Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В некоторых задачах удобно вводить параметр1 dxp= =, тогда dx = pdy .y ′ dy5.3. Особые решенияЗадача Коши для уравнения (5.1) ставится следующим об(x 0 , y 0 , p 0 ) ∈ G , для которойразом: задана точкаF (x 0 , y 0 , p 0 ) = 0 . Требуется найти такое решение уравнения(5.1), которое удовлетворяет начальным условиямy (x 0 ) = y 0 , y ′(x 0 ) = p 0 .(5.4)Достаточные условия существования и единственностизадачи Коши даетТеорема.
Пусть в области G функция F (x, y, p ) непрерывно∂F (x 0 , y 0 , p 0 )дифференцируема и пусть≠ 0 . Тогда∂pнайдется такое число δ > 0 , что при x − x 0 ≤ δ решение задачи Коши (5.1), (5.4) существует и единственно.Особым решением уравнения (5.1) на множестве I называется его решение y o = g (x ) , если ∀x 0 ∈ I через точку егографика (x 0 , g ( x 0 )) проходит другое решение, отличное отнего в сколь угодно малой окрестности этой точки, и имеющее ту же касательную.Для существования особого решения необходимо, чтобы вобласти G нарушались условия теоремы существования и69единственности задачи Коши, т.е. для непрерывно дифференцируемой функции F (x, y, p ) необходимо⎧ F ( x, y , p ) = 0⎪ ∂F (x, y, p ),(5.5)⎨=0⎪⎩∂pМножество точек (x, y , p ) ∈ G , удовлетворяющее условию( x, y , p )⎞= 0 ⎟⎟ называется p-дискрими∂p⎠⎝нантным множеством уравнения (5.1).График особого решения уравнения (5.1) лежит в p-дискриминантном множестве.Однако p-дискриминантное множество не всегда задаетособое решение:а) p-дискриминантное множество не обязано быть гладкойкривой,б) p-дискриминантное множество не обязано определятьрешение уравнения (5.1).⎛(F (x, y, p ) = 0) ∩ ⎜⎜ ∂FДля нахождения особых решений требуется:1.
найти решение (5.1);2. найти p-дискриминантное множество, исключив пара⎧ F ( x, y , p ) = 0⎪метр p из системы ⎨ ∂F (x, y, p );=0⎪⎩∂p3. отобрать те из решений уравнения (5.1), которые лежатв p-дискриминантном множестве;4. для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения, т.е. проверить выполнение при⎧ y (x ) = y (x 0 ,C ), где y (x, C ) ∀x 0 ∈ I условий касания ⎨ o 0⎩ y o′ (x 0 ) = y ′(x 0 ,C )семейство решений (5.1), не совпадающих с y o ( x ) .705.4. Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работахПример 5.1.
(5-24) Решить уравнение, найти особые решения,начертитьинтегральныекривые23( y ′) + 8 xy ′ + 16 x 2 + 16 y = 0 .dyc1.Вводимпараметр.Тогдаp=dx3 p 2 + 8 xp + 16 x 2 + 16 y = 0 , или3 p 2 + 8 xp + 16 x 2.(5.1.1)16Взяв полный дифференциал от обеих частей последнегоравенства и заменив dy через pdx , получаемy=−31133⎛1⎞pp ′ − p − xp ′ − 2 x , или p + pp ′ = −2 x⎜ p ′ + 1⎟ ,82228⎝4⎠3 ⎞⎛ 1⎛⎞откуда ⎜ 2 x + p ⎟⎜ p ′ + 1⎟ = 0 .2 ⎠⎝ 4⎝⎠Возможны два случая:4p=− x.Из(5.1.1)получаем,что1)33 16 2 1 4y=−x + x x − x2 ,следовательно16 92 3122y = − x 2 + x 2 − x 2 , или y = − x 2 .3332) p ′ + 4 = 0 .
