DGMTU_FN12 (1172054), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.Задача 1.5 Пусть ϕ — p-форма в Ln . Покажите, что ϕ ∧ ϕ = 0, если p нечетно или2p > n. Найдите такую 2-форму ϕ в R4 , что ϕ ∧ ϕ 6= 0.Задача 1.6 Пусть ω1 , . . . , ωp — 1-формы в Ln (p ≤ n), ξ~1 , . . . , ξ~p ∈ Ln . Покажите, что ω1 (ξ~1 ) . . . ωp (ξ~1 )1......(ω1 ∧ . . . ∧ ωp )(ξ~1 , .

. . , ξ~p ) = . . .p! ~ω1 (ξp ) . . . ωp (ξ~p ).Т.е. значение внешнего произведения 1-форм на параллелепипеде ξ~1 , . . . , ξ~p равно ориентированному объему образа параллелепипедав ориентированном евклидовом пространстве~ . . . , ωp (ξ)~ из Ln в Rp .Rp при отображении ξ~ 7−→ ω1 (ξ),Задача 1.7 Докажите, что 1-формы ω1 , . . .

, ωp линейно зависимы тогда и только тогда,когда ω1 ∧ . . . ∧ ωp = 0.61. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕТеорема 1.3. Пусть (~e1 , . . . , ~en ) — какой–либо базис линейного пространства Ln , аf = (f 1 , . . . , f n ) — биортогональный ему базис сопряженного пространства (Ln )∗ . Тогдаp-формы (p ≤ n)f i1 ∧ . . . ∧ f ip ,1 ≤ i1 < . . . < ip ≤ n,образуют базис линейного пространства ∧p (Ln )∗ . При этом каждая p-форма ω в Ln однозначно представляется в видеXω=ai1 ...ip f i1 ∧ . . . ∧ f ip ,(1.2)1≤i1 <...<ip ≤nгде ai1 ...ip = ω(ei1 , . . .

, eip ).Док–во следует из определений. .Базис пространства ∧p (Ln )∗ из теоремы 1.3 будем называть каноническим базисом,порожденным базисом f .Задача 1.8 Пусть (f 1 , . . . , f n ) — какой–либо базис сопряженного пространства (Rn )∗ . Докажите, что всякая n-форма ω в Rn есть либо ориентированный объем параллелепипедапри некотором выборе единицы объема (см. пример 1.1), либо нуль, т.е.ω = a · f 1 ∧ . . . ∧ f n.(1.3)1.4.

Внутреннее произведение и отображение p-формТеорема 1.4. Пусть ξ~ ∈ Ln , ω — внешняя форма степени p в Ln . Отображение,~ ξ~1 , . . . , ξ~p−1 ),которое набору векторов ξ~1 , . . . , ξ~p−1 ∈ Ln ставит в соответствие число ω(ξ,является внешней формой степени p − 1 в Ln .Док–во следует из определений. .~ (или i~(ω)). По опредеВнешнюю форму степени p − 1 из теоремы 1.4 обозначают ξcωξлению,~~ ξ~1 , .

. . , ξ~p−1 ).(ξcω)(ξ~1 , . . . , ξ~p−1 ) = ω(ξ,~ (= i~(ω))Операцию, которая вектору ξ~ и p-форме ω ставит в соответствие (p−1)-форму ξcωξ~называют внутренним произведением вектора ξ и p-формы ω.Исследуем как отображаются внешние формы. Пусть F : Lk → Ln — линейное отображение, ω — p-форма в Ln . Тогда в Lk возникает p-форма F ∗ ω, значение которой на pвекторах ξ~1 , .

