DGMTU_FN12 (1172054)
Текст из файла
Дифференциально-геометрические методытеории управленияЧетвериков В.Н.Лекции для бакалавров ФН-12, 7 семестрОГЛАВЛЕНИЕ1. Внешние формы в линейном пространстве1.1. Ковекторное пространство . . . . . . . . . . . . .1.2. Полилинейные формы и p-формы . . . . . . . . .1.3. Внешнее произведение . . . . . . . . . . .
. . . .1.4. Внутреннее произведение и отображение p-форм................................................................334562. Касательное расслоение72.1. Многообразия и их отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Касательные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 82.3. Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Векторные поля3.1. Определение . . . . . . . . . . .3.2. Отображения векторных полей3.3. Фазовый поток векторного поля3.4. Коммутатор векторных полей .........................................................................................................13131415184. Распределения215. Системы линейных уравнений в частных производных286. Некоторые приложения теории векторных полей и распределений6.1. Динамические системы с управлением . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Приведение систем с управлением к каноническому виду . . . . . . . .6.3. Преобразование систем с векторным управлением . . . . . . . . . . . .6.4. Матрица управляемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............30303235367. Дифференциальные формы388. Дифференциал де Рама419. Кораспределения, связанные с системами9.1. Определение и свойства . .
. . . . . . . .9.2. Описание модулей Hk на языке векторных9.3. Функциональная независимость . . . . . .управления44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44полей . . . . . . . . . . . . . . . . 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610. Линеаризация статической обратной связью4810.1. Условия приводимости систем с управлением к каноническому виду на языке дифференциальных форм . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 4810.2. Линеаризация статической обратной связью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011. Динамически линеаризуемые и плоские системы11.1. Понятие динамической обратной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2. Плоские системы . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3. Построение динамической обратной связи, линеаризующей плоскую систему5252535412. Метод динамической обратной связи5612.1. Решение задач терминального управления и стабилизации . . . . . . . . . . 5612.2. Управление движением самолета вертикального взлета . . . . . .
. . . . . . 581ОГЛАВЛЕНИЕ13. Управляемость, достижимость и наблюдаемость13.1. Первые интегралы систем . . . . . . . . . . . . . .13.2. Условия управляемости и достижимости . . . . . .13.3. Наблюдаемость систем . . . . . . . . . . . . . . . .2систем61. . . . . . . . . . . . .
. . 61. . . . . . . . . . . . . . . 62. . . . . . . . . . . . . . . 621. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ ВЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕСм. §32 и §33 в [1] и гл.10 в [2].1.1. Ковекторное пространствоБудем обозначать через Ln произвольное n-мерное линейное пространство, а черезR — n-мерное вещественное линейное пространство. Векторы линейного пространствабудем обозначать через ~x, ~y , . . ..Отображение f : Ln → R, которое определено на линейном пространстве Ln и принимает действительные значения, называют ковектором (также линейной функцией, линейнойформой, линейным функционалом), если оно удовлетворяет двум условиям:а) f (~x + ~y ) = f (~x) + f (~y ), ~x, ~y ∈ Ln ;б) f (λ~x) = λf (~x), ~x ∈ Ln , λ ∈ R.Ковекторы можно складывать и умножать на действительные числа согласно правилам:(f + g)(~x) = f (~x) + g(~x),(λf )(~x) = λf (~x).nВведенные таким способом операции превращают множество ковекторов в пространствеLn в линейное пространство.
Это линейное пространство называют сопряженным (иликовекторным) пространством по отношению к линейному пространству Ln и обозначают (Ln )∗ .Пусть L0 — подпространство в Ln , f — ковектор. Будем говорить, что ковектор fбиортогонален подпространству L0 , если f отображает L0 в нуль, т.е. f (~x) = 0 длялюбого вектора ~x из L0 .Задача 1.1 Докажите, что множество всех ковекторов, биортогональных подпространству L0 ⊂ Ln , есть линейное пространство размерности k = n − dim L0 .Опираясь на базис e = (~e1 , . . . , ~en ), выбранный в пространстве Ln , построим базис всопряженном пространстве (Ln )∗ . Для каждого вектора ~ei из базиса e рассмотрим ковекторf i , для которого f i (~ei ) = 1 и f i (~ej ) = 0 для всех векторов ~ej , кроме ~ei .
Так как в видулинейности ковектор определяется своими значениями на базисных векторах, получаемсистему ковекторов f 1 , . . . , f n ∈ (Ln )∗ .Теорема 1.1. Набор ковекторов (f 1 , . . . , f n ), определенных выше, является базисом всопряженном пространстве (Ln )∗ .Базисы (~e1 , . .
. , ~en ) и (f 1 , . . . , f n ) линейного пространства Ln и сопряженного пространства (Ln )∗ называют биортогональными (дуальными или взаимными), если(0, i 6= j;f i (~ej ) = δji =1, i = j.31. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ41.2. Полилинейные формы и p-формыФункцию ϕ от p векторов со значением в R называют полилинейной формой типа (p, 0),если она линейна по каждому отдельно взятому аргументу.Полилинейную форму ψ(~x1 , ~x2 , .