Интегрируя, находим p = −4 x + C , C ∈ R . Подp = −4 x + Cставляяв(5.1.1),определяемy:p=−y=−()3 16 x 2 − 8 xC + C 2x(− 4 x + C )−− x2 ,16271или3 xC 3C 2xC−+ 2x 2 −− x2,или21623C 2y = −2 x 2 + xC −.162. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений(5.1.1*)3 p 2 + 8 xp + 16 x 2 + 16 y = 0и∂3 p 2 + 8 xp + 16 x 2 + 16 y = 0 .(5.1.2)∂py = −3x 2 +()⎧3 p 2 + 8 xp + 16 x 2 + 16 y = 0,Из второго уравнения системы ⎨⎩6 p + 8 x = 042следует, что p = − x , поэтому y = − x 2 .332 2Так как y = − x - решение, то это кандидат в особые ре3шения.Рис.
5.13. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):72⎧ 2 23C 22xxxC−=−2+−,⎪⎪00016 следовательно, при∀x 0 ∈ R ⎨ 34⎪− x 0 = −4 x 0 + C ,⎪⎩38C = x 0 в тождество обращается второе уравнение и первое3283 64 2 − 6 + 8 − 4 22x0 =x0 .уравнение: − x 02 = −2 x 0 + x 02 − ⋅3316 932 2⎞⎛проходитрешениеЧерезточку⎜ x0 , − x0 ⎟3⎝⎠3C 28y = −2 x 2 + xC −при C = x 0 , касающееся решения1632 2y = − x в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой3окрестности этой точки при x ≠ x 0 .Интегральные кривые представлены на рис. 5.1, где особое решение отмечено жирной линией. nПример 5.2. (6-33) Решить уравнение, найти особые решения,начертитьинтегральныекривые22 xy ′ + 2 y − y ′y 2 − = 0 .y′1 dxp= =d1.Вводимпараметр.Тогдаy ′ dy2y2x+ 2y −− 2 p = 0 , илиppy2+ p 2 − yp .(5.2.1)2Взяв полный дифференциал от обеих частей последнегоpdy , получаемравенства и заменивчерезdxx=73pdy = ( y − p )dy + (2 p − y )dp , или (2 p − y )dy − (2 p − y )dp = 0 ,откуда (2 p − y )(dy − dp ) = 0 .Возможны два случая:y2 y2 y2y+−1) p = .
Из (5.2.1) получаем, что x =, следо2242y2.вательно x =42) dy − dp = 0 , или dy = dp . Интегрируя, находим y + C = p ,C ∈ R . Подставляя p = y + C в (5.2.1), определяем x:y22+ ( y + C ) − y( y + C ) ,или2y2y2x=+ y 2 + 2Cy + C 2 − y 2 − yC , или x =+ Cy + C 2 ,222C12или x( y , C ) = ( y + C ) +222. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравненийy2x−− p 2 + yp = 0(5.1.1*)2и⎞y2∂ ⎛2⎜x−⎟ = 0.−p+yp(5.1.2)⎟∂p ⎜⎝2⎠x=2⎧⎪ x − y − p 2 + yp = 0,Из второго уравнения системы ⎨сле2⎪⎩− 2 p + y = 0y2y.дует, что p = , поэтому x =24y2Так как x =- решение, то это кандидат в особые реше4ния.74Рис.
5.23. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):⎧ y 02 1C22= ( y0 + C ) +,⎪⎪2∀y 0 ∈ R ⎨ 4 2следовательно, приy0⎪= y0 + C,⎪⎩2yC = − 0 в тождество обращается второе уравнение и первое22⎛ y0 ⎞⎜−⎟22y0 1 ⎛y0 ⎞1⎛1 1⎞ 2⎝ 2 ⎠= ⎜ + ⎟ y0 .уравнение:= ⎜ y0 + − ⎟ +42⎝2 ⎠22⎝4 4⎠⎞⎛ y 02⎟⎜проходитрешениеЧерезточку⎜ 4 , y0 ⎟⎠⎝y1C22при C = − 0 , касающееся решенияx( y, C ) = ( y + C ) +2222yx=в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой ок4рестности этой точки при y ≠ y 0 .Интегральные кривые представлены на рис.
