DGMTU_FN12 (1172054), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . , U1i , . . . , Um),i = 0, n − 1,размера n × m(i + 1). Столбцы матриц U i (x, t) удобно вычислять по рекуррентному соотношению!k−1∂U∂A(x,t)j0Â(x, t) −Ujk−1 , k = 1, n − 1. (6.8)(U10 , . . . , Um) = B(x, t), Ujk = −∂(x, t)∂xМатрицу U (x, t) = U n−1 (x, t) называют матрицей управляемости многомерной аффинной нестационарной системы (6.3).Используя матрицу управляемости, будем искать разложение числа n на m слагаемых:n1 + .
. . + nm = n (см. канонический вид), в виде q попарно различных чисел, которыеобозначим в порядке убывания через l1 > l2 > . . . > lq , и пусть ri — ”кратность” числа li ,означающая количество слагаемых в сумме n1 + . . . + nm , равных li . Иначе говоря, будемискать разложение числа n на m слагаемых в виде n = r1 l1 + . . . + rq lq .Числа ri и li удобно находить, заполняя следующую таблицу, в верхней строке (с номером 0) которой указаны формулы для вычисления элементов соответствующего столбца.i Rg U i−11m...∗...∗i2∗...∗...∗...∗sndi3 = Rg U i−1 − Rg U i−2m∗∗∗∗∗∗r1 ⇒ l1 = sdi4 = di3 − r1di5 = di4 − r2m − r1m − r1 − r 2∗∗∗∗r2 6= 0 ⇒ l2 = i200...00В первом столбце таблицы стоят номера строк начиная с 1.Во втором столбце в строке с номером i записан ранг матрицы U i−1 (x, t). Следовательно, заполнение второго столбца начинается с числа m = Rg U 0 (x, t) и продолжается до техпор, пока в строке s не появится число n = Rg U s−1 (x, t).
Символ ∗ обозначает в таблицечисла, которые появляются в результате ее заполнения.6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ37Третий столбец заполняется по следующему правилу: в i-ой его строке записываетсячисло di3 = Rg U i−1 (x, t) − Rg U i−2 (x, t), считая, что Rg U −1 (x, t) = 0. Последний элементэтого столбца тогда равен r1 , а номер строки, в которой он стоит, равен l1 , т.е.
l1 = s.Элементы di4 следующего четвертого столбеца находятся по формуле: di4 = di3 − r1 ,i = 1, l1 . Последний ненулевой элемент этого столбца тогда равен r2 , а номер строки, вкоторой он стоит, равен l2 .Элементы пятого столбца с первого по l2 -й вычисляются аналогично элементам четвертого столбца: di5 = di4 − r2 , i = 1, l2 . Последний ненулевой элемент этого столбцатогда равен r3 , а номер строки, в которой он стоит, равен l3 .Аналогично четвертому столбцу заполняются следующие столбцы таблицы и находятся остальные числа ri , li . Всего в таблице может быть не более чем m + 2 ненулевыхстолбца.Пример. Предположим, что для аффинной системы с n = 17 переменными состоянияи m = 4 управлениями при k = 0, 5 были вычислены матрицы U k (x, t) и оказалось, что вокрестности некоторой точки все они инволютивны, их ранги имеют постоянные значения,притом Rg U 0 (x, t) = 4, Rg U 1 (x, t) = 8, Rg U 2 (x, t) = 11, Rg U 3 (x, t) = 13, Rg U 4 (x, t) = 15,Rg U 5 (x, t) = 17 = n.Для того, чтобы найти разложение числа n = 17 на m = 4 слагаемых, которое в некоторой окрестности рассматриваемой точки определяет структуру эквивалентной системыканонического вида, заполним 6 столбцов в предыдущей таблице.i Rg U i−11428311413515617di3 = Rg U i−1 − Rg U i−24−0=48−4=411 − 8 = 313 − 11 = 215 − 13 = 217 − 15 = 2 = r1 , l1 = 6di4 = di3 − r14−2=24−2=23 − 2 = 1 = r 2 , l2 = 32−2=02−2=02−2=0di5 = di4 − r2di6 = di5 − r32−1=11−1=02 − 1 = 1 = r 3 , l3 = 21−1=01−1=0В результате находим соответствующее разложение числа 17 на 4 слагаемых: n =17 = 2 ∗ 6 + 1 ∗ 3 + 1 ∗ 2 = 6 + 6 + 3 + 2.