. . , ξ~p ∈ Lk равно значению ω на их образах:(F ∗ ω)(ξ~1 , . . . , ξ~p ) = ω(F ξ~1 , . . . , F ξ~p ).Задача 1.9 Проверьте, что F ∗ ω — p-форма.Теорема 1.5. Пусть F : Lk → Ln — линейное отображение, p > 0. Тогда1) F ∗ — линейное отображение из пространства ∧p (Ln )∗ p-форм в Ln в пространство∧p (Lk )∗ p-форм в Lk (звездочка сверху указывает, что F ∗ действует в сторону, противоположную F );2) если G: Ln → Lm — второе линейное отображение, то (G ◦ F )∗ = F ∗ ◦ G∗ ;3) F ∗ сохраняет внешнее умножение: F ∗ (ϕ ∧ ψ) = F ∗ ϕ ∧ F ∗ ψ.Док–во следует из определений. .2. КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ2.1. Многообразия и их отображенияОпределение гладкого многообразия см., например, в [3, §11.1].

Для понимания дальнейшего достаточно знать, что каждая точка многообразия M имеет окрестность, в которой задана система координат. Систему координат в окрестности U можно трактоватькак биективное непрерывное отображение h из U в область пространства Rn . При этомкооринатами точки P ∈ M называют набор чисел (x1 , . . . , xn ) = h(P ) ∈ Rn . Пару (U, h)называют также картой многообразия M . Если в окрестности V точки P ∈ M определенадругая система координат (V, k), то карты (U, h) и (V, k) должны быть согласованными,т.е. взаимно обратные функции многих переменных k ◦ h−1 и h ◦ k −1 должны быть гладкими.

Под гладкостью здесь и далее понимается бесконечная дифференцируемость.Все дальнейшие наши рассуждения касаются локальных свойств геометрических объектов, т.е. справедливых только в некоторой окрестности многообразия. Поэтому вездедалее под многообразием можно понимать область вещественного арифметического пространства Rn .Пусть M и N — гладкие многообразия и F : M → N — некоторое отображение.

Предположим (x1 , . . . , xn ) — система координат в окрестности U точки P ∈ M , (y1 , . . . , ym ) —система координат в окрестности V точки Q = F (P ) ∈ N , и F (U ) ⊆ V . Тогда координатам точки из окрестности U ставится в соответствие координаты ее образа при отображении F . А значит, отображение F в рассматриваемых системах координат задаетсянабором функцийy1 = f1 (x1 , .

. . , xn ), . . . , ym = fm (x1 , . . . , xn )или векторной функцией f = (f1 , . . . , fm ). Если эта векторная функция является гладкой(бесконечно дифференцируемой) функцией многих переменных, то отображение F называют гладким отображением в окрестности точки P . Отображение F называют гладким,если оно является гладким в окрестности каждой точки многообразия M .Теорема 2.1.

Композиция гладких отображений многообразий есть гладкое отображение многообразий.Док–во следует из теоремы о дифференцируемости сложной функции. .Диффеоморфизмом многообразия M на многообразие N называют биективное гладкоеотображение M на N , обратное к которому также является гладким. Многообразия M иN , для которых существует диффеоморфизм M на N , называют диффеоморфными.Гладкой функцией на многообразии M называют гладкое отображение из M в R. Множество гладких функций на M будем обозначать через C ∞ (M ).

Операции сложения иумножения гладких функций дают вновь гладкие функции. Постоянные функции являются гладкими. Умножение функции f ∈ C ∞ (M ) на постоянную функцию g(x) ≡ c можноинтерпретировать как умножение функции на действительное число c. Таким образом, наC ∞ (M ) определены три операции: сложение, умножение и умножение на действительноечисло. Алгебраическая структура L с операциями сложения, умножения и умножения надействительное число называют R-алгеброй, если 1) L относительно сложения и умножения на число есть линейное пространство; 2) операция умножения ассоциативна, комму782.

КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕтативна, дистрибутивна относительно сложения и обладает единицей. Легко проверить,что множество C ∞ (M ) является R-алгеброй.Далее мы будем использовать в основном алгебраический подход к дифференциальнойгеометрии, в основе которого лежит замена многообразия M R-алгеброй C ∞ (M ).Отображение ν R-алгебры K в R-алгебру L называют гомоморфизмом R-алгебр, еслиэто отображение является линейным оператором и, кроме того, удовлетворяет дополнительному условиюν(ab) = ν(a)ν(b).Гомоморфизм R-алгебры K в R-алгебру L, являющийся биекцией, называют изоморфизмом R-алгебр.Теорема 2.2. Если F : M → N — гладкое отображение многообразий M и N , то отображение F ∗ : C ∞ (N ) → C ∞ (M ), определенное формулой F ∗ (g) = g ◦ F , есть гомоморфизмR-алгебр C ∞ (N ) и C ∞ (M ).Док–во следует из определений гладкого отображения и гомоморфизма R-алгебр, атакже из теоремы 2.1.

