DGMTU_FN12 (1172054), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

. . , Xk таковы, что для любого числа r = 1, k векторные поля X1 , . . . , Xr порождают инволютивное регулярное распределение размерности r. Тогдаобщие первые интегралы векторных полей X1 , . . . , Xk можно находить последовательно.Сначала определяются первые интегралы векторного поля X1 , затем общие первые интегралы пары векторных полей X1 , X2 , затем общие первые интегралы трех векторныхполей и т.д. Пусть найдены общие первые интегралы векторных полей X1 , . . . , Xr . Согласно теореме 4.3, можно выбрать такие функции u1 , .

. . , un−r , что любой общий первый264. РАСПРЕДЕЛЕНИЯинтеграл u векторных полей X1 , . . . , Xr имеет вид u = F (u1 , . . . , un−r ), где F — произвольная гладкая функция. Подставляя это представление в уравнение Xr+1 (u) = 0, приходим клинейному дифференциальному уравнению в частных производных относительно функцииF . Каждому решению этого уравнения соответствует общий первый интеграл системывекторных полей X1 , . .

. , Xr+1 . Тем самым мы получаем множество общих первых интегралов векторных полей X1 , . . . , Xr+1 . Последовательно применяя этот подход для r = 1,2, . . . , k − 1, приходим к описанию общих первых интегралов векторных полей X1 , . . . , Xk .Пример 4.1. В R3 с координатами x, y, z исследуем на интегрируемость распределение F, порожденное векторными полямиX=∂∂−z ,∂x∂zY = ex∂∂− 2y .∂y∂zПоскольку векторные поля X и Y гладкие, распределение F гладкое. Матрица, составленная из координатных функций векторных полей, т.е. матрица10 0ex  ,−z −2yвсюду в R3 имеет ранг 2. Следовательно, рассматриваемое распределение является регулярным.

Вычислим коммутатор векторных полей X и Y :[X, Y ] = ex∂∂− 2y= Y.∂y∂zИз результатов вычисления заключаем, что распределение F инволютивно. Согласнотеореме Фробениуса, это распределение интегрируемо.Определим максимальные интегральные многообразия этого распределения.

Чтобынайти первые интегралы векторного поля X, используем симметричную форму записисистемы ОДУ, соответствующей векторному полю X:dydzdx==.10−zИз этих равенств получаемdz= 0, dy = 0.zОтсюда легко найти первые интегралы системы ОДУ, или первые интегралы векторногополя X: p = zex , q = y. Множество первых интегралов u векторного поля X описываетсяформулой u = F (p, q), где p = zex , q = y, а F — гладкая функция двух переменных. Средитаких функций ищем первые интегралы векторного поля Y . Согласно правилу сложнойфункции, имеем∂u∂u∂F∂FY (u) = ex− 2y= ex− 2yex= 0,∂y∂z∂q∂pили∂F∂F− 2q= 0.∂q∂p∂∂Итак, функция F (p, q) является первым интегралом векторного поля− 2q .

Снова∂q∂pиспользуем симметричную форму записи соответствующей системы ОДУ:dx +dqdp=.1−2q274. РАСПРЕДЕЛЕНИЯСистема состоит из единственного уравнения, решая которое находим его первый интеграл∂∂u = p + q 2 . Все множество первых интегралов u векторного поля− 2qописывается∂q∂pформулой u = G(p + q 2 ), где G — гладкая функция одного действительного переменного.Подставляя вместо p и q найденные выше первые интегралы векторного поля X, получаемобщие первые интегралы векторных полей X и Y :u = G(zex + y 2 ).Для описания максимальных интегрируемых многообразий достаточно взять один первыйинтеграл u = zex +y 2 . Отметим, что матрица Якоби функции u(x, y, z), равная (zex 2y ex ),не обращается в нуль ни в одной точке в R3 .

Максимальные интегральные многообразияраспределения F, порожденного векторными полями X и Y , описываются уравнениемzex + y 2 = C,где C — произвольная постоянная.5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХРассмотрим систему дифференциальных уравнений вида∂u∂ua11+ . . . + a1n= f1 ,∂xn ∂x1. .

