Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Схематически фазовый портретсистемы (7.2) в этом случае показан на рис. 7.2.Рис. 7.2e Если корни λ1, 2 = μ + iν невещественные при μ ≠ 0 , тоположение равновесия называется фокусом. Фокус называется устойчивым, если μ < 0 , и неустойчивым, еслиμ > 0 . Фазовые траектории имеют вид искаженных логарифмических спиралей, закручивающихся вокруг началакоординат. Движение по спирали происходит к положению равновесия в случае устойчивого фокуса и от положения равновесия, если фокус неустойчивый.
Требуетсянарисовать качественную картину, т.е. вдоль какого направления сжата траектория или по какому направлениюона вытянута, определять не нужно. Надо только определить направление закручивания траекторий. Для этогонужно построить в какой-нибудь точке (x, y) вектор ско⎛ dx dy ⎞рости ⎜ , ⎟ , определяемый по формулам (7.2).⎝ dt dt ⎠102а)б)в)г)Рис. 7.3Схематически фазовый портрет системы (7.2) в случаефокуса изображен на рис.
7.3, причем случаи а) и б) соответствуют устойчивому фокусу, а случаи в) и г) – неустойчивому.Замечание. В случае фокуса не требуется находитьсобственные векторы матрицы A .f Кроме перечисленных выше основных положений равновесия различают еще несколько вырожденных случаев,которые мы здесь рассматривать не будем.1037.2.
Практические приемы исследования положенийравновесияДля исследования положения равновесия ( x 0 , y 0 ) болееобщей системы (7.1) разложить функции P и Q, если онидифференцируемы, в окрестности этой точки по формулеТейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (7.1) примет вид∂P(x 0 , y 0 )dx ∂P(x 0 , y 0 )(x − x 0 ) +( y − y 0 ) + o (ρ ) ,=∂xdt∂y(7.4)∂Q(x 0 , y 0 )dy ∂Q( x 0 , y 0 )(x − x 0 ) +( y − y 0 ) + o (ρ ) ,=∂x∂ydt( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 .Перенося начало координат в точку (x 0 , y 0 ) и сделав замену x = u + x 0 , y = v + y 0 , а также отбросив o(ρ ) , получимпри ρ → 0 , где ρ =линеаризованную системуdudv= au + bv ,= cu + dv ,(7.5)dtdtгде постоянные a, b, c, d можно вычислить по формулам∂P(x 0 , y 0 ) , b = ∂P (x 0 , y 0 ) ,a=∂y∂x(7.6)∂Q∂Q(x 0 , y 0 ) , d = (x 0 , y 0 ) .c=∂y∂xЕсли u = 0 , v = 0 - не вырожденное положение равновесия линеаризованной системы (7.5), то фазовые траекторииавтономной системы (7.1), при большей гладкости функций Pи Q, ведут себя в окрестности положения равновесия x = x 0 ,y = y 0 качественно так же, как и фазовые траектории системы (7.5).1047.3.
Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работахПример 7.1. (4-01) Найти положения равновесия системы,определить их характер и начертить фазовые траекто⎧ x& = x arctg 1 − y 2 ,⎪.рии линеаризованных систем ⎨yln .⎪⎩ y& =xy1 Здесь P(x, y ) = x arctg 1 − y 2 , Q(x, y ) = ln . ПоложенияxP⎧ (x, y ) = 0,илиравновесия находим из системы уравнений ⎨⎩Q(x, y ) = 0,((()))⎧ x arctg 1 − y 2 = 0,⎧y = ±1⎪. Таким обраРешая ее, находим ⎨⎨ yln=0.y=x⎩⎪⎩ xзом, получаем два положения равновесия:при y = 1 имеем x = 1 , положение равновесия: M(1,1);при y = −1 имеем x = −1 , положение равновесия: N(–1, –1).I способ.∂P(x, y )− 2 xy∂P(x, y )== arctg 1 − y 2 ,∂y∂x1+ 1− y 2()()2,∂Q(x, y ) x ⎛ y ⎞1 ∂Q(x, y ) x 1 1== .= ⎜− 2 ⎟ = − ,∂xy⎝ x ⎠xy x y∂yM(1,1).Исследуемположениеравновесия∂P(1,1)−2∂P(1,1)= arctg(1 − 1) = 0 ,== −2 ,2∂x∂y1 + (1 − 1)∂Q(1,1) 1∂Q(1,1)1= = 1 .
