→→→→→→→→x (t ) − x (t ), или x1 (t ) = Re x (t ) и x 2 (t ) = Im x (t ) .x 2 (t ) =2iЗамечание. В более общем случае, когда собственный век→→тор для числа λ берется не сопряженным с вектором h ,действительная и мнимая части соответствующего комплекснозначного решения системы будут линейными комбина→⎛→ ⎞x1 (t ) = Re⎜ h e λt ⎟ ициями действительных решений⎝⎠→→⎛⎞x 2 (t ) = Im⎜ h e λt ⎟ , найденных для собственного значения λ .⎝⎠Т.о., если α ± iβ - простые корни характеристическогоуравнения (2.5), то компонента общего решения системы,соответствующая этой паре комплексных корней, записывается в виде20→→⎛→ ⎞⎛→ ⎞x = C1 x1 (t ) + C 2 x1 (t ) = C1 Re⎜ h e λt ⎟ + C 2 Im⎜ h e λt ⎟ ,⎝⎠⎝⎠→(2.9)→где C1 , C 2 - произвольные постоянные, h - собственный вектор, отвечающий собственному значению λ = α + iβ .2.3) Корни характеристического уравнения действительные кратные.
В этом случае матрица A может не иметь n линейно независимых собственных векторов. Тогда для построения общего решения (2.2) используется следующее понятие.Жордановой цепочкой матрицы A , соответствующей собственному значению λ , называется система векторовr rrh1 , h2 ,..., h p такая, чтоrrr rAh1 = λh1 ,h1 ≠ 0,rrrAh2 = λh2 + h1 ,rrr(2.10)Ah3 = λh3 + h2 ,.......................rrrAh p = λh p + h p −1 .r rrrВектор h1 - собственный, а h2 , h3 ,..., h p - присоединенныевекторы.Равенства (2.10) можно записать также в видеr rr r( A − λE )h1 = 0, h1 ≠ 0,(2.11)rr( A − λE )hk = hk −1 , k = 2, p.r rrКаждой цепочке h1 , h2 ,..., h p соответствует p линейно неr rrзависимых решений x1 , x 2 ,..., x p векторного уравнения (2.2):21rrx1 = e λt h1 ,r⎛t r r ⎞x 2 = e λt ⎜ h1 + h2 ⎟,⎝ 1!⎠r ⎞⎛t2 r t rrx 3 = e λt ⎜⎜ h1 + h2 + h3 ⎟⎟,(2.12)1!⎠⎝ 2!.................................r ⎞⎛ t p −1 rrt p−2 rt rx p = e λt ⎜⎜h1 +h2 +...+ h p −1 + h p ⎟⎟.( p − 2)!1!⎠⎝ ( p − 1)!Замечание.
Приведем правило запоминания формулr(2.12). Собственному вектору h1 , соответствует решениеrrx1 = e λt h1 . Если везде отбросить e λt , то каждая строка правойчасти (2.12) получается интегрированием по t предыдущейстроки, причем постоянную интегрирования надо взять равной следующему по порядку вектору серии.Для кратного собственного значения λ может существовать несколько жордановых цепочек, содержащих линейнонезависимые собственные векторы матрицы A .Компонента общего решения системы, соответствующаядействительному собственному значению λ кратности p,имеет видkrrrx (t ) =e λt C l(r ) xl(r ) (t ) ,∑ ∑(r )r(r )l =1где C1 , C 2 , K , C k(rr ) - произвольные постоянные,∑kr= p.rИзвестно, что для любой квадратной матрицы A существует базис, составленный из ее жордановых цепочек, поэтомупроизвольная линейная комбинация решений вида (2.12) даетобщее решение векторного уравнения (2.2).222.4.
Общее решение неоднородной системыРешение неоднородной системыrr rdx= Ax + f ,(2.13)dtможно найти методом вариации постоянных, если известнообщее решение однородной системы (2.1) с той же матрицейA = a kj . Для этого в формуле общего решения (2.4) одно-( )родной системы надо заменить произвольные постоянныеC m , m = 1, n , на неизвестные функции C m (t ) :rx (t ) =nr∑ C (t )x (t ) .m(2.14)mm =1Полученныевыражениядляrrnndx (t )dC m (t ) rdx (t )подставляем в неод=x m (t ) + C m (t ) mdtdtdtm =1m =1нороднуюсистему(2.13).Т.к.rndx m (t ) nr=C m (t )Ax m (t ) , то получаем систему дляC m (t )dtm =1m =1∑∑∑∑dC m (t ), m = 1, n :dtnvdC m (t ) rx m (t ) = f .dtm =1определения∑(2.15)Неизвестные функции C m (t ) , m = 1, n , находим проинтегрировав, полученные при решении системы (2.15) функцииdC m (t ), m = 1, n .dtЗаметим, что если при нахождении функций C m (t ) записывать всю совокупность первообразных, т.е.
