Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(6-24) ⎨.⎪⎩ y& = ln x 2 − 3 .2⎧2⎪ x& = x − 2 + 1,181. (4-31) ⎨.y⎪⎩ y& = sh (x − y ).⎧ x& = e 2 y + e y − 2,⎪182. (4-32) ⎨.2 2⎪⎩ y& = 3 x − x + 3 y − 4 xy.⎧ x& = arctg(x + y ),⎪y211 .183. (4-33) ⎨−− .y& = x 2 −2⎪424y⎩()()()⎧ x& = 6 x + 2 y 2 − y − 4 xy,184. (4-34) ⎨.2xx⎩ y& = e + 2e − 3.⎧ x& = 2 xy − 4 y − 8,.185. (4-41) ⎨22⎩ y& = 4 y − x .⎧ x& = 2 x + y 2 − 1,.186. (4-42) ⎨2⎩ y& = 6 x − y + 1.⎧ x& = x − y 2 ,187. (4-43) ⎨.22⎩ y& = x + y − 2.⎧ x& = x 2 − y,⎪188. (4-44) ⎨1− x + x 2 .&=ln.y⎪⎩3()⎧ x& = ln x + y 2 − 1 ,189. (3-51) ⎨.2⎩ y& = arcsin x − x − 6 .⎧ x& = −2 arcsin(xy + x + 2),⎪1.190.
(3-52) ⎨22&⎪⎩ y = 2 arctg x − y .(())113()⎧ x& = arctg y + 2 − y 2 ,191. (3-53) ⎨.2⎩ y& = ln 1 − x − y .⎧ x& = −6 arctg(xy + y + 2 ),⎪1192. (3-54) ⎨22 .&⎪⎩ y = 2 sh x − xy − 2 y .5⎧2⎪ x& = − arctg y − 1 ,193. (3-61) ⎨.42⎪⎩ y& = e x + 2 xy + 3 y − 1.()()()⎧ x& = 3x − 2 x 2 + y − 1,194. (3-62) ⎨.2⎩ y& = (1 − x ) ln 1 − 4 x + 2 x .⎧ x& = e sh y − 1,⎪195. (3-63) ⎨x 2 +1 .&yy=−3+4ln.⎪⎩2()⎧ x& = sh (2 xy − 4 y − 8),196. (3-64) ⎨22 .⎩ y& = arcsin 4 y − x .()7.5.
Ответы:169. M (1,1) : седло, неуст.,λ2 = 2 ,r ⎛ 1⎞h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎝ − 1⎠⎛ 0 − 2⎞⎜⎜⎟,1⎟⎠⎝ −1N (− 1, − 1) :λ1 = −1 ,фокус, уст.,r ⎛ 2⎞h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎝1⎠⎛0 − 2⎞⎜⎜⎟⎟ ,⎝1 −1⎠−1± i 7, против часовой стрелки.2r ⎛ 1⎞⎛ 3 1⎞⎟⎟ , λ1 = 1 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 2 ,170. M (− 1,1) : узел, неуст. ⎜⎜⎝ − 2 0⎠⎝ − 2⎠r ⎛ 1⎞⎛ −1 1⎞−1± i 7⎟⎟ , λ1, 2 =,h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (1, − 1) : фокус, уст., ⎜⎜−1−202⎝ ⎠⎝⎠λ1, 2 =по часовой стрелке.114⎛ 1 1⎞v⎛1⎞⎟⎟ , λ1 = 3 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = −1 ,171. M (2, − 1) : седло, неуст., ⎜⎜⎝ 4 1⎠⎝ 2⎠r⎛ 1 ⎞⎛ 1 1⎞⎟⎟ , λ1, 2 = 1 ± i 2 ,h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (− 1, 2) : фокус, неуст., ⎜⎜−2⎝ ⎠⎝ − 2 1⎠по часовой стрелке.r ⎛ 4⎞0 − 4⎞⎟⎟ , λ1 = −1 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = −4 ,⎝1⎠⎝1 − 5⎠172.
