Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Рассмотрим[ ]x =eΔJ = J ( yˆ + h ) − J ( yˆ ) . Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой кривой ŷ , то линейная по h частьприращения функционала δJ ( yˆ ) = 0 . В этом можно при желании убедиться непосредственно используя прием интегрирования по частям, граничные условия и уравнение Эйлера.Следовательно31 ⎞⎛2ΔJ = ⎜ x(h ′) + h 2 ⎟dx ≥ 0x ∈ 1, e 2 → x > 0 ,т.е.x ⎠1⎝( [ ]∫)МИНИМУМ.Пример 4.3. Найти стационарные точки функционала24 ⎤⎡2J ( y ) = ⎢ x( y ′) − 8 x 2 y ′ + 16 xy − y 2 ⎥ dx .x ⎦1 ⎣3 Задача без ограничений.
Составляем уравнение ЭйлераdFy −F y′ = 0 : x 2 y ′′ + xy ′ + 4 y = 16 x 2 .dx∫58Для его решения применяем стандартный алгоритм:1. Решения однородного линейного уравнения ищем в виде: y = x λ .Характеристическое уравнение λ 2 + 4 = 0 .Его корни λ1 = −2i, λ 2 = 2i .Соответствующее решение однородного уравненияy o = C1 sin (2 ln x ) + C 2 cos(2 ln x ) .2. Частное решение ищем в виде y ч = ax 2 : y ч = 2x 2 .3. Общее решение неоднородного уравнения Эйлераy = C1 sin (2 ln x ) + C 2 cos(2 ln x ) + 2 x 2 .Постоянные C1 и C 2 находим из следующих краевыхусловий: F y′x =1= 0 , F y′x=2=0.Т.к.
F y′ = 2 xy ′ − 8 x 2 = 4C1 cos(2 ln x ) − 4C 2 sin (2 ln x ) , то4C1 = 0,⎧т.е. C1 = 0 , C 2 = 0 .⎨⎩− 4C 2 sin (2 ln 2) = 0,Стационарная точка yˆ = 2 x 2 .4. Исследование на экстремум.= 0 и F y′= 0 . РассмотримПусть h ∈ C 1 [1,2] , F y′x =1x=2ΔJ = J ( yˆ + h ) − J ( yˆ ) . Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой кривой ŷ , то линейная по h частьприращения функционала δJ ( yˆ ) = 0 . В этом можно при желании убедиться непосредственно используя прием интегрирования по частям, граничные условия и уравнение Эйлера(на экстремали оно обращается в ноль). Следовательно24 ⎞⎛2ΔJ = ⎜ x(h ′) − h 2 ⎟dx .x ⎠1⎝∫59Т.к.,h = εx α ,полагая2∫ (2)∫(получаем)24⎛⎞ΔJ = ε 2 ⎜ x αx α −1 − x 2α ⎟dx = ε 2 α 2 − 4 x 2α −1 dx ,x⎠1⎝1ΔJ > 0 при α > 2 и ΔJ < 0 при α < 2 , тоНЕТ НИ МИНИМУМА, НИ МАКСИМУМА.т.е.4.6.
Задачи для самостоятельного решенияНайти экстремали и исследовать на экстремум функционал:4⎛ 9y22⎛ 18 yy ′85. (5-01) ∫ ⎜⎜ 2 −1⎝ x86. (5-02) ∫ ⎜⎜x1⎝187. (5-03)∫1215 yy ′4y+ 2( y ′)2 −xx x−7y2x2+ ( y ′ )2 −⎞⎟dx , y (1) = 2 , y (4) = −5 .⎟⎠2 y ⎞⎟1dx , y (1) = − , y (2 ) = 4 .⎟2x ⎠⎛ 11 y 2 25 yy ′⎞⎛1⎞⎜( ′ )2 5 y ⎟()⎜ x 2 − x − 2 y − x 3 ⎟dx , y⎜⎝ 4 ⎟⎠ = 0 , y 1 = −1 .⎝⎠4⎛ 2 yy ′7y212 y ⎞⎟()()⎟dx , y 1 = 3 , y 2 = −1 .⎠− 2 − ( y ′ )2 −88.