5.2, где особое решение отмечено жирной линией. o75Пример 5.3. (8-01) Найти общее решение, найти особые решения, начертить интегральные кривые уравнения(6 x + 6 y )5 = y ′( y ′ + 6)5 .dye 1. Вводим параметр p = . Тогдаdx1p5( p + 6) .6x + 6 y =(5.3.1)Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенстваизаменивчерезполучаемdypdx ,4141 −56p p ′( p + 6 ) + p 5 p ′ или 6(1 + p ) p 5 = p ′( p + 1) ,554⎛p′ ⎞откуда (1 + p )⎜ p 5 − ⎟ = 0 .⎜5 ⎟⎠⎝Возможны два случая:51) p = −1 . Из (5.3.1) получаем y = − x − .66(1 + p ) =42) p ′ = 5 p 5 . Это уравнение с разделяющимися переменны411 −5p dp = dx . Интегрируя, находим p 5 = x + C ,ми:55C ∈ R . Подставляя p = (x + C ) в (5.3.1), определяем y:1156y = − x + (x + C ) (x + C ) + 6 , или y = C + (x + C ) .662.
Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений(6 x + 6 y )5 = p( p + 6)5(5.3.1*)и(())∂(6 x + 6 y )5 − p( p + 6)5 = 0 .∂p76(5.3.2)⎧⎪ (6 x + 6 y )5 = p( p + 6 )5 ,Из второго уравнения системы ⎨⎪⎩( p + 6 )5 + 5 p( p + 6)4 = 01) p = −6,4получаем 6( p + 1)( p + 6) = 0 , следовательно,2) p = −1.1) Если p = −6 , то согласно (5.3.1*) y = − x - это не решениеисходного дифференциального уравнения.52) Если p = −1 , то согласно (5.3.1*) y = − x − .6Так как y = − x −5- решение, то это единственный канди6дат в особые решения.Рис.
5.33. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):51⎧6⎪− x − = C + ( x 0 + C ) ,∀x 0 ∈ R ⎨ 0 665⎪⎩− 1 = (x 0 + C ) ,следовательно − 1 = x 0 + C , т.е. при C = − x 0 − 1 в тождествообращается второе уравнение и первое уравнение.77Через5⎞⎛⎜ x0 , − x0 − ⎟6⎠⎝точкупроходитрешение1(x + C )6 при C = − x0 − 1 , касающееся решения65y = − x − в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой6окрестности этой точки при x ≠ x 0 . Интегральные кривыепредставлены на рис. 5.3, где особое решение отмечено жирной линией. py=C+5.5. Задачи для самостоятельного решенияРешить уравнения, найти особые решения, начертить интегральные кривые:55113. (8-01) (6 x + 6 y ) = y ′( y ′ + 6) .114. (8-02) y ′( y ′ + 4 ) + (4 x + 4 y ) = 0 .33115.
(8-03) (2 y − 2 x ) + y ′( y ′ − 6 ) = 0 .55116. (8-04) y ′( y ′ − 4) = ( y − x ) .442117. (7-11) ( y ′) − y + y ′ = 2 ln x − 2 .xx2118. (7-12) 4 y − 4 y ′ + ( y ′) + 12 = 8 x .33119. (7-13) ( y ′) − y + 2e − x y ′ + e −2 x + e − x = 0 .2120. (7-14) 5 x 3 y ′ − 10 x 2 y + ( y ′) = 0 .2121. (5-21) 3( y ′) − 8 xy ′ + 8 x 2 − 4 y = 0 .2122. (5-22) ( y ′) + 8 xy ′ − 16 x 2 − 16 y = 0 .2123.