M (3,1) : уст. узел, ⎛⎜⎜r⎛1⎞3±i 7⎛ 0 − 4⎞h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (1, − 1) : фокус, неуст., ⎜⎜, про⎟⎟ , λ1, 21213⎝ ⎠⎝⎠тив часовой стрелки.⎛ −1r1⎞⎛ 1 ⎞⎟⎟ , λ1 = −1 − 3 , h1 = ⎜⎜⎟⎟ ;173. M (− 1, − 2 ) : седло, ⎜⎜⎝ 3 − 1⎠⎝− 3 ⎠r⎛ 1 ⎞⎛ −1 1 ⎞⎟⎟ ,λ 2 = −1 + 3 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (1, 0) : уст. фокус, ⎜⎜⎝ 3⎠⎝ − 1 − 1⎠λ1, 2 = −1 ± i , по часовой стрелке.⎛ 1 − 1⎞⎟ , λ1,2 = 1 ± i 2 , против ча1⎟⎠174.
M (1, 0 ) : неуст. фокус, ⎜⎜⎝2совой стрелки;N (− 2, − 3) : седло,r ⎛1⎞r⎛ 1⎞h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 3 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .2⎝ ⎠⎝ − 2⎠⎛0 3⎞⎟⎟ ,175. M (1, − 1) : седло, ⎜⎜⎝1 2⎠r⎛1⎞h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (4, 2) : уст. узел,⎝1⎠r⎛1⎞λ 2 = −3 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝1⎠115λ1 = −1 ,⎛ 1 − 1⎞⎟,⎜⎜1⎟⎠⎝− 4r ⎛ 3⎞h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎝ − 1⎠λ1 = −1 ,λ2 = 3 ,r ⎛ 3⎞⎛0 − 3⎞⎟⎟ , λ1 = −1 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎜⎜⎝1 − 4⎠⎝1⎠⎛3⎞3 r ⎛ 1⎞⎛ 3⎞176. M ⎜ 0, ⎟ : неуст. узел, ⎜⎜ 2 0 ⎟⎟ , λ1 = , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 2 ,2⎝ 2⎠⎝ − 2⎠⎝ 1 2⎠r ⎛ 0⎞r ⎛ 3⎞⎛0 3⎞⎟⎟ , λ1 = −1 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 3 ,h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (3, 0 ) : седло, ⎜⎜⎝1⎠⎝1 2⎠⎝ − 1⎠r⎛1⎞h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝1⎠r ⎛ 1⎞⎛ 4 1⎞⎟⎟ , λ1 = 3 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 6 ,177.
M (0,0) : неуст. узел, ⎜⎜⎝ 2 5⎠⎝ − 1⎠rr ⎛1⎞⎛1⎞⎛ − 2 1⎞⎟⎟ , λ1 = 6 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (3,−3) : седло, ⎜⎜⎝ 2⎠⎝ 8 5⎠⎝8⎠r⎛ 1⎞λ 2 = −3 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ − 1⎠r ⎛1⎞⎛ 2 −1 ⎞⎟⎟ , λ1 = −3 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 1 ,178. M (0,0) : седло, ⎜⎜⎝ 5 − 4⎠⎝ 5⎠rr ⎛ 1⎞⎛ 1⎞⎛1 − 2⎞⎟⎟ , λ1 = −1 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (1,1) : уст. узел, ⎜⎜⎝ 1⎠⎝ 4 − 5⎠⎝ 1⎠r⎛1⎞λ 2 = −3 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ 2⎠r ⎛1⎞⎛ 5 − 3⎞⎟⎟ , λ = 2 , h = ⎜⎜ ⎟⎟ ;179. M (0,0) : вырожденный узел, ⎜⎜⎝ 3 −1⎠⎝1⎠r ⎛ 3⎞⎛ 1 − 3⎞⎟⎟ , λ1 = 2 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = −2 ,N (− 2, − 2 ) : седло, ⎜⎜⎝ − 1 − 1⎠⎝ − 1⎠r⎛ 1⎞h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ 1⎠1161⎞⎛ 2r ⎛−1− 7 ⎞1+ 7⎟;180.