. . . . . . . . . . . . . .am1 ∂u + . . . + amn ∂u = fm ,∂x1∂xn(5.1)где aij , i = 1, m, j = 1, n, и fi , i = 1, m, — заданные гладкие функции переменных x1 , . . . ,xn , определенные в некоторой области M ⊂ Rn . Введем на M гладкие векторные поляXi = ai1∂∂+ . . . + ain,∂x1∂xni = 1, m.Тогда систему дифференциальных уравнений можно записать в видеXi (u) = fi ,i = 1, m.(5.2)Система дифференциальных уравнений (5.1) (или система (5.2) ) в частном случае fi =0, i = 1, m, является однородной системой линейных дифференциальных уравнений вчастных производных, которую можно решить, используя инволютивные распределения.Покажем, что решение неоднородной системы можно свести к однородному случаю.

Дляпростоты остановимся на случае, когда n-мерное многообразие M является областью вRn .Теорема 5.1. Гладкая функция u(x1 , . . . , xn ) на M является решением системы (5.2)в том и только в том случае, когда функция v(x0 , x1 , . . . , xn ) = u(x1 , . . . , xn ) + x0 являетсярешением системыZi (v) = 0, i = 1, m,где Zi = Xi − fi∂.∂x0Док–во. В силу специального вида векторных полей Zi и функции v имеемZi (v) = Zi (u) + Zi (x0 ) = Xi (u) − fi∂x0∂u+ Xi (x0 ) − fi= Xi (u) − fi .∂x0∂x0Из равенства Zi (v) = Xi (u) − fi немедленно вытекает утверждение теоремы.

.Теорема 5.2. Предположим, что гладкие векторные поля X1 , . . . , Xm в точке Pмногообразия M линейно независимы и имеют место представления[Xi , Xj ] =mXckij Xk ,k=128i, j = 1, m,(5.3)5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ29где ckij — гладкие функции на многообразии M .

Тогда, для того чтобы система (5.2)имела решения в некоторой окрестности точки P , необходимо и достаточно, чтобы вокрестности точки P выполнялись условия совместности системы дифференциальныхуравнений (5.2):mX(5.4)Xi (fj ) − Xj (fi ) =ckij fk , i, j = 1, m.k=1Док–во см. в [3, Дополнение 11.1].Задача 5.1 Найдите все решения системы дифференциальных уравнений∂u2 ∂u−y= ye−x ,z∂y∂z∂u∂u∂u+ xy+z= 0.∂x∂y∂zЗадача 5.2 Докажите несовместность системы∂u ∂x = y,∂u= 1.∂y(5.5)(5.6)6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХПОЛЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ6.1.

Динамические системы с управлениемСистему уравненийẋ = f (t, x, u),t ∈ R,x ∈ Rn ,u ∈ Rm ,(6.1)где ẋ(t) = x0 (t), называют динамической системой с управлением (или просто системой суправлением). Решением такой системы является любая пара вектор-функций x: R → Rnи u: R → Rm , удовлетворяющих условию x0 (t) ≡ f (t, x(t), u(t)). При этом значение x(t)вектор-функции x при заданном значении t называют состоянием системы в момент времени t, кривую x = x(t) — траекторией системы, а вектор-функцию u — управлением.Различают векторное управление, соответствующее случаю m > 1, и скалярное управление, соответствующее случаю m = 1.Если функция f является гладкой, то при заданной гладкой функции u система с управлением ẋ = f (t, x, u) имеет решение, подчиняющееся начальному условию x(t0 ) = x0 , ипритом единственное. Выбирая различные управления u(t), мы получаем различные решения x(t). Типичной задачей теории управления является такой выбор управления u(t),при котором решение (x(t), u(t)) обладает нужными свойствами.Систему (6.1) называют регулярной, если вектор-функция f (t, x, u) гладкая (бесконечнодифференцируемая), а Rg (∂f /∂u) = m для всех рассматриваемых значений переменныхt, x, u.рис.6.1Пример 6.1.