(5-23) ( y ′) + 8 xy ′ + 8 x 2 − 4 y = 0 .2124. (5-24) 3( y ′) + 8 xy ′ + 16 x 2 + 16 y = 0 .2125. (6-31) 27( y ′) ⋅ x 2 + 3xy ′ − y = 0 .378126. (6-32)y− ln y ′ − x = 0 .y′127. (6-33) 2 xy ′ + 2 y − y ′y 2 −2=0.y′128. (6-34) xy ′ + ln x − ln y ′ − 2 y = 0 .129. (6-41) 2 y ( y ′ + 2) − x( y ′) = 0 .2130. (6-42) x( y ′) = yy ′ + 1 .2131. (6-43) ( y ′) − yy ′ + e x = 0 .2132. (6-44) ( y ′) − 4 xyy ′ + 8 y 2 = 0 .3133. (8-51) 4 x 2 y − 2 x 3 y ′ + ( y ′) = 0 .2134. (8-52) 3( y ′) − 3 x 2 y ′ + 4 xy = 0 .2y2135.
(8-53) x 2 ( y ′) − 4 xy ′ += 0 , x >1.ln x23136. (8-54) 2 y ( y ′) + 2 x 2 − x( y ′) = 0 .332137. (8-61) x( y ′) − y ( y ′) + 1 = 0 .138. (8-62) ln y ′ − xy ′ + y = 0 .3212139. (8-63) x( y ′) − y ( y ′) + 1 = 0 , x > 0 .140. (8-64) y ′ − ln(xy ′ − y ) = 0 .5.6. Ответы:51- особое решение; y (x, C ) = (x + C )6 + C .6613114. y = − x - особое решение; y (x, C ) = − (x + C )4 + C .44113. y = − x −6115.
y = x +1⎛x⎞5- особое решение; y ( x, C ) = 3C − ⎜ C − ⎟ .22⎝3⎠⎛x⎝4⎞⎠4116. y = x − 3 - особое решение; y (x, C ) = ⎜ + C ⎟ − 4C .79⎛x⎝2⎞⎠2117. y = −2 ln x - особое решение; y (x, C ) = ⎜ + C ⎟ − 2 ln x .118. y = 2 x − 2 - особое решение; y (x, C ) = −(x + C )2 − 2C − 3 .⎛x⎝2⎞⎠2119. y = e − x - особое решение; y (x, C ) = ⎜ + C ⎟ + e − x .5825120. y = − x 4 - особое решение; y (x, C ) = Cx 2 + C 2 .2 23x - особое решение; y (x, C ) = x 2 + Cx + C 2 .34C2.122. y = −2x 2 - особое решение; y (x, C ) = 2 x 2 + Cx +16121.
y =123. y = −2x 2 - особое решение; y (x, C ) = −(x − C )2 + 2C 2 .23124. y = − x 2 - особое решение; y (x, C ) = −2 x 2 + xC −3C 2.16327 2⎛y⎞125. x = −y - особое решение, x( y, C ) = ⎜ − C 2 ⎟ ,4⎝C⎠y =0.126. x = −1 − ln (− y ) ,x( y, C ) =y<0-особоерешение,y− ln C , C > 0 .Cy2C212- особое решение, x( y, C ) = ( y + C ) +.4221x>0особоерешение,128. y = ln x + ,2Cx 2 ln Cy ( x, C ) =−, C > 0.222(C − x)129. y = 0 , y = −4 x - особые решения, y ( x, C ) =.C127. x =80130. y = ±2 − x ,x≤0-особоерешение,x −C.C2y ( x, C ) =131. y = ±2e1x2- особое решение, y ( x, C ) = Ce x +1.C4x32, y = 0 - особые решения, y ( x, C ) = C ( x − C ) .271133. y = x 4 - особое решение, y ( x, C ) = Cx 2 − C 2 .44⎞x23⎛134.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
