Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(5-11) 2 x 2 zx = 2y(x > 0, y > 0, z > 0) .146. (5-12) xx= y()∂u∂u∂u− x2+ x2 − y − z= 0 , u = (2 − z )x при∂x∂y∂z(x > 0 ) .147. (5-13) yx = 2y2∂u∂u∂u+ 2y2z− (x + y )= 0 , u = e z при∂x∂y∂z∂u∂u∂u+x+ z (x + y )= 0 , u = 3 y 2 ze −3 y при∂x∂y∂z(x > 0 ) .92148. (5-14) yz∂u∂u∂u+ xz+ (x − y )= 0 , u = z 2 − 3x 2 − 2 x при∂x∂y∂z(x > 0, z > 0) .y = 2xНайти все решения уравнений и решить задачу Коши:(149. (7-21) x 3 + 3xy 2x= y) ∂∂ux + 2 y∂u∂u+ 2y2z= 0 , u = 2 z при∂y∂z3(x > 0, z > 0) .150.
(7-22) 2 xy()∂u∂u∂u+ 2 yz+ y2 − x2 − z 2=0,∂y∂x∂zu = z 2 + z + y 2 при z = x 2 (x > 0, y > 0) .∂u∂u∂u151. (7-23) x y 2 − z 2− y x2 + z2+ z x2 + y2= 0,∂x∂y∂z(())()()u = x 2 1 + z 2 при y = xz (x > 0, y > 0) .∂u∂u∂u152. (7-24) y 2 + 1 z + x 2 − 1 z + x 2 − 1 y = 0 , u = z 2 при∂x∂y∂zy = x (x > 1, z > 0) .(153. (7-31) zx)()((154.
(7-32) z 2 + 2 y155. (7-33) x))∂u∂u∂uz2+ z (2 x − y ) + x 2 + z 2 − xy= 0, u =∂x∂y∂zxпри x − y = 1 (x > 0) .x + y = z2() ∂∂ux + (z2+ 2x) ∂∂uy − z ∂∂uz = 0 , u = 3z2x при(x ≠ y ) .∂u∂u∂u+ y 2 ( z + x )2− (2 x + z )= 0 , u = z (x − z ) при∂x∂y∂zxyz = 1 .(156. (7-34) z + y 2) ∂∂ux + (z + x ) ∂∂uy − 2 z(x + y ) ∂∂uz = 0 , u = (x − y )z2при z + 3 xy = 0 (x ≠ y ) .Решить уравнение и задачу Кошия93157.
(7-41) xz( ())∂u∂u∂u+ yz+ x − x2 + y2=0∂x∂y∂z(x > 0, z > 0) ,u = z 2 − 2 x + 1 при x 2 + y 2 = 1 .∂u ∂u y − x ∂u158. (7-42)−+= 0 , u = 1 + z 2 + 2 x(x − 1) при∂x ∂yz ∂zx − y = 1.159. (7-43) xy∂u∂u∂ux2− y2+x=0, u =−при xyz = 1 .∂x∂y∂z2(160. (7-44) x 2 + y 2) ∂∂ux + 2 xy ∂∂uy + x(x > 0, y > 0, z > 0) ,3− xy 2 ∂u=0z∂zu = z 2 при y 2 − x 2 = 1 .Найти общие решения уравнений и решить задачу Коши:(161.
(6-51) x > 0 , z > 0 : 3xz 2 − x 2) ∂∂ux + yz2∂u∂u+ xz=0,∂y∂zu = y 3 при z 2 = 2 x .162. (6-52) x > 0 , z > 0 : xz()∂u∂u∂u+ x3− 4x3 z + z 2=0,∂x∂y∂zu = 4 y при z = x 3 .163. (6-53) y > 0 , z > 0 : 5 xz 4()∂u∂u∂u+ 5 yz 4 − y 2+ yz=0,∂x∂y∂zu = x при y = 3z 4 .164. (6-54) x > 0 , y > 0 , z > 0 :(x) ∂∂ux − x∂u∂u1+ 3 xy 2 z= 0 , u = при x = y 2 .z∂y∂z∂u∂ux ∂u165.
(6-61)+ (x + z cos z ) + z= 0 , u = 3 − y при x = 1 .3 ∂x∂y∂z∂u∂u∂u166. (6-62) 3 y 2 + 2 ze − y+ 2z+ 3y 2= 0 , u = x + 1 при∂x∂y∂z3+ 3x 2 y 2(2y)y = 0, z > 0.94()∂u∂ux ∂u+ ze z − x−z= 0 , u = y + 5 при x = 1 .5 ∂x∂y∂z∂u∂u x ∂u++ y 3 sin x − x= 0 , u = z при y = 0 ,168. (6-64) y 3∂x 2 ∂y∂z167. (6-63)()x >0.6.5. Ответы:⎛⎝141. Общ. реш.: u = Φ⎜ 4 x 2 + y 2 ,u=(4 x5z2)+ y 2 xyxy ⎞⎟ , реш. задачи Коши:z ⎠.()142. Общ. реш.: u = Φ x 4 + y 2 , xyz 2 , реш. задачи Коши:u=2 xyz2x4 + y2.⎛1⎝y1x⎞143.
