Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Из формулыОстроградского-Лиувилля(8.5)получаем− p ( x )dxy1 y 2′ − y 2 y1′ = Ce ∫, т.е. получаем линейное уравнениепервого порядка относительно y 2 . Проще всего оно решается следующим способом. Разделив обе части уравнения на2y1 , получим слева производную от дроби y 2 y1 :121′⎛ y2 ⎞y y′ − y y′C − p ( x )dx⎜⎜ ⎟⎟ = 1 2 2 2 1 = 2 e ∫.y1y1⎝ y1 ⎠Поскольку y1 известно, тоy2C − ∫ p ( x )dx=edx + C 2 ,2y1y1∫откуда получаем общее решение уравнения (8.2).C − ∫ p ( x )dxy 2 = y1edx + C 2 y1 .(8.6)2y1Замечание. Если известно частное решение y1 линейногооднородного уравнения (8.2), то порядок уравнения можнопонизить, сохранив его линейность, если подставить y = y1 zв уравнение (8.2), а затем произвести замену z ′ = u .∫8.4.
Общее решение неоднородного уравнения (методвариации постоянных)Если известно общее решение однородного уравнения(8.2), то общее решение неоднородного уравнения (8.1) с непрерывной на I правой частью можно найти, применяя метод вариации произвольных постоянных, заключающийся вследующем.Для отыскания общего решения неоднородного уравнения(8.1) поступают следующим образом:1) предполагают, что в общем решении однородногоуравнения (8.4) коэффициенты C1 = C1 (x ) и C 2 = C 2 (x ) дифференцируемые функции;2) общее решение ищут в видеy (x ) = C1 (x ) y1 (x ) + C 2 (x ) y 2 (x ) ;(8.7)′′3) функции C1 (x ) и C 2 (x ) определяют из системы алгебраических уравнений122⎧ C ′ (x ) y (x ) + C ′ (x ) y (x ) =0,122⎪ 1(8.8)f (x )⎨ ′′′′⎪C1 (x ) y1 (x ) + C 2 (x ) y 2 ( x ) = a (x ) ;⎩система (8.8) имеет единственное решение, т.к.
определительее основной матрицы есть определитель Вронского для линейно независимых решений уравнения (8.2) и, следовательно, отличен от нуля;′′4) получив решения C1 (x ) = f 1 (x ) и C 2 (x ) = f 2 (x ) системы (8.8), интегрируют эти уравнения:C1 (x ) = f 1 (x )dx + c1 , C 2 (x ) = f 2 (x )dx + c 2 ,(8.9)∫∫где c1 , c 2 - постоянные;5) найденные значения C1 (x ) и C 2 (x ) подставляют в (8.7).8.5. Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работахПример 8.1. (3-01) Решить уравнение(x + 1)y ′′ − 3(2 x + 1)y ′ + 9 xy = 2e 4 x .c 1.
Частное решение ищем путем подбора в виде e αx : под′″ставляя y1 = e αx , y1 = αe αx , y1 = α 2 e αx в однородное дифференциальное уравнение(x + 1)y ′′ − 3(2 x + 1)y ′ + 9 xy = 0 ,получаем(x(αα (x + 1)e2) (αx))− 3(2 x + 1)αe(8.1.1)αx+ 9 xeαx=0или− 6α + 9 + α 2 − 3α e αx = 0 .Так как функции 1 и x - линейно независимы, тоx : α 2 − 6α + 9 = 0,α = 3 и y1 = e 3 x .21 : α − 3α = 0,21232.⎛ y2⎜⎜⎝ y1Согласно′формулеОстроградского-Лиувилля⎞C − p ( x )dx⎟⎟ = 2 e ∫.y1⎠3(2 x + 1)3,= −6 +x +1x +13 ⎞~⎛⎜6 −⎟dx = 6 x − 3 ln x + 1 + C ,x +1⎠⎝В нашем случае p(x ) = −− p(x )dx =∫y 2 = e 3xТ.к.y2 =∫~~6 x −3 ln x +1Ce −6 x edx + C 2 e 3 x .∫∫ee 3x−6 x 6 x −3 ln x +1(x + 1)2edx =1∫ x +13dx = −sign (x + 1)2 x +12+ C ∗ , то~~ ~~C + CC ∗ e 3 x - общее решение однородного урав-нения (8.1.1):y o = C1 y1 + C 2 y 2 = C1e 3 x + C 2e 3x(x + 1)2.3.