Следовательно в окрестности рассматриваемойточки аффинная система эквивалентна регулярной системе канонического вида, которая вканонических переменных состоит из двух уравнений шестого порядка, одного уравнениятретьего порядка и одного уравнения второго порядка.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫПусть M — гладкое n-мерное многообразие, Q ∈ M . Ковектор линейного пространстваTQ M называют ковектором многообразия M в точке Q. Сопряженное (ковекторное)пространство по отношению к линейному пространству TQ M называют кокасательнымпространством к многообразию M в точке Q и обозначают TQ∗ M .Пример 7.1. Пусть f — гладкая функция на многообразии M.
Дифференциал dfQ вточке Q есть линейное отображение из TQ M в Tf (Q) R. Пространство Tf (Q) R отождествлетсяс R. Получаем ковектор в точке Q, который определяется формулой~ = ξ(f~ ),dfQ (ξ)ξ~ ∈ TQ M.Задача 7.1 Пусть x1 , . . . , xn — система координат в окрестности точки Q на многообразии M . Покажите, что ковекторы dx1,Q , . .
. , dxn,Q образуютбазис кокасательного∂∂ ,..., касательного пространствапространства TQ∗ M биортогональный базису∂x1 Q∂xn QTQ M (см. задачу 2.3).Множество всех ковекторов многообразия M во всех его точках обозначают T ∗ M :[TP∗ M.T ∗M =P ∈MРассмотрим отображение τ ∗ : T ∗ M → M , которое ковектору в точке Q ставит в соответствие точку Q.Задача 7.2 Покажите, что1) T ∗ M — гладкое многообразие размерности 2 dim M ;2) отображение τ ∗ : T ∗ M → M есть гладкое отображение многообразий.Отображение τ ∗ из задачи 7.2 называют кокасательным расслоением многообразия M .По аналогии с определением векторного поля определяется ковекторное поле на многообразии как отображение, которое каждой точке Q многообразия ставит в соответствиековектор в точке Q.Пример 7.2. Дифференциал гладкой функции на многообразии M есть ковекторноеполе на M .Задача 7.3 Пусть x1 , .
. . , xn — система координат в окрестности точки Q на многообразии M . Покажите, что любое ковекторное поле ω на многообразии M в окрестности точкиQ представляется в видеnXω=ai dxi ,i=1где ai , i = 1, . . . , n, — функции на M .38397. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫПредположим каждой точке Q многообразия M поставлено в соответствие p-форма ωQв TQ M . Гладкость отображения ω : Q 7−→ ωQ определим следующим образом. Каждоетакое отображение определяет отображение, которое набору (X1 , . . . , Xp ) векторных полейставит в соответствие функцию ω(X1 , . . .
, Xp ) : Q 7−→ ωQ (X1,Q , . . . , Xp,Q ). Отображениеω будем называть гладким, если для любых гладких векторных полей X1 , . . . , Xp на Mфункция ω(X1 , . . . , Xp ) гладкая.Гладкое отображение, которое точке Q многообразия M ставит в соответствие p-формув TQ M , называют дифференциальной формой порядка p (дифференциальной p-формой иливнешней p-формой).