(5-04) ∫ ⎜⎜xxx1⎝π 289. (4-11)∫ [− ( y ′)2]+ 4 yy ′ − y 2 + 4 y sin 2 x dx , y (0 ) =04,5⎛π ⎞ 6y⎜ ⎟ = .⎝2⎠ 5π 290. (4-12)∫ [yy ′ − ( y ′)0π 291. (4-13)∫ [( y ′)22]⎛π ⎞− y 2 − 4 y ′ cos 2 x dx , y (0 ) = 0 , y ⎜ ⎟ = 0 .⎝2⎠]− yy ′ + y 2 + 4 y cos 2 x dx , y (0 ) = −0⎛π ⎞4y⎜ ⎟ = − .5⎝2⎠606,5π 292. (4-14)∫ [( y ′)]⎛π ⎞− 4 yy ′ + y 2 − 2 y ′ sin 2 x dx , y (0 ) = 0 , y ⎜ ⎟ = 0 .⎝2⎠20Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал,определив знак приращения:2[]93. (4-21) J ( y ) = ∫ 4e 2 x y + 6e 2 x y ′ − 4 y 2 − ( y ′)2 dx , y (2) = 3e 4 .04⎡94. (4-22) J ( y ) = ∫ ⎢5 y ′ +95. (4-23) J ( y ) =11⎣∫ [( y ′)2⎤1y−y 2 − x ( y ′)2 ⎥ dx , y (1) = 2 .x 2x x⎦]+ y 2 − 8e x y − 8 xe x y ′ dx , y (1) = e .0e2⎛96.
(4-24) J ( y ) = ∫ ⎜ x( y ′)2 +1⎝1 2ln x ⎞y ⎟dx , y (1) = 0 .y − 2 y′ − 2x ⎠xНайти экстремаль и исследовать функционал на экстремум,определив знак приращения:2⎤⎡6y− x 3 ( y ′)2 − xy 2 + 2 x 2 yy ′⎥ dx , y (1) = 0 ,x⎦⎣197. (5-31) J ( y ) = ∫ ⎢y (2) = −7.42[]98. (5-32) J ( y ) = ∫ 2 xy 2 + 2 x 2 yy ′ + x 2 ( y ′)2 + 12 x 2 y dx , y (1) = 2 ,y (2) = 5 .1e[]99. (5-33) J ( y ) = ∫ x 2 ( y ′)2 − 10 yy ′ + 12 y 2 + (24 ln x − 2)y dx ,1y (1) = 1 , y (e ) = −1 + e 3 .2[]100.
(5-34) J ( y ) = ∫ 2 yy ′ − x 2 ( y ′)2 + 12 x 2 y dx , y (1) = 3 , y (2) = 0 .161π101. (8-41) J ( y ) =22∫ [y − ( y ′) + 6 y sin 2 x]dx , y(0) = 0 ,401[⎛π ⎞y⎜ ⎟ = 1 .⎝4⎠]102. (8-42) J ( y ) = ∫ π 2 y 2 − 4( y ′)2 − 2 xy dx , y (0 ) = 0 , y (1) =0π103. (8-43) J ( y ) =∫ [( y ′)20221π2]⎛π ⎞− y 2 + 10 ye 2 x dx , y (0 ) = 1 , y⎜ ⎟ = e π .⎝2⎠[]104. (8-44) J ( y ) = ∫ 2 y − yy ′ + x( y ′)2 dx , y (1) = 1 .1Исследовать на экстремум функционал:2222 2∫ [4 x ( y ′) − 2 x(x + 8)yy ′ − 3x y ]dx , y(1) = 3 ,3105. (4-51)11y (3) = .3∫ [3x2106. (4-52)2(])y 2 + 2(x + 1) x 2 − x + 3 yy ′ − x 2 ( y ′)2 + 4 y dx ,1y (1) = 4 , y (2) = 7 .22∫ [9 x ( y ′) − 4 x(9 + x )yy ′ − 34107.
(4-53)]x y 2 dx , y (1) = 4 ,1y (4) = 16 .∫ [ln x ⋅ y4108. (4-54)y (4) = 4 .]+ 2 x(ln x + 5) yy ′ − x 2 ( y ′)2 dx , y (2) = 1 ,2∫ [3 y2109. (4-61)22.]+ 30 xyy ′ − x 2 ( y ′)2 + 20 xy dx , y (1) = −1 ,1y (2) = −14 .622322∫ [x ( y ′) − 4 x yy ′ − xy − 6 xy]dx , y(1) = 4 , y(2) = 7 .2110.