M (− 2,1) : седло, ⎜⎜ 3 − 6 ⎟⎟ , λ1 =, h1 = ⎜⎜⎟3⎜− 4⎝ 12 ⎠0⎟⎝λ2 =⎠1⎞⎛ 4⎛ 7 − 1⎞1− 7 r⎟ ; N (2,1) : уст. фокус, ⎜ − 6 − 6 ⎟ ,, h2 = ⎜⎜⎜⎜⎟⎟2⎝ 12 ⎠0 ⎟⎠⎝ 4−1± i 5, против часовой стрелки.3r ⎛ 4⎞⎛ 2 4⎞⎟⎟ , λ1 = 3 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = −2 ,181. M (1,1) : седло, ⎜⎜⎝ 1 −1⎠⎝1⎠r ⎛ 1⎞⎛ − 2 − 4⎞⎟⎟ ,⎜⎜h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;N (− 1,−1) :уст.фокус,⎝ − 1⎠⎝ 1 − 1⎠λ1,2 =− 3 ± i 15, против часовой стрелки.2⎛ 0 3⎞r ⎛ 3⎞182. M (0,0) : неуст. узел, ⎜ − 2 3 ⎟ , λ1 = 1 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 2 ,⎜⎟⎝1⎠⎝ 3⎠λ1, 2 =3⎞⎛0rr⎛ 3⎞⎟ , λ = 1 , h = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ; λ = −2 ,h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (1,0 ) : седло, ⎜ 2121⎜1⎟−1⎜⎟⎝ 2⎠⎝ ⎠⎝3⎠r⎛ 3⎞h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ − 2⎠r ⎛1⎞⎛1 1⎞⎟⎟ , λ1 = 2 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = −1 ,183.
M (1,−1) : седло, ⎜⎜⎝ 2 0⎠⎝1⎠r⎛ 1⎞⎛ 1 1⎞1± i 7⎟⎟ , λ1, 2 =h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (− 1,1) : неуст. фокус, ⎜⎜,−2−202⎠⎝ ⎠⎝по часовой стрелке.117r ⎛1⎞⎛ 6 − 2⎞⎟⎟ , λ1 = 2 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 4 ,0⎠⎝ 2⎠r ⎛1⎞r⎛ 2 2⎞⎛1⎞⎟⎟ , λ1 = 4 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = −2 ,h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (0,1) : седло, ⎜⎜140⎝ ⎠⎝⎠⎝1⎠r⎛ 1⎞h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ − 2⎠r ⎛1⎞⎛ 4 4⎞⎟⎟ , λ1 = 8 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 12 ,185. M (4,2 ) : неуст. узел, ⎜⎜⎝ − 8 16 ⎠⎝1⎠r⎛1⎞⎛ − 2 − 8⎞⎟⎟ , λ1, 2 = −5 ± i 23 ,h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (− 2,−1) : уст. фокус, ⎜⎜⎝ 2⎠⎝ 4 − 8⎠184. M (0,0) : неуст. узел, ⎜⎜⎝4против часовой стрелки.⎛2r2⎞⎛ 1⎞⎟⎟ , λ1 = −4 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 4 ,186.
