Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 5
Текст из файла (страница 5)
⎜ y ⎟ = ⎢C1⎜ 0 ⎟ + C2 ⎜ t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1⎟ ⎟ + C2 ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎢ ⎜1⎟⎝ ⎝1⎠ ⎝ 0⎠⎠⎣ ⎝ ⎠⎞ 2t⎛ sin t⎛ cos t ⎞ 2t⎛ x⎞⎟⎟e , где⎟⎟e + C 2 (t )⎜⎜45. ⎜⎜ ⎟⎟ = C1 (t )⎜⎜⎝ cos t + sin t ⎠⎝ cos t − sin t ⎠⎝ y⎠⎜z⎟⎝ ⎠C1 (t ) = t − ln cos t + c1 , C 2 (t ) = −t − ln cos t + c 2 .⎛ x⎞⎡⎛1⎞⎛ ⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎤46. ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢C1 (t )⎜⎜ ⎟⎟ + C 2 (t )⎜⎜ t ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎥ e 3t , где111y⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎦⎥2 32 22C1 (t ) = t t + t t + c1 , C 2 (t ) = − t 2 t + c 2 .755⎛ sin t ⎞⎛ cos t ⎞⎛ x⎞⎟⎟ , где C1 (t ) = c1 ,⎟⎟ + C 2 (t )⎜⎜47. ⎜⎜ ⎟⎟ = C1 (t )⎜⎜⎝ cos t ⎠⎝ − sin t ⎠⎝ y⎠⎝ ⎠⎣⎢C 2 (t ) = ln sin t − ln cos t + c 2 .⎛ x⎞⎡⎝ ⎠⎢⎣⎛1⎞⎛ ⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎤⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎝48.
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢C1 (t )⎜⎜ ⎟⎟ + C 2 (t )⎜⎜ 2t ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎥ e t , гдеy−111C1 (t ) = 12t2⎠ ⎠⎥⎦t + c1 , C 2 (t ) = −10t t + c 2 .⎛ ⎛ cos t + sin t ⎞⎛ sin t − cos t ⎞ ⎞⎛ x⎞⎛1⎞⎟⎜⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ −t ⎜ ⎜49. ⎜ y ⎟ = C1 ⎜ 3 ⎟e + ⎜ C 2 ⎜ 2 sin t ⎟ + C 3 ⎜ − 2 cos t ⎟ ⎟e −t⎜ ⎜⎟⎜ 2 sin t ⎟ ⎟⎜z⎟⎜0⎟⎝⎠⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ 2 cos t ⎠⎡ ⎛1⎞⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎞ ⎤⎛ x⎞⎛ 0⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ 3t ⎢ ⎜ ⎟50. ⎜ y ⎟ = C1 ⎜ 1 ⎟e + ⎢C 2 ⎜ 0 ⎟ + C 3 ⎜ t ⎜ 0 ⎟ + ⎜ − 1⎟ ⎟⎥ e t⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜z⎟⎜1⎟⎢ ⎜ 2⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎠⎦⎣ ⎝ ⎠38⎛ ⎛ cos t + sin t ⎞⎛ x⎞⎛ − 1⎞⎛ cos t − sin t ⎞ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ 2t ⎜ ⎜⎟⎜⎟⎟51. ⎜ y ⎟ = C1⎜ 1⎟e + ⎜ C2 ⎜ − 2 cos t ⎟ + C3 ⎜ 2 sin t ⎟ ⎟et⎜ ⎜ 2 cos t ⎟⎜z⎟⎜ 0⎟⎜ − 2 sin t ⎟ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎠⎝⎠⎠⎝ ⎝⎡ ⎛ 2⎞⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎤⎛ x⎞⎛1⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ t ⎢ ⎜ ⎟52.