В частности, гладкое ковекторное поле есть дифференциальная 1форма. Множество всех дифференциальных форм порядка p многообразия M обозначаютΛp (M ). Дифференциальные формы порядка 0 многообразия M — это гладкие функции наM , поэтому Λ0 (M ) = C ∞ (M ). Множество всех дифференциальных форм многообразия Mобозначают Λ∗ (M ):[Λ∗ (M ) =Λp (M ).p≥0Сложение, умножение на число и внешнее умножение дифференциальных форм на Mопределяются поточечно: в каждой точке Q ∈ M надо сложить, умножить на числоили внешне перемножить соответствующие внешние формы на касательном пространствеTQ M :(ω1 + ω2 )Q = ω1,Q + ω2,Q , (λω)Q = λωQ , (ω1 ∧ ω2 )Q = ω1,Q ∧ ω2,Q .Аналогично определяется внутреннее произведение Xcω векторного поля X и дифференциальной формы ω на M :(Xcω)Q = XQ cωQ ,Q ∈ M.Дифференциальные формы можно умножать не только на числа, но и на гладкие функции:(f ω)Q = f (Q)ωQ ,f ∈ C ∞ (M ), ω ∈ Λp (M ).Множество Λp (M ) дифференциальных p-форм имеет, таким образом, естественную структуру модуля над R-алгеброй C ∞ (M ).Задача 7.4 Пусть x1 , .
. . , xn — система координат в окрестности точки Q на многообразии M . Покажите, что любая дифференциальная p-форма ω на многообразии M вокрестности точки Q представляется в видеXai1 ...ip dxi1 ∧ . . . ∧ dxip ,ω=ai1 ...ip ∈ C ∞ (M ).(7.1)1≤i1 <...<ip ≤nЗадача 7.5 Как меняется форма (7.1) при переходе к другим координатам y1 , . . . , yn ?Пусть F : M → N — гладкое отображение многообразий, ω — дифференциальная pформа на многообразии N . Тогда на многообразии M возникает дифференциальная pформа, которая обозначается F ∗ ω и определяется соотношением(F ∗ ω)(ξ~1 , . . .
, ξ~p ) = ω(F∗ ξ~1 , . . . , F∗ ξ~p ),ξ~1 , . . . , ξ~p ∈ TP (M ),P ∈ M.Иными словами, значение формы F ∗ ω на векторах ξ~1 , . . . , ξ~p равно значению формы ω наобразах этих векторов.Задача 7.6 Докажите, что F ∗ ω есть дифференциальная p-форма на многообразии M .407. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫЗадача 7.7 Докажите, что отображение F ∗ сохраняет операции над формами:F ∗ (f1 ω1 + f2 ω2 ) = F ∗ (f1 )F ∗ (ω1 ) + F ∗ (f2 )F ∗ (ω2 ),F ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = F ∗ (ω1 ) ∧ F ∗ (ω2 ).f1 , f2 ∈ C ∞ (M );Задача 7.8 Пусть G: N → L — второе гладкое отображение многообразий.
Докажите,что (G ◦ F )∗ = F ∗ ◦ G∗ .Задача 7.9 Пусть F : N → M – диффеоморфизм. Докажите формулуF ∗ (Y cω) = F∗−1 (Y )cF ∗ (ω),Y ∈ D(M ),ω ∈ Λp (M ).Пусть X — векторное поле на многообразии M , {At } — его фазовый поток, а ω —дифференциальная p-форма. В произвольной точке P ∈ M определим форму X(ω) соотношениемd ~~ξ~1 , . . . , ξ~p ∈ TP (M ).X(ω)(ξ1 , . . .
, ξp ) = ω(At,∗ ξ~1 , . . . , At,∗ ξ~p ),dt t=0Задача 7.10 Докажите, что X(ω) есть дифференциальная p-форма на многообразии M .Задача 7.11 Докажите формулыX(df )Xc(ω1 ∧ ω2 )X(ω1 ∧ ω2 )X(Y cω)====d(Xf );Xcω1 ∧ ω2 + (−1)q ω1 ∧ Xcω2 ,X(ω1 ) ∧ ω2 + ω1 ∧ X(ω2 );[X, Y ]cω + Y cX(ω).ω1 ∈ Λq (M );8. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДЕ РАМАРассмотрим задачу следующего типа: для заданной 1-формы ω проверить существуетли, и если существует, найти такую функцию f , что df = ω.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