. . , ~xp ) = ϕ(~x2 , ~x1 , . . . , ~xp ), полученную из полилинейной формы ϕ перестановкой двух первых аргументов, называют транспонированной кполилинейной форме ϕ. Транспонированными называют также полилинейные формы, полученные перестановкой любой другой пары аргументов.Полилинейную форму типа (p, 0) называют p-формой (также внешней формой степениp, ковариантным кососимметрическим тензором типа (p, 0)) в Ln , если при перестановкелюбой пары аргументов она меняет знак. При p = 1 1-форма совпадает с ковектором.Пример 1.1.
Ориентированный объем параллелепипеда с ребрами ξ~1 , . . . , ξ~n в ориентированном евклидовом пространстве Ln (см. [2]) есть n-форма ξ11 . . . ξ1n V (ξ~1 , . . . , ξ~n ) = . . . . . . . . . , ξn1 . . . ξnn где ξ~i = ξi1~e1 +. . .+ξin~en , i = 1, . . . , n, а (~e1 , . . . , ~en ) — ортонормированный базис, задающийориентацию Ln .Пример 1.2. Ориентированная площадь проекции параллелограмма со сторонами~~ξ1 , ξ2 в евклидовом пространстве R3 на плоскость хOy есть 2-форма.Задача 1.2 Докажите, что для всякой 2-формы ω в Ln имеемω(~x, ~x) = 0,∀~x ∈ Ln .Задача 1.3 Докажите, что при p > n всякая p-форма в Ln равна нулю.Определим операцию, которая позволяет из данной полилинейной формы ϕ типа (p, 0)получить p-форму. Пусть σ = (i1 , .
. . , ip ) перестановка из p элементов. Обозначим через|σ| количество инверсий в перестановке σ (см. [5, §4.5]), а через ϕσ полилинейную форму,получаемую из ϕ соответствующей перестановкой ее аргументов. В частности, исходнойполилинейной форме соответствует тождественная перестановка (1, . . . , p). Рассмотримсумму1 X(−1)|σ| ϕσ ,(1.1)ϕalt =p! σкоторая берется по всем перестановкам σ из p элементов. Операцию преобразования ϕ 7−→ϕalt называют альтернированием. В результате альтернирования из полилинейной формыполучается p-форма. Действительно, перестановка двух индексов меняет четность каждойперестановки σ в сумме (1.1). Значит, каждое слагаемое и вся сумма в целом меняют знак.Полилинейные формы можно складывать и умножать на действительные числа пообычным правилам для функций:(ϕ + ψ)(~x1 , .
. . , ~xp ) = ϕ(~x1 , . . . , ~xp ) + ψ(~x1 , . . . , ~xp )(λϕ)(~x1 , . . . , ~xp ) = λ · ϕ(~x1 , . . . , ~xp ).Задача 1.4 Докажите, что множество ∧p (Ln )∗ всех p-форм в Ln замкнуто относительноуказанных операций сложения и умножения на число и является линейным пространством.Покажите, что размерность этого пространства равна Cnp при p ≤ n и 0 при p > n.51. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ1.3. Внешнее произведениеДве полилинейные формы можно перемножить, образуя функцию от большего числапеременных. Например, из полилинейных форм ϕ(~x1 , . .
. , ~xp ) и ψ(~y1 , . . . , ~yr ) типов (p, 0) и(r, 0) можно образовать новую полилинейную формуχ(~x1 , . . . , ~xp , ~y1 , . . . , ~yr ) = ϕ(~x1 , . . . , ~xp ) · ψ(~y1 , . . . , ~yr ),имеющую тип (p+r, 0). При этом полилинейную форму χ называют тензорным произведением полилинейных форм ϕ и ψТензорное произведение p-формы ϕ и r-формы ψ может не являться внешней формой.Чтобы получить кососимметрический тензор, нужно выполнить операцию альтернирования. В результате получится внешняя форма степени p + r, которую обозначают ϕ ∧ ψ иназывают внешним произведением ϕ и ψ.
По определению,(ϕ ∧ ψ)(~x1 , . . . , ~xp+r ) =X1(−1)|σ| ϕ(~xσ1 , . . . , ~xσp ) · ψ(~xσp+1 , . . . , ~xσp+r ).(p + r)! σОпределение внешнего произведения p-формы ϕ и r-формы ψ применимо и к случаюp = 0. Тогда ϕ — это число, а ϕ ∧ ψ — умножение r-формы ψ на число ϕ, т.е. ϕ ∧ ψ = ϕ · ψ.Аналогично для r = 0.Теорема 1.2. Внешнее произведение обладает следующими свойствами:1) (ϕ ∧ ψ) ∧ χ = ϕ ∧ (ψ ∧ χ)(ассоциативность),2) ψ ∧ ϕ = (−1)pr ϕ ∧ ψ(косокоммутативность),3) (λϕ + λ1 ϕ1 ) ∧ ψ = λϕ ∧ ψ + λ1 ϕ1 ∧ ψ(линейность),где ϕ, ϕ1 , ψ, χ — произвольные внешние формы в Ln степени p, p, r и s соответсвенно,λ, λ1 — произвольные числа.Док–во следует из определений и свойств перестановок.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