.Отображение F ∗ множества гладких функций на многообразии N в множество гладкихфункций на многообразии M , порождаемое гладким отображением F : M → N , называютиндуцированным отображением.2.2. Касательные векторыИспользуют три подхода (координатный, геометрический и алгебраический) к определению касательного вектора к многообразию, приводящих к одному и тому же понятию.Каждый подход отражает одну из сторон этого понятия и более предпочтителен в определенной ситуации. Для определения выбирают один из подходов, а два других формулируют как разные интерпретации этого понятия. В качестве определения мы выберемкоординатный подход, мотивировка его следующая.Гладкой параметризованной кривой на многообразии M (или гладким путем на многообразии M ) называют гладкое инъективное отображение γ: (t1 , t2 ) → M некоторогоинтервала (t1 , t2 ) числовой оси в это многообразие.

Образ такого отображения называютгладкой кривой на многообразии M .В системе координат x1 , . . . , xn на M , которая задана отображением h из окрестностиU ⊂ M в Rn , гладкая кривая γ задается векторной функцией (h ◦ γ)(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))и представляет собой гладкую параметризованную кривую в пространстве Rn . Для такойкривой определяется касательная в точке, соответствующей точке P ∈ M на кривой.

Вектор с координатами ξ1 = x01 (t0 ), . . . , ξn = x0n (t0 ) есть направляющий вектор касательной ккривой γ (здесь t0 — значение параметра, соответсвующего точке P , т.е. γ(t0 ) = P ). Вдругой системе координат y1 , . . . , yn направляющий вектор той же касательной в соответствующей точке имеет координаты η1 = y10 (t0 ), .

. . , ηn = yn0 (t0 ). Из правила дифференцирования сложной функции следует, чтоnX∂yi 0(x1 , . . . , x0n )ξj ,ηi =∂xjj=1i = 1, n,(2.1)где x01 , . . . , x0n — координаты точки P в системе координат x1 , . . . , xn . Итак, координатынаправляющих векторов одной и той же касательной в разных системах координат связаны2. КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ9соотношением (2.1). Это свойство лежит в основе координатного подхода к понятиюкасательного вектора.Касательным вектором в точке P ∈ M к n-мерному многообразию M называют соответствие, которое каждой системе координат в окрестности точки P сопоставляет упорядоченный набор из n чисел. При этом если системе координат x1 , . .

. , xn поставленв соответствие набор чисел (ξ1 , . . . , ξn ), а системе координат y1 , . . . , yn — набор чисел(η1 , . . . , ηn ), то выполняются соотношения (2.1). При этом точку P называют точкой приложения касательного вектора, а набор чисел (ξ1 , . . . , ξn ) — координатами касательноговектора в системе координат x1 , . . .

, xn . Касательные векторы будем обозначать грече~скими буквами с надстрочным знаком ”стрелка”, например ξ.Теорема 2.3. Любой касательный вектор к многообразию M в точке P являетсякасательным вектором к некоторой параметризованной кривой на M в точке P .Док–во см. в [3, §11.4, теорема 11.6]. .Две гладкие параметризованные кривые γ1 : (a1 , b1 ) → M и γ2 : (a2 , b2 ) → M , проходящие через точку P = γ1 (t1 ) = γ2 (t2 ), назовем соприкасающимися кривыми, если в какойлибо системе координат (U, h) в окрестности точки P выполнено соотношение(h ◦ γ1 )(t1 + ∆t) − (h ◦ γ2 )(t2 + ∆t) = o(∆t) при ∆t → 0.(2.2)Теорема 2.4.

Характеристики

Список файлов лекций