Решение исходного неоднородного дифференциальногоуравнения ищем методом вариации постоянных.3x⎧ ′′ (x ) e3x()CxeC+=0,⎪ 12(x + 1)2⎪⎨3xe 3 x ⎞⎟2e 4 x⎪3C ′ (x )e 3 x + C ′ (x )⎛⎜ 3 e=.−223 ⎟⎜ (x + 1)2⎪ 1x+1()x+1⎠⎝⎩Вычитая из второго уравнения утроенное первое, получа(x + 1)3 ,e 3x2e 4 x′−=или,умноживнаем − 2C 2 (x )2e 3 x(x + 1)3 x + 12′C 2 (x ) = −e x (x + 1)даетC 2 (x ) = − e x x 2 + 2 x + 1 dx =∫ (124)∫∫∫= − x 2 e x dx − 2 xe x dx − e x dx =∫∫= − x e + 2 xe dx − 2 xe x dx − e x = − x 2 e x − e x + c 2 .2xxИзпервогоуравнениясистемыполучаем1′′= e x , откуда C1 (x ) = e x + c1 .C1 (x ) = −C 2 ( x )2(x + 1)() ((x + 1)e−y = e x + c1 e 3 x + − x 2 e x (x + 1) − e x + c 2= e 4 x + c1e 3 x224x(x + 1)2e 3x+ c2(x + 1)2)( e3xx + 1)2=.Окончательно получаем2 xe 4 xe 3x3xny=+ce+c2(x + 1)2 1(x + 1)2Пример 8.2.
(3-24) Найти все действительные решения уравнения x 2 y ′′ − x 2 + 4 x y ′ + 2(x + 3) y = 12 x 4 e −2 x , x > 0 .()2 Частное решение ищем путем подбора в виде x α : под′″ставляя y1 = x α , y1 = αx α −1 , y1 = α (α − 1)x α − 2 в однородноедифференциальное уравнениеx 2 y ′′ − x 2 + 4 x y ′ + 2(x + 3) y = 0 ,получаемx 2α (α − 1)x α − 2 − x 2 + 4 x αx α − `1 + 2(x + 3)x α = 0()(xα +1)(8.2.1)или(− α + 2) + x (α (α − 1) − 4α + 6) = 0 .αКоэффициент при самой старшей степени x равен2 − α = 0 , таким образом, α = 2 .Подставляя y1 = x 2 в (8.2.1), убеждаемся, что это решение.1252.
I способ. Согласно формуле Остроградского-ЛиувилляC − ∫ p ( x )dxy 2 = y1edx + C 2 y1 .2y1∫В нашем случае p(x ) = −x 2 + 4xx2= −1 −4, − p (x )dx =x∫⎛ 4⎞= ⎜1 + ⎟dx = x + 4 ln x + C = x + ln x 4 + C , следовательно⎝ x⎠~4~ 1y 2 = x 2 C 4 e x + ln x dx .x1 x + ln x 41 x 4edx =e x dx = e x dx = e x + C * , откуда4xx4~~ ~~y 2 = x 2 e x C + CC ∗ x 2 - общее решение однородного уравнения (8.2.1):y o = C1 y1 + C 2 y 2 = C1 x 2 + C 2 x 2 e x .∫∫∫∫∫II способ.