⎜ y ⎟ = C1 ⎜ 0 ⎟e + ⎢C 2 ⎜ 1 ⎟ + C 3 ⎜ t ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1⎟ ⎟⎥ e −2t⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜z⎟⎜1⎟⎢ ⎜ 0⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎠⎦⎣ ⎝ ⎠⎡ ⎛1⎞⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎤⎛ x⎞⎛ 1⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ 2t ⎢ ⎜ ⎟53. ⎜ y ⎟ = C1 ⎜ 0 ⎟e + ⎢C 2 ⎜ 1 ⎟ + C3 ⎜ t ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ ⎟⎥ e 4t⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜z⎟⎜ − 1⎟⎢ ⎜ 0⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎠⎦⎣ ⎝ ⎠⎡ ⎛ 0⎞⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎞⎤⎛ x⎞⎛1⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ −3t ⎢ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎥54. ⎜ y ⎟ = C1 ⎜ 0 ⎟e + ⎢C 2 ⎜ 2 ⎟ + C 3 ⎜ t ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ ⎟⎥ e −t⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜z⎟⎜ 0⎟⎟ ⎟⎥⎢ ⎜ − 1⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ − 1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎠⎦⎣ ⎝ ⎠⎡ ⎛ 0⎞⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎤⎛ x⎞⎛1⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ t ⎢ ⎜ ⎟55.
⎜ y ⎟ = C1 ⎜ 0 ⎟e + ⎢C 2 ⎜ 1 ⎟ + C 3 ⎜ t ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ ⎟⎥ e 2t⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜z⎟⎜1⎟⎢ ⎜1⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎠⎦⎣ ⎝ ⎠⎡ ⎛ 1⎞⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎤⎛ x⎞⎛ 0⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ − 2t ⎢ ⎜ ⎟56. ⎜ y ⎟ = C1 ⎜ 0 ⎟e + ⎢C2 ⎜ − 2 ⎟ + C3 ⎜ t ⎜ − 2 ⎟ + ⎜ − 1⎟ ⎟⎥ e −t⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎟⎥⎜z⎟⎜1⎟⎢ ⎜ 0⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎦⎣ ⎝ ⎠39§ 3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕПОРЯДКА3.1.
Задача КошиОбыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнениеF x, y , y ′, K , y (n −1) , y (n ) = 0 ,(3.1)где x - независимая переменная, y - искомая функция,функция F определена и непрерывна в некоторой областиG ⊆ R n + 2 (n ≥ 1) и зависит от y (n ) .()Решением уравнения (3.1) на интервале I = (a, b ) называется функция y = ϕ (x ) , удовлетворяющая условиям:1. ϕ (x ) ∈ C n (a, b ) ;()2. x, ϕ , ϕ ′, K , ϕ (n −1) , ϕ (n ) ∈ G при ∀x ∈ (a, b ) ;()3. F x, ϕ , ϕ ′, K , ϕ (n −1) , ϕ (n ) = 0 для ∀x ∈ (a, b ) .Задача Коши, или начальная задачей, для уравнения (3.1)ставится следующим образом: заданы числа x 0 , yˆ 0 , yˆ 1 , K , yˆ nтакие, что x 0 ∈ (a, b ) и F ( x, yˆ 0 , yˆ 1 , K , yˆ n ) = 0 . Требуется найти такое решение y (x ) уравнения (3.1), которое удовлетворяет условиям(3.2)y (x 0 ) = ŷ 0 , y ′(x 0 ) = ŷ1 , … , y (n ) (x 0 ) = yˆ n .Замечание. Характерная особенность задачи Коши состоит в том, что условия на искомое решение y = y ( x ) задаютсяв одной и той же точке x0 .Общим интегралом уравнения (3.1) называется соотношение, связывающее x, y и n произвольных постоянныхC1 , C 2 , K ,C n40Φ(x, y, C1 , C 2 , K ,C n ) = 0 .(3.3)Значения этих произвольных постоянных C1 , C 2 , K ,C nможно найти, при определенных требованиях к функцииF x, y , y ′, K , y (n −1) , y (n ) , используя n начальных условий()y (x 0 ) = ŷ 0 , y ′(x 0 ) = ŷ1 , … , y (n −1) ( x 0 ) = yˆ n −1 .(3.4)3.2 Основные типы уравнений, допускающие понижение порядка3.2.1.