M (0,1) : седло, ⎜⎜⎝ 6 − 2⎠⎝ − 3⎠r ⎛1⎞⎛ 2 − 2⎞⎟ , λ1,2 = 2 ± 2i 3 ,h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (0,−1) : неуст. фокус, ⎜⎜12 ⎟⎠⎝ ⎠⎝6против часовой стрелки.⎛ 1 − 2⎞− 3 ± i 15⎟⎟ , λ1, 2 =, против2⎠2187. M (1,1) : неуст. фокус, ⎜⎜⎝2часовой стрелки;N (1, − 1) :седло,2⎞⎛1⎟,⎜⎜2−2 ⎟⎠⎝λ1 = −3 ,r ⎛ 1⎞r⎛ 2⎞h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = 2 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ − 2⎠⎝1⎠r ⎛ 1 ⎞⎛ 4 − 1⎞⎟⎟ , λ1 = 2 − 3 , h1 = ⎜⎜⎟⎟ ;188. M (2, 4 ) : неуст. узел, ⎜⎜⎝ 1 0⎠⎝2 + 3⎠r ⎛ 1 ⎞⎛ − 2 − 1⎞⎟⎟ ; N (1, − 1) : седло, ⎜⎜⎟⎟ ,λ 2 = 2 + 3 , h2 = ⎜⎜⎝2 − 3⎠⎝ −1 0 ⎠r ⎛ 1 ⎞r ⎛ 1 ⎞⎟⎟ ; λ 2 = −1 + 2 , h2 = ⎜⎜⎟⎟ .λ1 = −1 − 2 , h1 = ⎜⎜⎝ −1+ 2 ⎠⎝−1− 2 ⎠118⎛ 1 4⎞1 ± i 79⎟⎟ , λ1, 2 =⎜⎜, по2⎝ − 5 0⎠⎛ 1 − 4⎞⎟ , λ1 = 5 ,часовой стрелке; N (− 2, − 2 ) : седло, ⎜⎜0 ⎟⎠⎝−5r ⎛ − 1⎞r ⎛ 4⎞h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ2 = −4 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝1⎠⎝5⎠⎛ 2 − 4⎞⎟ , λ1, 2 = 2 ± i 2 2 , против190.
M (2, − 2 ) : неуст. фокус, ⎜⎜2 ⎟⎠⎝2189. M (− 2, 2 ) : неуст. фокус,⎛− 42⎞⎟⎟ , λ1 = −2 ,часовой стрелки; N (− 1,1) : уст. узел, ⎜⎜⎝ − 1 − 1⎠r ⎛ 1⎞r⎛ 2⎞h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ2 = −3 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ 1⎠⎝1⎠3⎞⎛ 0− 1 ± i 23⎟⎟ , λ1, 2 =191. M (1, − 1) : уст. фокус, ⎜⎜, по часо2⎝ − 2 − 1⎠r ⎛ 1⎞⎛0 3 ⎞⎟⎟ , λ1 = −3 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;вой стрелке; N (− 1, − 1) : седло, ⎜⎜⎝ 2 −1⎠⎝ − 1⎠r⎛ 3⎞λ 2 = 2 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ 2⎠⎛ 6 − 12 ⎞15 ± i3 233 ⎟ , λ1, 2 =, про⎟⎜42⎠⎝26⎞⎛ − 12⎟⎟ ,тив часовой стрелки; N (− 2, 2 ) : уст. узел, ⎜⎜⎝ − 3 − 3⎠r ⎛1 ⎞r⎛ 2⎞λ1 = −6 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = −9 , h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .1⎝ ⎠⎝1⎠192. M (1, − 1) : неуст.