Подставляем y o = x 2 z в (8.2.1).′″y o = 2 xz + x 2 z ′ ,y o = 2 z + 4 xz ′ + x 2 z ′′ ,() ()()Т.к.тоx 2 2 z + 4 xz ′ + x 2 z ′′ − x 2 + 4 x 2 xz + x 2 z ′ + 2(x + 3)x 2 z = 0 , или(2 z + 4 xz ′ + x z ′′)− (x + 4)(2 z + xz ′) + 2(x + 3)z = 0 ,2x 2 z ′′(x + 1) + z ′(4 x − x( x + 4)) + z (2 − 2(x + 4 ) + 2(x + 3)) = 0 ,илиилиx z ′′ − x z ′ = 0 , или z ′′ − z ′ = 0 .Порядок последнего уравнения понижаем заменой z ′ = u :u′ − u = 0 .u ′ = u - уравнение с разделяющимися переменными.Интегрируя уравнение с разделенными переменными~du~= dx , получаем ln u = x + ln C (здесь C > 0 ) или u = Cˆ e xu(здесь Ĉ - произвольное, т.к. а) сняли знак модуля; б) учливозмозность u = 0 ).22126Откуда z = Cˆ e x + C1 и y o = C1 x 2 + C 2 x 2 e x .3.
Решение исходного неоднородного дифференциальногоуравнения ищем методом вариации постоянных.⎧C ′ (x )x 2 + C ′ ( x )x 2 e x =0,2⎪ 1⎨ ′12 x 4 e − 2 x′x2 x.⎪C1 (x )2 x + C 2 (x ) 2 xe + x e =x2⎩2Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на ,x′( )′( )2 x2 −2 x−3 xполучаем x e C 2 x = 12 x eили C 2 x = 12e , откуда()C 2 (x ) = −4e −3 x + c 2 .Изпервогоуравнениясистемыполучаем′( )′( ) x−2 x−2 xC1 x = −C 2 x e = −12e ,C1 (x ) = −12 e dxили∫C1 (x ) = 6e−2 x+ c1 .y = 6e−2 x+ c1 x 2 + − 4e −3 x + c 2 x 2 e x =(2 −2 x)(2 −2 x)2= 6x e− 4x e+ c1 x + c 2 x 2 e xОкончательно получаемy = c1 x 2 + c 2 x 2 e x + 2 x 2 e −2 x .o8.6.
Задачи для самостоятельного решенияРешить уравнение:197. (3-01) (x + 1)y ′′ − 3(2 x + 1)y ′ + 9 xy = 2e 4 x .3⎞x 3e x⎛(x > 1) .x⎠x −1⎝199. (3-03) (x + 3)y ′′ + 2(2 x + 7 )y ′ + 4(x + 4) y = xe −3 x198. (3-02) xy ′′ − (x + 3)y ′ + ⎜1 + ⎟ y =()200. (3-04) x 3 + 2 x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 2 y =127( x + 2 )2 ( x > 0 ) .x201. (8-11) (3x − 4) y ′′ + (17 − 15 x ) y ′ + (12 x − 4 )y =(3x − 4)2 e x ,x −14x> .3() ()202. (8-12) x x 2 + 1 y ′′ − x 2 + 5 y ′ +82x 4y= 2, x>0.xx +1203. (8-13) (2 x + 3)y ′′ + (8 x + 10 ) y ′ + (6 x + 3)y =(2 x + 3)2 e − x ,x +1x > −1 .() ()⎛8⎝x⎞⎠204.
(8-14) x 1 − x 2 y ′′ + 2 x 2 − 5 y ′ + ⎜ − 2 x ⎟ y =x41− x2,0 < x < 1.Найти все действительные решения уравнений:205. (3-21) x 2 y ′′ + 4 x + 2 x 2 y ′ + 2(1 + 2 x ) y = 2e −2 x , x > 0 .206. (3-22) x2(y ′′ + (3 x2)− 2 x )y ′ + (2 − 3x ) y = −3 x e3 −3 x, x >0.207. (3-23) xy ′′ + (2 − 2 x ) y ′ + (− 2 + x ) y = −4e .x()y ′′ + (4 x + x )y ′ + 2(1 + x ) y = e , x > 0 .y ′′ + (x − 4 x )y ′ + 2(3 − x ) y = −(2 x + 1)x , x > 0 .208. (3-24) x 2 y ′′ − x 2 + 4 x y ′ + 2(x + 3) y = 12 x 4 e −2 x , x > 0 .209.