Положение автомобиля можно охарактеризовать тремя параметрами:декартовыми координатами x, y середины P задней оси автомобиля и углом θ, которыйпрямая, проходящая через середины P и Q двух осей, составляет с осью абсцисс (рис. 6.1).Рис. 6.1При таком выборе параметров движение автомобиля описывается системой дифференциальных уравненийẋ = u cos θ,ẏ = u sin θ,(6.2)θ̇ = u tg ϕ,d306. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ31где u — скорость автомобиля, ϕ — угол поворота колес передней оси относительно прямойP Q, а d — расстояние между передней и задней осями (т.е. между точками P и Q).Система (6.2) представляет собой систему с управлением, причем в данном случаеуправление векторное и имеет две составляющие u и ϕ.

Положение автомобиля характетризуется трехмерным вектором состояний (x y θ) . Значения переменных x, y, θ, ϕ, uимеют естественные ограничения.Для данной модели поставим следующую задачу теории управления: найти управлетние, при котором автомобиль из заданного начального положения (x0 y0 θ0 ) в моменттвремени t0 перейдет в заданное конечное положение (x1 y1 θ1 ) в момент времени t1 . Этозначит, что требуется найти такие функции u(t) и ϕ(t), при которых решение задачиКоши для нормальной системы ОДУ (6.2) с начальными условиями x(t0 ) = x0 , y(t0 ) = y0 ,θ(t0 ) = θ0 удовлетворяет дополнительным условиям x(t1 ) = x1 , y(t1 ) = y1 , θ(t1 ) = θ1 .Задачу теории управления, рассмотренную в примере 6.1, называют задачей терминального управления.Дадим дифференциально–геометрическую интерпретацию задаче терминального управления.

При заданном управлении u(t) система с управлением ẋ = f (t, x, u(t)) становитсянормальной системой ОДУ, в общем случае не являющейся автономной. Эта системабудет неавтономной, даже если первоначальная система с управлением была автономной(стационарной), так как управление u зависит от t.Мы видели, что каждому векторному полю на многообразии в заданной локальнойсистеме координат соответствует автономная нормальная система ОДУ. Эта связь позволяет для исследования автономных систем ОДУ использовать геометрические методы.Чтобы такую связь распространить на неавтономные системы, можно поступить следующим образом. Неавтономную систему ОДУ ẋ = f (t, x), x ∈ Rn , можно преобразовать вавтономную систему добавлением одного нового переменного x0 :(ẋ = f (x0 , x),ẋ0 = 1.Если x(t) — решение исходной системы ОДУ с начальным условием x(t0 ) = x0 , то (t, x(t))есть решение преобразованной системы с начальным условием x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = t0 , инаоборот.Указанное преобразование позволяет неавтономной системе сопоставить векторное поле на (n + 1)-мерном многообразии.

Например, если исходная система ẋ = f (t, x), f =т(f1 . . . fn ) , задана в области M ⊂ Rn+1 (т.е. (t, x) ∈ M ), то ей можно поставить всоответствие векторное полеnX∂∂+fi (t, x).X=∂t i=1∂xiТогда интегральная кривая (x0 (t), x(t)) векторного поля X, проходящая через точку(x00 , x0 ), будет являться решением системы ОДУ ẋ = f (x0 , x), ẋ0 = 1 с начальным условием x0 (t0 ) = x00 , x(t0 ) = x0 . Отсюда следует, что x0 (t) = (t − t0 ) + x00 , а x(t) удовлетворяетсистеме ОДУ ẋ = f (t − t0 + x00 , x). Достаточно в качестве начального момента времени взять t0 = x00 , чтобы вектор-функция x(t) оказалась решением системы ẋ = f (t, x) сначальным условием x(t0 ) = x0 .Автономные системы ОДУ можно рассматривать как частный случай неавтономныхтсистем.

Характеристики

Список файлов лекций