Общ. реш.: u = Φ⎜⎜ − , (x − y )z ⎟⎟ , реш. задачи Коши:u=⎠3 z (x − y ).8 x2 y23⎛ y2 x z2 ⎞⎟ , реш. задачи Коши:,e −⎟zy⎠⎝144. Общ. реш.: u = Φ⎜⎜u=y 2e xz− yz + 4 2 .zy2 ⎞⎛x− y; (x − y )e z ⎟⎟ , реш. задачи Коши:⎝ xy⎠145. Общ. реш.: u = Φ⎜⎜u=2( x − y )2 e z .2xy()146. Общ. реш.: u = Φ xy + xz; x 2 + 2 y , реш. задачи Коши:2u = − xy − xz + x + 2 y .95()147. Общ.
реш.: u = Φ x 2 − y 2 ; ze − x − y , реш. задачи Коши:(22)u = x − y ze− x− y.()148. Общ. реш.: u = Φ x 2 − y 2 ; z 2 + 2 x − 2 y , реш. задачи Ко222ши: u = x − y + z + 2 x − 2 y .⎛yy3 ⎞u = Φ⎜⎜ ; y + 2 ⎟⎟ ,x ⎠⎝z149. Общ. реш.:реш. задачи Коши:⎛y2 ⎞u = z ⎜1 + 2 ⎟⎟ .⎜x ⎠⎝⎞⎟ , реш. задачи Коши:⎟zxyz++⎠⎝⎛x150.
Общ. реш.: u = Φ⎜⎜ ;u=(z x2 + y2 + z2x2).x222⎛⎝151. Общ. реш.: u = Φ⎜ x 2 + y 2 + z 2 ;u = x2 + y2 + z2 −yz ⎞⎟ , реш. задачи Коши:x ⎠yz.x152. Общ. реш.: u = Φ(y 2 − z 2 , y 3 − x 3 + 3(x + y )) , реш. задачи33Коши: u = z 2 − y 2 + (y − x + 3(x + y )) .236⎛z 2 + x 2 − xy ⎞⎟153. Общее решение: u = Φ⎜⎜ x 2 − xy;⎟ , реш. задачиx2⎠⎝⎛ z 2 + x 2 − xy ⎞⎟ −1 .⎟x⎠⎝Коши: u = (x − y )⎜⎜⎞⎛ z2; 2 x 2 − 2 y 2 + z 2 (x − y )⎟⎟ , реш.⎠⎝x− y154. Общее решение: u = Φ⎜⎜задачи Коши: u =(2 x + 2 y + z )(z22962+ x− y).⎛( x + z )2⎝2155.
Общее решение: u = Φ⎜⎜ x 2 + zx;Коши: u =−1 ⎞⎟, реш. задачиy ⎟⎠2− z 2 − xz .y⎛z156. Общее решение: u = Φ⎜⎜⎝ (x − y )(2)⎞; x 3 − y 3 + z (x − y )⎟ , реш.⎟⎠z x 2 + y 2 + xy + z.x− y⎛y⎞157. Общее решение: u = Φ⎜ , x 2 + y 2 + z 2 − 2 x ⎟ , реш. задачи⎠⎝xзадачи Коши: u =Коши: u = x 2 + y 2 + z 2 − 2 x .⎛⎝⎞⎠12158. Общее решение: u = Φ⎜ x + y, xy − z 2 ⎟ , реш. задачи Коши: u = x 2 + y 2 + z 2 .⎛⎝159. Общее решение: u = Φ⎜ xy,ши: u = xyz −1 2⎞x − xyz ⎟ , реш. задачи Ко2⎠x2−1 .2⎛160. Общее решение: u = Φ⎜⎜ y −⎝22⎞x2 2, y + z 2 − x 2 ⎟⎟ , реш. задачиy⎠2Коши: u = y + z − x − 1 .⎛161. Общее решение: u = Φ⎜⎜ xz − z 3 ,⎝⎛z⎞− 1⎟⎟ y 3 .u = ⎜⎜⎝ x⎠y 3 ⎞⎟, реш.
задачи Коши:xz ⎟⎠2()162. Общее решение: u = Φ x 4 + xz, xze 4 y , реш. задачи Коши:⎛ 2z ⎞u = 4 y + ln⎜ 3⎟.⎝x +z⎠97⎛⎝x ⎞⎟ , реш. задачи Коши:yz ⎟⎠⎛⎝xy ⎞⎟ , реш. задачи Коши:z ⎠163. Общее решение: u = Φ⎜⎜ yz − z 5 ,u=z ⎞⎟3 ⎛⎜x 1−.y ⎟⎠2 ⎜⎝4164. Общее решение: u = Φ⎜ xy + y 3 ,u=(2xz x + y2).⎛ z⎞, 3x − y + sin z ⎟ , реш. задачи3⎝x⎠zКоши: u = 3 x − y + sin z − sin 3 .x165.