(3-31) x2210. (3-32) x 22x24211. (3-33) xy ′′ + (2 + 3x ) y ′ + 3 y = −3e −3 x , x > 0 .212. (3-34) xy ′′ + 2(1 + x ) y ′ + (2 + x ) y = 4e − x , x > 0 .()()()213. (3-41) x 4 2 x 2 − 3 y ′′ − x 2 x 4 + 9 x 2 − 9 y ′ + 6 4 x 2 − 3 y = 0⎛⎜x >⎜⎝3 ⎞⎟.2 ⎟⎠()()y ′′ − 3x (1 + 2 x )y ′ + 3 x (1 + 2 x )y = 0 (x > 0) .x (2 + x ) y ′′ − x (x + 2 x − 2 )y ′ − (x + 4 x + 2 )y = 0214. (3-42) x 2 y ′′ + x 2 + 1 xy ′ + x 2 − 1 y = 0 (x > 0) .215. (3-43) x322222216. (3-44)(x > 0 ) .Найти общее решение уравнений:1282197. (7-51) x 2 y ′′ − (6 + x )xy ′ + (12 + 3x ) y = x 5 e 3 x .198.
(7-52) x 2 y ′′ − (x − 4)xy ′ + (2 − 2 x ) y = e −2 x .199. (7-53) x 2 y ′′ − (4 + x )xy ′ + (6 + 2 x ) y = x 4 e 2 x .200. (7-54) x 2 y ′′ − (x − 6 )xy ′ + (6 − 3x )y =e −3 x.xРешить уравнения:201. (7-61) y ′′x 2 sin x − x(2 sin x + x cos x ) y ′ + (2 sin x + x cos x ) y == − x 4 sin 2 x , 0 < x < π .202. (7-62) y ′′ sin x − (cos x + sin x ) y ′ + y cos x = −2e x sin 2 x ,0< x<π .203. (7-63) y ′′x 2 cos x − x(2 cos x − x sin x ) y ′ + (2 cos x − x sin x )y =π= x 4 cos 2 x , 0 < x < .2204. (7-64) y ′′ cos x + (cos x + sin x )y ′ + y sin x = 2e − x cos 2 x ,−π2<x<π2.8.7.
Ответы:197. y = C1e 3 x + C 2(e 3x(x + 1))2+2 xe 4 x(x + 1)2()198. y = C1 x + C 2 x 2 − x e x − xe x + x 2 − x e x ln (x − 1)−2 xex + 2 −3 x+ex+3 x+3x +11ln x−1−− ln x −200. y = C1 x + C 22xxxxe201. y = C1e 4 x + C 2 (x − 1)e x −− (x − 1)e x ln (x − 1)3x2x3+ x 2 arctg x − 2202. y = C1 x 2 + C 2 2x +1x +1199. y = C1e −2 x + C 2129e−x+ (x + 1)e − x ln (x + 1)2x2x3− x 2 arc sin x +1− x21− x2203. y = C1e −3 x + C 2 (x + 1)e − x −204.
y = C1 x 2 + C 2205. y = C1e −2 x1+ C2−e −2 xxx2x2206. y = C1 xe −3 x + C 2 x + x 2 e −3 x207. y = C1 e x + C 2ex− 2 xe xx208. y = C1 x 2 + C 2 x 2 e x + 2 x 2 e −2 x209. y = C1e −xx2210. y = C1 e−x1+ C2+exx 2 2x 2x + C2 x 2 + x3 − x 42211. y = C11e −3 x+ C 2 + e −3 xxx212. y = C1e −x+ C 2 e − x + 2 xe − xx213. y = C1 x 2 + C 2 e−32 x2x2CC −214.
y = 1 + 2 e 2xx215. y = C1 x + C 2 xe 3 x216. y =2C1+ C 2 xe xx217. y = C1 x 3 + C 2 x 3 e x +218. y =C1 + C 2 e xx2+x 3 3xe6e −2 x6x 2130219. y = C1 x 2 + C 2 x 2 e x +220. y =C1 + C 2 e xx3+x 2 2xe2e −3 x12 x 31 3x cos x2222. y = C1e x + C 2 (sin x + cos x ) + 2e x cos x1223. y = C1 x + C 2 x sin x + x 2 cos x + x 3 sin x2−x224. y = C1e + C 2 (sin x + cos x ) − 2e − x sin x221. y = C1 x + C 2 x cos x − x 2 sin x +131.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