Линеаризованная систе= − = −1 ,11∂y∂x− 2( y − 1),⎧ x& =Находим собственма имеет вид ⎨⎩ y& = − 1(x − 1) + ( y − 1).105⎛ 0 − 2⎞⎟⎟ этой линеаризованные значения матрицы A = ⎜⎜⎝ −1 1 ⎠−λ −2= (− λ )(1 − λ ) − 2 =нойсистемы−1 1− λ= λ 2 − λ − 2 = (λ − 2)(λ + 1) = 0 , λ1 = −1 и λ 2 = 2 . Таким образом, положение равновесия M(1,1) – седло.Найдем собственные векторы, являющиеся ненулевыrми решениями системы ( A − λE )h = 0 :⎛ 1 − 2⎞ r ⎛ 2⎞⎟ ; h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;λ1 = −1 ; A − λE = ⎜⎜2 ⎟⎠⎝ −1⎝1⎠⎛ − 2 − 2 ⎞ r ⎛ − 1⎞⎟⎟ ; h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .λ 2 = 2 ; A − λE = ⎜⎜⎝ −1 −1 ⎠⎝1⎠Решение линеаризованной системы⎛ x ⎞ ⎛ 1⎞⎛ 2⎞⎛ − 1⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + C1e −t ⎜⎜ ⎟⎟ + C 2 e 2t ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ y ⎠ ⎝ 1⎠⎝1⎠⎝1⎠Координата точки фазовой кривой ξ1 = C1e − t в базисеr rh1 , h2 стремится к нулю при t → ∞ , а координатаξ 2 = C 2 e 2t ⎯t⎯⎯→ ∞ .→∞ИсследуемположениеравновесияN(–1, –1).∂P(− 1,−1)2= arctg 1 − (− 1) = 0 ,∂x∂P(− 1,−1) − 2 ⋅ (− 1) ⋅ (− 1)∂Q(− 1,−1)1== −2 ,=−= 1,2(− 1)∂y∂x1 + (1 − (− 1))∂Q(− 1,−1)1== −1 .
Линеаризованная система имеет(− 1)∂y(⎧ x& =вид ⎨⎩ y& =− 2( y + 1),(x + 1) − ( y + 1).)Находим собственные значения106⎛ 0 − 2⎞⎟⎟ этой линеаризованной системыматрицы A = ⎜⎜⎝ 1 −1 ⎠−λ−2= (− λ )(− 1 − λ ) + 2 == λ2 + λ + 2 = 0 ,1 −1− λ−1± 1− 8 −1± i 7. Таким образом положение=22равновесия N(–1, –1)– устойчивый фокус.На полуоси x > −1 , y = −1 y& = (x + 1) > 0 и фокус закручивается против часовой стрелки.На окончательной «картинке» собственные векторы в случае седла можно не обозначать, но направления собственныхвекторов надо выдерживать, и стрелочки на собственных направлениях, указывающие направление движения точки привозрастании времени, уточнят портрет.Между фазовыми траекториями, соответствующими разным положениям равновесия, следует сделать зазор – они недолжны пересекаться или переходить друг в друга: линеаризация в невырожденном случае дает нам адекватную картинулишь в малой окрестности положения равновесия, и ответ навопрос о поведении фазовых траекторий на больших расстояниях от положений равновесия требует иных методовисследования.Полученный с помощью линеаризации фазовый портретсистемы представлен на рис.
7.4.λ1, 2 =II способ.Исследуем положение равновесия M(1,1).Замена()x = u +1.y = v +1⎧u& = (u + 1) arctg 1 − v 2 − 2v − 1⎪после линеаризаСистема ⎨v +1⎪⎩v& = ln u + 1 = ln(1 + v ) − ln(1 + u )107⎧u& = −2vции принимает вид ⎨.⎩v& = v − u⎛ 0 − 2⎞⎟⎟ .Матрица линеаризованной системы ⎜⎜⎝ −1 1 ⎠Характеристическоеуравнениеdet ( A − λE ) = 0 :0−λ−2−11− λ= (λ − 2)(λ + 1) = 0 .Собственные значения: : λ1 = −1 и λ 2 = 2 вещественные иразных знаков - седло.rСобственные векторы ( A − λE )h = 0 :⎛ 1 − 2⎞ r ⎛ 2⎞⎟ ; h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;λ1 = −1 ; A − λE = ⎜⎜2 ⎟⎠⎝ −1⎝1⎠⎛ − 2 − 2 ⎞ r ⎛ − 1⎞⎟⎟ ; h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .λ 2 = 2 ; A − λE = ⎜⎜⎝ −1 −1 ⎠⎝ 1⎠ЗаменаИсследуем положение равновесия N(–1, –1).2⎧u& = (u − 1) arctg 1 − v + 2v − 1 ,x = u − 1,⎪Система ⎨послеv −1y = v − 1.⎪⎩v& = ln u − 1 = ln (1 − v ) − ln (1 − u )⎧u& = −2v,линеаризации принимает вид ⎨⎩v& = u − v.()⎛0 − 2⎞⎟⎟ .Матрица линеаризованной системы ⎜⎜⎝ 1 −1 ⎠det ( A − λE ) = 0 :Характеристическоеуравнение0−λ−21−1 − λ= λ2 + λ + 2 = 0 .−1± i 7.