(4-62)12111. (4-63)∫ [y2]+ 26 xyy ′ − x 2 ( y ′)2 + 24 y dx , y (1) = 0 , y (2) = −7 .12112. (4-64)2322∫ [x ( y ′) − x yy ′ + 2 xy − 6 xy ]dx , y(1) = 0 , y(2) = −1 .14.7. Ответы:85. Уравнение Эйлера: 4 x 2 y ′′ − 3 y = −4 x , yˆ =y=C1xC1xC1x2Эйлера:+ C2 x x +88. Уравнениеy=−x x+ x,2 x 2 y ′′ − 4 y = −2 x ,yˆ = −2x+ x2 + ,x2C1x+ C 2 x 2 + , минимум.x287. Уравнениеy=x+ C 2 x x + x , минимум.86. Уравнение Эйлера:y=24 x 2 y ′′ − 3 y =5,xyˆ = −2x+1,x1, максимум.xx 2 y ′′ − 6 y = 6 x ,Эйлера:yˆ =4x2−x,+ C 2 x 3 − x , максимум.89. УравнениеЭйлера:y = C1e x + C 2 e − x + 1 −y ′′ − y = cos 2 x − 1 ,cos 2 x, максимум.563yˆ = 1 −cos 2 x,590.
Уравнениеy = C1e x + C 2 e − x −91. Уравнение2sin 2 x , максимум.5y ′′ − y = cos 2 x + 1 ,Эйлера:y = C1e x + C 2 e − x − 1 −92. Уравнение2yˆ = − sin 2 x ,5y ′′ − y = 2 sin 2 x ,Эйлера:yˆ = −1 −cos 2 x,5cos 2 x, минимум.51yˆ = − sin 2 x ,5y ′′ − y = sin 2 x ,Эйлера:1y = C1e x + C 2 e − x − sin 2 x , минимум.5y ′′ − 4 y = 4e 2 x ,93. УравнениеЭйлера:yˆ = (1 + x )e 2 x ,y = C1e 2 x + C 2 e −2 x + xe 2 x , максимум.94. Уравнениеy = C1 x +C2xЭйлера:xy = C1 e + C 2 e96. Уравнение−x(2)y ′′ − y = 4 xe x ,()yˆ = x 2 − x + 1 e x ,x+ x − x e , минимум.x 2 y ′′ + xy ′ − y = − ln x ,Эйлера:yˆ = ln x ,C2+ ln x , минимум.x97. Уравнение Эйлера:y = C1 x +yˆ = x + x ,+ x , максимум.95.
Уравнениеy = C1 x +2 x 2 y ′′ + xy ′ − y = − x ,Эйлера:C2x398. Уравнение+1x2x 2 y ′′ + 3xy ′ − 3 xy = −3,xyˆ = − x +1x2,, максимум.x 2 y ′′ + 2 xy ′ = 6 x 2 ,Эйлера:yˆ = x 2 + 1 ,y = C1 + C 2 x + x 2 , минимум.99. Уравнениеx 2 y ′′ + 2 xy ′ − 12 y = 12 ln x − 1 ,Эйлера:yˆ = x 3 − ln x , y = C1 x 3 +C2x4− ln x , минимум.64100.
Уравнениеy = C1 +x 2 y ′′ + 2 xy ′ = −6 x 2 ,Эйлера:yˆ = 4 − x 2 ,C2− x 2 , максимум.x101. Уравнениеy ′′ + y = −3 sin 2 x ,Эйлера:yˆ = sin 2 x ,y = C1 sin x + C 2 cos x + sin 2 x , максимум.102. Уравнениеy = C1 cosπx2103. Уравнение4 y ′′ + π 2 y = x ,Эйлера:+ C 2 sinπx+xπ2Эйлера:2yˆ =xπ2,, максимум.y ′′ + y = 5e 2 x ,yˆ = e 2 x ,y = C1 cos x + C 2 sin x + e 2 x , минимум.104. Уравнениеx 2 y ′′ + xy ′ = x ,Эйлера:yˆ = x +2 ln x,ln 2 − 2y = C1 + C 2 ln x + x , минимум.105.
Уравнениеy=C1x2y = C1 x +C2x2107. УравнениеC1x2C1x33x2,Эйлера:yˆ = 3 x + 1 ,x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 2 y = −2 ,+ 1 , максимум.x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 2 y = 0 ,Эйлера:yˆ = 4 x ,+ C 2 x , минимум.108. Уравнениеy=yˆ =+ C 2 x , минимум.106. Уравнениеy=x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 2 y = 0 ,Эйлера:Эйлера:x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 6 y = 0 ,+ C 2 x 2 , максимум.65yˆ =1 2x ,4109. Уравнение Эйлера: x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 12 y = −10 x , yˆ = x − 2 x 3 ,C23y = C1 x +x4(y = C1 x +)1C2x4112.