Общее решение: u = Φ⎜()166. Общее решение: u = Φ z 2 − y 3 , x − z + e − y , реш. задачиКоши: u = x − z + e − y + z 2 − y 3 .()167. Общее решение: u = Φ x 5 z, 5 x + y + e z , реш. задачи Ко5ши: u = 5 x + y + e z − e x z .()168. Общее решение: u = Φ x 2 − y 4 , 2 y + z + cos x , реш. задачиКоши: u = 2 y + z + cos x − cos x 2 − y 4 .98§ 7. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКААвтономной системой для функций x(t ) , y (t ) называетсясистема дифференциальных уравненийdydx= P ( x, y ) ,(7.1)= Q ( x, y ) ,dtdtгде правые части не зависят от переменной t .Пусть x = f (t ) , y = g (t ) - решение (7.1).Фазовой траекторией системы (7.1) называется параметрически заданная кривая x = f (t ) , y = g (t ) на плоскостиR 2x , y .
Принято отмечать стрелкой на траектории направлениедвижения точки с ростом времени.Фазовым портретом системы называется картина, которую образуют фазовые кривые.Положением равновесия, или точкой покоя, автономнойсистемы дифференциальных уравнений (7.1) называется еерешение вида x = x 0 , y = y 0 .Отметим, что траектория положения равновесия – точка, иP(x 0 , y 0 ) = Q(x 0 , y 0 ) = 0 .В простейшем случае, когда P, Q линейны, т.е.P(x, y ) = ax + by , Q(x, y ) = cx + dy , где a, b, c, d - постоянные,система принимает видdydx= ax + by ,(7.2)= cx + dy .dtdt⎛a b⎞⎟⎟ , составленную из коэффициВведем матрицу A = ⎜⎜⎝c d⎠ентов системы (7.2).997.1 Исследование положений равновесияИсследование положения равновесия проводится по следующей схеме:1.
Сначала находят корни λ1, 2 характеристического уравненияdet ( A − λE ) = 0 .(7.3)Решениесистемы(7.2)имеетвидr λtr λtrr⎛ x⎞⎜⎜ ⎟⎟ = C1 h1 e 1 + C 2 h2 e 2 , где h1 и h2 - собственные век⎝ y⎠торы, отвечающие собственным значениям λ1 и λ 2 , соответственно. Обозначим ζ 1 = C1e λ1t , ζ 2 = C 2 e λ2t координаr rты точки в базисе из собственных векторов h1 , h2 .2. c Если корни вещественные, различные (λ1 ≠ λ 2 ) и одного знака (λ1 λ 2 > 0 ) , то положение равновесия называется узлом. Узел называется устойчивым, если λ1 < 0 ,λ 2 < 0 , и неустойчивым, если λ1 > 0 , λ 2 > 0 .
Положимдля определенности 0 < λ1 < λ 2 .В случае λ 2 < λ1 < 0 обе координаты с ростом t стремятся к нулю, но вторая координата стремится к нулю быстрее, т.е. точки по всем интегральные траекториям, кромеодной, отвечающей C1 = 0 , приближаются к началу координат. Общая касательная для всех траекторий параллельrна вектору h1 , отвечающему меньшему по абсолютнойвеличине собственному значению λ1 . Кроме того, системауравнений (7.2) имеет фазовые траектории в виде лучей,по которым точки стремятся к началу координат (положению равновесия). Эти лучи параллельны собственнымиrrвекторами h1 и h2 матрицы A .
При t → −∞ координатыrприближаются к прямым, параллельным вектору h2 , уда100ляясь от начала координат. В случае устойчивого узладвижение по фазовым траекториям происходит к положению равновесия.В случае λ 2 > λ1 > 0 характер расположения траекторий полностью сохраняется (можно устремить t к − ∞ ипровести рассуждения, аналогичные для t → +∞ ). В случае неустойчивого узла движение по фазовым траекториям происходит от положения равновесия.а)б)Рис. 7.1Схематически фазовый портрет системы (7.2) в случаеа) λ 2 < λ1 < 0 и б) 0 < λ1 < λ 2 показан на рис.
7.1. Здесь идалее ζ 1 и ζ 2 - координаты точки в базисе из собственных векторов матрицы A .d Если корни имеют разные знаки (λ1λ 2 < 0 ) , то положение равновесия называется седлом. Пусть для определенности λ1 < 0 < λ 2 . С ростом t при C 2 = 0 точки на траектории будут приближаться к началу координат вдоль лучей, входящих в начало координат параллельно собственrному вектору h1 , и удаляться от него при C1 = 0 вдоль луrчей, исходящих из начала координат параллельно h2 . Этитраектории, называющиеся сепаратрисами, служат асимптотами траекториям, отвечающим C1 ≠ 0 и C 2 ≠ 0 , приt → −∞ и t → +∞ , соответственно. Движение по траекто101риям при C1 ≠ 0 и C 2 ≠ 0 согласуется с движением поасимптотам Oζ 1 и Oζ 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