Корни комплекс2ные, Re λ < 0 - устойчивый фокус.Собственные значения: λ1, 2 =108Направление закручивания:u = ε , ⎧u& = −2v = 0,- про⎨v = 0, ⎩v& = u − v = εтив часовой стрелки.Рис. 7.4Пример 7.2. (3-14) Найти положения равновесия системы,определить их характер и начертить фазовые траектории соответствующих линеаризованных систем⎧ x& = arc sin (xy ),.⎨x + 2 y −3− 1.⎩ y& = e2 Здесь P(x, y ) = arc sin (xy ) , Q(x, y ) = e x + 2 y −3 − 1 . Положения⎧ P(x, y ) = 0,равновесия находим из системы уравнений ⎨или⎩Q(x, y ) = 0,⎧arc sin (xy ) = 0,⎨ x + 2 y −3− 1 = 0,⎩e⎧ xy = 0,Решая ее, находим⎨⎩ x + 2 y − 3 = 0.(3 − 2 y )y = 0 . Таким образом, получаем два положения равновесия:33при y = имеем x = 0 , положение равновесия: M(0, );22при y = 0 имеем x = 3 , положение равновесия: N(3,0).т.е.10932Исследуем положение равновесия M(0, ).
Заменаx = u,y=v+3.2⎧3 ⎞⎛⎪u& = arc sin ⎜ uv + u ⎟,Система ⎨2 ⎠ после линеаризации при⎝⎪v& = e u + 2v +3−3 − 1⎩3⎧⎪u& = u ,нимает вид ⎨2⎪⎩v& = u + 2v.⎛3⎞0⎟Матрица линеаризованной системы ⎜⎜ 2⎟.12⎝⎠det( A − λE ) = 0 :Характеристическоеуравнение3−λ21⎛3⎞= ⎜ − λ ⎟(2 − λ ) = 0 .⎠2−λ ⎝203и λ 2 = 2 различные, веще2ственные, положительные (одного знака) - неустойчивыйузел.rСобственные векторы ( A − λE )h = 0 :⎛0 0 ⎞ r ⎛ 1 ⎞3λ1 = ; A − λE = ⎜ 1 1 ⎟ ; h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎜⎟2⎝ − 2⎠2⎠⎝⎛ 1⎞ r ⎛ 0⎞λ 2 = 2 ; A − λE = ⎜⎜ − 2 0 ⎟⎟ ; h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝1⎠⎝ 0 0⎠Собственные значения: λ1 =110Исследуем положение равновесия N(3,0). Заменаx = u + 3,y = v.⎧u& = arc sin (uv + 3v ),после линеаризации приниСистема ⎨u + 3+ 2 v − 3−1⎩v& = e⎧u& = 3v,мает вид ⎨⎩v& = u + 2v.⎛ 0 3⎞⎟⎟ .Матрица линеаризованной системы ⎜⎜⎝1 2⎠Характеристическоеуравнениеdet( A − λE ) = 0 :0−λ312−λ= (λ − 3)(λ + 1) = 0 .Собственные значения: λ1 = −1 и λ 2 = 3 вещественные иразных знаков - седло.rСобственные векторы ( A − λE )h = 0 :⎛1 3 ⎞ r ⎛ 3 ⎞⎟⎟ ; h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;λ1 = −1 ; A − λE = ⎜⎜⎝1 3 ⎠⎝ − 1⎠⎛ − 3 3 ⎞ r ⎛ 1⎞⎟⎟ ; h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .λ 2 = 3 ; A − λE = ⎜⎜⎝ 1 − 1⎠⎝ 1⎠Рис.
7.5o1117.4. Задачи для самостоятельного решенияНайти положения равновесия системы, определить их характер и начертить фазовые траектории соответствующих линеаризованных систем:⎧ x& = x arctg 1 − y 2 ,⎪169. (4-01) ⎨y⎪⎩ y& = ln x .⎧ x& = e x + y − x 2 ,170. (4-02) ⎨3⎩ y& = arcsin x − x .⎧ x& = ln (x + y ),171. (4-03) ⎨2⎩ y& = 2 x + 2 y − 5 − 1.()()()⎧ x& = − y ln 2 y 2 − 1 ,172.
(4-04) ⎨2⎩ y& = x − y − 2 y .⎧ x& = arctg( y − x + 1),173. (3-11) ⎨2⎩ y& = sh x − y − x .()⎧ x& = e x − y −1 − 1,174. (3-12) ⎨.2⎩ y& = ln x + y .⎧ x& = arctg 2 + y − y 2 ,175. (3-13) ⎨.y2 −x.⎩ y& = 1 − e⎧ x& = arc sin (xy ),176. (3-14) ⎨.x + 2 y −3− 1.⎩ y& = e(())⎧ x& = 4 x − x 2 + y ,177. (6-21) ⎨.2⎩ y& = ln 1 + 2 x + x + 5 y .⎧ x& = th (2 x − y − xy ),.178. (6-22) ⎨⎩ y& = 5 x − 4 y − xy.(())⎧ x& = sh 5 x + x 2 − 3 y ,179. (6-23) ⎨.2⎩ y& = 3 x + x − y.112⎧⎪ x& = 3 − 4 + x 2 + y ,180.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