сохранять взаписи выражений для C m (t ) возникающие при интегрировании произвольные постоянные, то (2.14) будет общим решением неоднородной системы. Частное решение неодно23родной системы (2.13) получим, полагая возникающие приинтегрировании произвольные постоянные равными конкретному значению, например, равными нулю.2.5. Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работахПример 2.1. (2-24) Найти все действительные решения сис⎧ x& = 5 x − y − 4 z⎪темы ⎨ y& = − 12 x + 5 y + 12 z , (λ1 = −1, λ 2,3 = 1) .⎪ z& = 10 x − 3 y − 9 z⎩⎛ 5 −1 − 4⎞⎜⎟c Матрица системы A = ⎜ − 12 5 12 ⎟ .⎜ 10 − 3 − 9 ⎟⎝⎠1. Не все корни характеристического уравнения различны:либо а) существует базис из собственных векторов матрицыA системы, либо б) строим жорданову цепочку для матрицыA системы.r rλ1 = −1 , ( A − λ1 E )h1 = 0 .Для краткости записи используются следующие обозначения: выражение α (n ) + β (m ) над стрелочкой означает, чтоперешли к эквивалентной системе алгебраических уравнений, n-ая строка матрицы которой представляет собой линейную комбинацию n-ой и m-ой строк с коэффициентами αи β соответственно.241(2 )6(3 )− (1)⎛ 6 −1 − 4⎞⎜⎟6 12 ⎟A − λ1 E = ⎜ − 12⎜ 10 − 3 − 8 ⎟⎝⎠⎛ 6 −1 − 4⎞⎜⎟12⎟⎜− 2⎜ 4 − 2 − 4⎟⎝⎠⎯⎯⎯→⎛ 2 1 0⎞⎛2 1⎜⎟⎜(2 )+ (1)⎯⎯⎯⎯→ ⎜ − 2 1 2 ⎟ ⎯⎯ ⎯→ ⎜ 0 2⎜ 0 0 0⎟⎜0 0⎝⎠⎝1⎞⎛⎜1 0 − ⎟⎛ 2 0 − 1⎞12⎟(1)⎜⎟⎜2⎯→ ⎜ 0 11⎟ , дает⎜ 0 1 1⎟ ⎯⎯⎜ 0 0 0⎟⎜0 00 ⎟⎟⎝⎠⎜⎝⎠⎛ 1⎞⎛ 1⎞r ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟ −th1 = ⎜ − 2 ⎟ и x1 = ⎜ − 2 ⎟e⎜ 2⎟⎜ 2⎟⎝ ⎠⎝ ⎠r rλ 2,3 = 1 , ( A − λ 2 E )h2 = 0 .(1)+ 2(2 )(3)+ 2(2 )A − λ2 E =(1)+ (2 )(3 )+ 3(2 )⎯⎯ ⎯⎯→⎛ 4 − 1 − 4⎞⎜⎟412 ⎟⎜ − 12⎜ 10 − 3 − 10 ⎟⎝⎠⎛ 1 0 − 1⎞⎜⎟⎜ − 3 1 3⎟⎜ 1 0 − 1⎟⎝⎠1(2 )4⎯⎯⎯→(2 )+ 3(1)(3 )− (1)⎯⎯ ⎯⎯→(1)− 1 (2 )20⎞1(2 )⎟⎯→2 ⎟ ⎯⎯2 ⎯⎟0⎠⎛ 1⎞⎜ ⎟r ⎜ 2⎟h1 = ⎜ − 1⎟ или⎜ 1⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ 4 −1 − 4⎞⎜⎟13⎟⎜−3⎜ 10 − 3 − 10 ⎟⎝⎠⎛ 1 0 − 1⎞⎜⎟⎜ 0 1 0 ⎟ , дает⎜ 0 0 0⎟⎝⎠⎛1⎞⎛1⎞r ⎜ ⎟r ⎜ ⎟ th2 = ⎜ 0 ⎟ и x 2 = ⎜ 0 ⎟e .