Простые случаи понижения порядка уравнения.3.2.1.1. Порядок уравнения легко понижается, если егоможно преобразовать в равенство полных производных по xот некоторых выражений.3.2.1.2. В случае, когда уравнение не содержит y, т.е. оноимеет вид F x, y (k ) , y (k +1) , K , y (n ) = 0 , порядок уравнения()понижается, если сделать замену z = y (k ) , взяв за новую неизвестную функцию производную от y наименьшего порядка,входящую в уравнение.3.2.1.3. Когда уравнение не содержит независимое переменное x, т.е. имеет вид F y , y ′, y ′′, K , y (n ) = 0 , то порядокуравнения понижается, если за новую независимую переменную взять y, а за неизвестную функцию p( y ) = y ′ .d ( y ′) dp( y ) dp dy==⋅= p ′( y ) ⋅ p( y ) .При этом y ′′ =dxdxdy dxЗамечание.
При этом может быть потеряно решениеy = y 0 = const ,котороеследуетискатьотдельно:F ( y, 0, 0, K , 0 ) = 0 .()3.2.2. Случаи однородного и однородного в обобщенном смысле уравнений.3.2.2.1. Если уравнение является однородным относительно y и всех производных от y, т.е. уравнение не меняется при41одновременной замене y на λy , y (k ) на λy (k ) , λ ≠ 0 ,k = 1, 2, K , n , то порядок уравнения можно понизить на единицу, если ввести новую неизвестную функцию z (x ) по правилу y ′ = yz .′′Притакойзаменеy ′′ = ( y ′) = ( yz ) = y ′ ⋅ z + y ⋅ z ′ =()= yz ⋅ z + y ⋅ z ′ = y z ′ + z 2 .Замечание.
Отдельно следует рассмотреть случай y = 0 .3.2.2.2. Пусть теперь уравнение является однородным вобобщенном смысле, т.е. существует такое число s, что уравнение не меняется при одновременной замене x на λx , y наλ s y , при этом y ′ заменяется на λs −1 y ′ , y ′′ - на λ s − 2 y ′′ , … ,y (k ) - на λ s − k y (k ) , где λ ≠ 0 , k = 1, 2, K , n .Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным, и найтичисло s, надо приравнять друг другу показатели степеней, вкоторых число λ будет входить в каждый член уравненияпосле указанной выше замены.
Если же полученные уравнения для s будут несовместными, то дифференциальное уравнение не является однородным в указанном смысле.После того как число s найдено, при x > 0 вводим новуюнезависимую переменную t и новую неизвестную функциюz (t ) с помощью заменыx = e t , y = ze st .Замечание. При x < 0 полагаем x = −e t .Тогда уравнение приводится к виду, в который не входитt. Следовательно порядок уравнения понижается по правилу,изложенному в пункте 3.2.1.3.Замечание. При решении задач с начальными условиямицелесообразно использовать заданные условия в самом процессе решения.423.3.
Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работахПример3.1.(8-24)РешитьзадачуКоши22 yy ′′ ln y = ( y ′) (1 + 2 ln y ) , y (0 ) = e, y ′(0) = e .1Так как x явно не входит в уравнение, то делаем заменуy ′ = p( y ) , при которой y ′xx′ = p ′y y ′x = pp ′ .Исходное дифференциальное уравнение принимает вид:2 ypp ′ ln y = p 2 (1 + 2 ln y ) .1) при p = 0 получаем y ′ = 0 и y = const - не годится из-заначальных условий;2) при p ≠ 0 получаем 2 yp ′ ln y = p(1 + 2 ln y ) - уравнениес разделяющимися переменными.dp (1 + 2 ln y )dp ⎡ 21 ⎤2dy , или 2==⎢ +⎥ dy .p ⎣ y y ln y ⎦py ln y2 ln p = 2 ln y + ln ln y + ln C 0(здесьC 0 > 0 ),т.о.,p 2 = Cy 2 ln y (здесь С - произвольное, т.к.