фокус, ⎜ 3119⎛5⎞r⎛1⎞193. M (3, − 1) - седло, ⎜⎜ 0 2 ⎟⎟ , λ1 = 10 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; λ 2 = −1 ,⎜4 9 ⎟⎝ 4⎠⎝⎠r⎛ 5⎞h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎝ − 2⎠N (− 1, − 1)-неуст.фокус,⎛⎜ 0⎜⎜⎝− 45⎞⎟2⎟,1⎟⎠1 ± i 39, по часовой стрелке.2r ⎛1 ⎞⎛ − 5 1⎞⎟⎟ , λ1 = −4 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ , λ 2 = −1 ,194. M (2, 3) : уст. узел, ⎜⎜⎝ − 4 0⎠⎝1 ⎠r⎛1⎞⎛ 3 1⎞3±i 7⎟⎟ , λ1,2 =h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; N (0,1) - неуст. фокус, ⎜⎜, по−4042⎝ ⎠⎝⎠λ1, 2 =часовой стрелке.195. M (1, 0 ) :r⎛ 1⎞h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎝ − 4⎠седло,1⎞⎛0⎟⎟ ,⎜⎜4−3⎠⎝N (− 1, 0)-λ1 = 1 ,уст.r ⎛1⎞h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎝1⎠фокус,λ 2 = −4 ,1⎞⎛ 0⎜⎜⎟⎟ ,⎝ − 4 − 3⎠−3±i 7, по часовой стрелке.2r ⎛1⎞⎛ 4 4⎞⎟⎟ , λ1 = 8 , h1 = ⎜⎜ ⎟⎟ , λ 2 = 12 ,196.
M (4, 2 ) : неуст. узел, ⎜⎜⎝ − 8 16 ⎠⎝1⎠r⎛1⎞⎛ − 2 − 8⎞⎟,⎜⎜N (− 2, − 1)уст.фокус,h2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ;8 ⎟⎠⎝ 2⎠⎝ 4λ1, 2 =λ1, 2 = −5 ± i 23 , против часовой стрелки.120§ 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ8.1. Основные понятияЛинейным дифференциальным уравнением 2-го порядка спеременными коэффициентами называется уравнение видаa(x ) y ′′ + b(x ) y ′ + c(x ) y = f ( x ) ,(8.1)где на рассматриваемом промежутке I ∈ R1 a(x ) , b(x ) , c(x ) ,f (x ) - известные непрерывные функции и a(x ) ≠ 0 .Решения y1 (x ) , y 2 ( x ) однородного уравненияa(x ) y ′′ + b(x ) y ′ + c(x ) y = 0 ,(8.2)называются линейно зависимыми, если существуют постоянные α и β , α 2 + β 2 ≠ 0 , такие, что α ⋅ y1 ( x ) + β ⋅ y 2 (x ) ≡ 0 наI.Решения y1 (x ) и y 2 ( x ) - линейно независимы тогда итолько тогда когда определитель Вронскогоy y2W (x ) = 1(8.3)y1′ y 2′не обращается в нуль на I .Общее решение однородного уравнения (8.2) представимов видеy o (x ) = C1 y1 (x ) + C 2 y 2 (x ) ,(8.4)где y1 (x ) , y 2 (x ) - линейно независимые решения (8.2).Если y1 и y 2 - два (любые) решения однородного уравнения (8.2), то для определителя Вронского (8.3) справедливаформула Остроградского-Лиувилля уравнения второго порядка⎛ x⎞W (x ) = W (x 0 ) exp⎜ − p(t )dt ⎟ , ∀x 0 ∈ I , ∀x ∈ I ,(8.5)⎜⎟⎝ x0⎠∫120где p(t ) =b(t ).a(t )8.2.
Схема отыскания частного решения однородногоуравненияУниверсального алгоритма для отыскания частного решения однородного линейного уравнения второго порядка (8.2)в квадратурах не существует.Если коэффициенты уравнения многочлены, то можнопопытаться найти частное решение путем подбора:а) В виде e αx . Подставляя y = e αx в уравнение (8.2) , приравниваем нулю коэффициенты при соответствующих степенях x. Получаем значение α.б) В виде x α или многочлена. Подставляя y = x α в уравнение (8.2), приравниваем нулю коэффициенты при самойстаршей степени x, получая значение α.
затем проверяем, является ли y = x α решением (8.2).Если α = n - натуральное число, но при этом y = x α неявляется решением (8.2), то можно попытаться найти частноерешение методом неопределенных коэффициентов в видеy = x n + d 1 x n −1 +... + d n .многочленаКоэффициентыd 1 , ... , d n определяются подстановкой в (8.2).8.3. Общее решение однородного уравненияПусть решение y1 уравнения (8.2) найдено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