Уравнениеy = C1 x +C2xyˆ = 3x + 1 ,+ 1 , ΔJ = ∫ 3 xh 2 + x 3 (h′)2 dx ≥ 0 - минимум.3x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 12 y = −12 ,111. Уравнение Эйлера:3)x 2 y ′′ + 3 xy ′ − 3 y = −3 ,Эйлера:2C2x(+ x , ΔJ = − ∫ 12h 2 + x 2 (h ′)2 dx ≤ 0 - максимум.1110. Уравнениеy = C1 x +232(yˆ = 1 − x 3 ,)+ 1 , ΔJ = − ∫ 12h 2 + x 2 (h ′)2 dx ≤ 0 - максимум.1Эйлера:2x 2 y ′′ + 3 xy ′ − 3 y = −3 ,()yˆ = 1 − x ,+ 1 , ΔJ = ∫ 3 xh 2 + x 3 (h′)2 dx ≥ 0 - минимум.166§ 5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ5.1. Способы решенияУравнениями первого порядка, неразрешенными относительно производной называются уравнения видаF ( x, y , y ′ ) = 0 .(5.1)Уравнение (5.1) можно решать следующими методами:а) разрешить уравнение относительно y ′ , т.е.
из уравнения (5.1) выразить y ′ через x и y ; получается одно или несколько уравнений вида y ′ = f (x, y ) , каждое из которых надорешить;б) методом введения параметра, позволяющим свестиуравнение (5.1) к уравнению, разрешенному относительнопроизводной.5.2. Метод введения параметра5.2.1. Уравнения, разрешенные относительно искомойфункции. Пусть уравнение (5.1) можно разрешить относительно искомой функции y, т.е. записать в виде y = f (x, y ′) .dy= y ′ , получим y = f (x, p ) .
Взяв полВведя параметр p =dxный дифференциал от обеих частей последнего равенстваdy = f x (x, p )dx + f p (x, p )dp и заменив dy через pdx , полу-чим уравнение видаM (x, p )dx + N (x, p )dp = 0 ,где M ( x, p ) = f x (x, p ) − p , N (x, p ) = f p (x, p ) .(5.2)А) Если решение этого уравнения будет найдено в видеp = p(x, C ) , то подставляя его в равенство y = f (x, p ) ,сразу получаем y = f (x, p (x, C )) - общее решение уравнения (5.1).67Б) Если решение этого уравнения найдено в виде x = ϕ ( p, C ) ,то получим решение исходного уравнения в параметриче⎧ x = ϕ ( p, C ),Исключив теперь параской записи ⎨⎩ y = f ( ϕ ( p, C ), p ).метр p, получим общее решение уравнения (5.1) в явномвиде.Замечание. Было бы ошибкой в левой части выраженияp = p(x, C ) заменить p на y ′ и проинтегрировать уравнениеy ′ = p(x, C ) , т.к.
решение последнего y =∫ p(x, C )dx + C1вобщем случае не удовлетворяет уравнению y = f (x, p ) .5.2.2. Уравнения, разрешенные относительно аргумента. Пусть теперь уравнение (5.1) можно разрешить относительно независимого переменного x, т.е. записать в видеx = f ( y , y ′) . Аналогично вышерассмотренному случаю, ввеdyдя параметр p == y ′ , получим x = f ( y, p ) . Взяв полныйdxдифференциал от обеих частей последнего равенстваdydx = f y ( y, p )dy + f p ( y, p )dp и заменив dx через, получимpуравнение видаM ( y, p )dy + N ( y, p )dp = 0 ,(5.3)1где M ( y, p ) = f y ( y, p ) − , N ( y, p ) = f p ( y , p ) .pА) Если решение этого уравнения будет найдено в видеp = p( y, C ) , то подставляя его в равенство x = f ( y, p ) ,сразу получаем x = f ( y, p( y, C )) - общее решение уравнения (5.1).Б) Если решение этого уравнения найдено в виде y = ψ ( p, C ) ,то получим решение исходного уравнения в параметриче68⎧ y = ψ ( p, C ),ской записи ⎨Исключив теперь пара⎩ x = f ( ψ ( p, C ), p ).метр p, получим общее решение уравнения (5.1) в явномвиде.Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