а) сняли знак модуля; б) учли возможность p = 0).Для определения постоянной С используем начальные условия y (0) = y ′(0 ) = e . Таким образом e 2 = Ce 2 ln e , и C = 1 ,dyтогда= p = ± y ln y - уравнение с разделяющимися пеdxdy= dx (выбираем верхний знак из-за наременными:y ln yчальных условий).∫d ln yln y= x + C дает 2 ln y = x + C . Под-ставляя сюда начальное значение y (0) = e , получаем C = 2 .43Частное решение, соответствующее поставленным начальным условиям: y = e⎛x ⎞⎜ +1 ⎟⎝2 ⎠2.nПример3.2.(7-01)РешитьзадачуКоши32222 y y ′′ sin x − 2 y y ′ cos x + ( y ′) − 2 y ( y ′) sin x = 0 ,⎛π ⎞⎛π ⎞y⎜ ⎟ = 1, y ′⎜ ⎟ = −1 .⎝2⎠⎝2⎠d Нетрудно заметить, что исходное уравнение является однородным относительно y, y ′, y ′′ , поэтому делаем замену()y ′ = yz , при которой y ′′ = y ′z + yz ′ = yz ⋅ z + yz ′ = y z 2 + z ′ .Исходное дифференциальное уравнение принимает вид:322 y 2 y z 2 + z ′ sin x − 2 y 2 yz cos x + ( yz ) − 2 y ( yz ) sin x = 0 .1. y = 0 - не удовлетворяет начальным условиям;2.
при y ≠ 0 имеем()()2 z 2 + z ′ sin x − 2 z cos x + z 3 − 2 z 2 sin x = 0 , или2 z ′ sin x − 2 z cos x = − z 3 - это уравнение Бернулли.12Стандартная замена p = 2 , p ′ = − 3 z ′ .zz2 z ′ sin x 2 z cos x−+=1переходитвУравнениеz3z3p ′ sin x + 2 p cos x = 1 - неоднородное линейное уравнениепервого порядка по p, которое решаем методом вариации постоянной.1) Сначала решаем однородное уравнение:p ′ sin x + 2 p cos x = 0 - переменные разделяются.dp2 cos xdx=−дает ln p = −2 ln sin x + ln C 0 иp≠0psin xCp=.sin 2 x442) Полагая C = C (x ) , подставляем p =C (x )в линейноеsin 2 xнеоднородное уравнениеC′2C cos xCsin x −sin x + 2cos x = 1 дает23sin xsin xsin 2 xC ′ = sin x , т.е.
dC = sin xdx и C ( x ) = − cos x + C13) Используя найденное значение C ( x ) , получаем− cos x + C11sin 2 x=.p − cos x + C1sin 2 xДля определения постоянной C1 используем начальныеp=, т.е. z 2 =⎛π ⎞⎛π ⎞условия y⎜ ⎟ = 1, y ′⎜ ⎟ = −1 . Таким образом,⎝2⎠⎝2⎠⎛π ⎞y ′⎜ ⎟1⎛π ⎞⎛π ⎞⎝2⎠ 1z⎜ ⎟ === −1 дает z 2 ⎜ ⎟ = 1 =и C1 = 1C1⎛ π ⎞ −1⎝2⎠⎝2⎠y⎜ ⎟⎝2⎠иy′sin xπ=±, т.к. y и y ′ при x =имеют разные2y1 − cos xy′− sin x=- уравнение сзнаки, то выбираем знак минус:y1 − cos xdy− sin dx=иразделяющимися переменными, т.е.y1 − cos xln y = −2 1 − cos x + C 2 .⎛π ⎞Подставляя сюда начальное значение y ⎜ ⎟ = 1 , находим⎝2⎠ln 1 = −2 1 − 0 + C 2 , откуда C 2 = 2 и ln y = 2 − 2 1 − cos x ,или, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