Нашли только один собственный⎜1⎟⎜1⎟⎝ ⎠⎝ ⎠вектор, поэтому строим жорданову цепочку для матрицыA системы.25⎛ 4 −1 − 4 1 ⎞⎛ 4 −1 − 4 1⎞1⎟rr ⎜⎟⎜(2 )4( A − λ 2 E )h3 = h2 ⎜ − 12 4 12 0 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ − 3 1 3 0 ⎟⎟⎜ 10⎜ 10 − 3 10 1 ⎟− 3 10 1 ⎠⎝⎝⎠⎛ 1 0 −1 1 ⎞(1)+ (2 )(2 )+3(1)⎛ 1 0 −`1 1 ⎞⎜⎟⎟⎜(3)+3(2 )(3)−(1)0 3 ⎟ , дает⎯⎯ ⎯⎯→ ⎜ − 3 1 3 0 ⎟ ⎯⎯ ⎯⎯→ ⎜ 0 1⎟⎜⎜ 0 0 0 0⎟⎝ 1 0 −1 1⎠⎝⎠⎛1⎞ ⎛1⎞⎛1⎞rr ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟h3 = α ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ или (при α = 0 ) h3 = ⎜ 3 ⎟ .⎜1⎟ ⎜ 0⎟⎜ 0⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠2. Общее решение⎧ ⎛1⎞⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎫⎛ x⎞⎛ 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ t⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎪−t⎜ y ⎟ = C1 e ⎜ − 2 ⎟ + e ⎨C 2 ⎜ 0 ⎟ + C 3 ⎢t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 3 ⎟⎥ ⎬ . n⎜z⎟⎜ 2⎟⎪ ⎜1⎟⎢ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠⎥ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎣⎦⎭⎩ ⎝ ⎠Пример 2.2. (2-14) Найти все действительные решения сис⎧ x& = 7 x + y + 2 z⎪темы ⎨ y& = 2 x + 3 y + z , (λ1, 2,3 = 3) .⎪ z& = − 8 x − 2 y − z⎩1 2⎞⎛ 7⎜⎟d Матрица системы A = ⎜ 231⎟ .⎜ − 8 − 2 − 1⎟⎝⎠1. Отметим, что все корни характеристического уравненияравны.r r( A − λE )h1 = 02612⎞⎛ 4⎜⎟01⎟A − λE = ⎜ 2⎜ − 8 − 2 − 4⎟⎝⎠⎯⎯→⎛⎜1 0⎜⎜0 1⎜0 0⎜⎝1⎞⎟2⎟0⎟,0 ⎟⎟⎠дает⎛ 1⎞⎜− ⎟⎛ 1⎞r ⎜ ⎟r ⎜ 2⎟h1 = ⎜ 0 ⎟ или h1 = ⎜ 0 ⎟ .
Нашли только один собствен⎜ − 2⎟⎜ 1⎟⎝ ⎠⎜⎟⎝⎠ный вектор, поэтому строим жорданову цепочку матрицыA системы:rr( A − λE )h2 = h1 .⎛ 412 1⎞⎜⎟01 0⎟⎜ 2⎜ − 8 − 2 − 4 − 2⎟⎝⎠⎯⎯→⎛⎜1 0⎜⎜0 1⎜0 0⎜⎝⎞0⎟⎟1⎟ ,0 0 ⎟⎟⎠120⎛ 1⎞⎜ − ⎟ ⎛0⎞⎛0⎞r ⎜ ⎟r⎜ 2⎟ ⎜ ⎟h2 = α ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ или (при α = 0 ) h2 = ⎜ 1 ⎟ .⎜0⎟⎜ 1⎟ ⎜ 0 ⎟⎝ ⎠⎜⎟ ⎝ ⎠⎝⎠rr( A − λE )h3 = h2 .27дает⎛ 412 0⎞⎜⎟01 1⎟⎜ 2⎜ − 8 − 2 − 4 0⎟⎝⎠⎯⎯→⎛⎜1 0⎜⎜0 1⎜0 0⎜⎝1 1⎞⎟2 2⎟0 − 2⎟ ,0 0⎟⎟⎠дает⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞⎜− ⎟ ⎜ ⎟⎛ 0⎞r ⎜ ⎟r⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟h2 = β ⎜ 0 ⎟ + ⎜ − 2 ⎟ или (при β = 1 ) h3 = ⎜ − 2 ⎟ .⎜ 1⎟⎜ 1⎟ ⎜ 0 ⎟⎝ ⎠⎜⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠3.
Общее решение⎡ ⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞⎤⎛ x⎞⎛ 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥3t3t ⎢⎜ y ⎟ = C1e ⎜ 0 ⎟ + C 2 e ⎢t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟⎥ +⎜z⎟⎜ − 2⎟⎢ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣⎦⎡ 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥3t ⎢ t+ C 3 e ⎢ ⎜ 0 ⎟ + t ⎜ 1 ⎟ + ⎜ − 2 ⎟⎥ . o2⎢ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠⎥⎣⎦Пример 2.3. (2-01) Найти все действительные решения сис⎧ x& = 4 x + 3 y⎪темы ⎨ y& = 4 y − 3 z, (λ1 = 5, λ 2,3 = 4 ± 3i ) .⎪ z& = − x + 3 y + 5 z⎩0⎞⎛ 4 3⎜⎟e Матрица системы A = ⎜ 0 4 − 3 ⎟ .⎜ −1 35 ⎟⎠⎝1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
