DGMTU_FN12 (1172054), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Перемен... ...ные состояния системы (12.12) выражаются через t, ỹ = (y1 , y2 , ẏ1 , ẏ2 , ÿ1 , ÿ2 , y 1 , y 2 ). Выберем такие две функции ξ1 , ξ2 переменных t, ỹ, чтобы переход от переменных t, x, z, θ, vx , vz ,vθ , ξ1 , ξ2 к переменным t, ỹ был обратим. Положим:pξ1 = (ÿ1 )2 + (ÿ2 + 1)2 ,ξ2 = ξ˙1 .Тогда ÿ1 и ÿ2 выражаются через θ и ξ1 :ÿ1 = ξ1 sin θ,ÿ2 = −1 + ξ1 cos θ,... ...и, значит, y1 , y2 выражаются через x, z, θ, ξ1 , а ẏ1 , ẏ2 , y 1 , y 2 — через производные полу(4)(4)ченных выражений для y1 , y2 , ÿ1 и ÿ2 . Выражая ξ˙1 , ξ˙2 , u1 , u2 через t, ỹ, v1 = y1 , v2 = y2 , апотом переходя к переменным t, ξ, x, v, получаем динамическую обратную связьξ˙1 = ξ2 ,ξ˙2 = v1 sin θ + v2 cos θ + vθ2 ξ1 ,u1 = ξ1 + εvθ2 ,1u2 =(v1 cos θ − v2 sin θ − 2vθ ξ2 ) ,ξ1которая линеаризует систему (12.12).С целью демонстрации изложенного выше метода положим ε = 1 и решим следующуюзадачу терминального управления для системы (12.12):x(0) = 10, z(0) = 5,θ(0) = 0,vx (0) = −10,vz (0) = −5, vθ (0) = 0,x(1) = 0,z(1) = 0,θ(1) = 0,vx (1) = −10, vz (1) = −5, vθ (1) = 0.(12.13)Начальные и конечные значения дополнительных переменных ξ1 , ξ2 зададим следующимобразом:ξ1 (0) = 1 = ξ1 (1),ξ2 (0) = 0 = ξ2 (1).Тогда соответствующая задачавид:y1 (0) = 10,ÿ1 (0) = 0,y1 (1) = 0,ÿ1 (1) = 0,терминального управления для линейной системы имеетy2 (0) = 6,ÿ2 (0) = 0,y2 (1) = 1,ÿ2 (1) = 0,ẏ1 (0) = −10,...y 1 (0) = 0,ẏ1 (1) = −10,...y 1 (1) = 0,ẏ2 (0) = −5,...y 2 (0) = 0,ẏ2 (1) = −5,...y 2 (1) = 0.6012.
МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИРешение этой задачи в пространстве многочленов порядка 7 естьy∗,1 (t) = −10t + 10,y∗,2 (t) = −5t + 6.Для решения соответствующей задачи стабилизации рассмотрим следующую устойчивуюсистему дифферениальных уравнений...(4)ei = −4 e −6ëi − 4ėi − ei ,ii = 1, 2.Соответствующая стабилизирующая обратная связь имеет вид...v1 = −4 y 1 − 6ÿ1 − 4(ẏ1 + 10) − (y1 + 10t − 10),...v2 = −4 y 2 − 6ÿ2 − 4(ẏ2 + 5) − (y2 + 5t − 6).Возвращаясь к системе (12.12) с ε = 1, получаем решение u1 = 1, u2 = 0 задачи (12.13) ирешение задачи стабилизации:ξ˙1 = ξ2 ,ξ˙2 = ξ1 vθ2 − 6 − 4ξ2 − 1 − sin θ(4vx + x + 10t + 30) −− cos θ(4vz + z + 5t + 8),2u1 = ξ1 + vθ ,vθξ2 vθ cos θu2 = −4vθ − 4 − 2−(4vx + x + 10t + 30) +ξ1ξ1ξ1sin θ+(4vz + z + 5t + 8).ξ1При этом желаемая траектория естьx∗ (t) = −10t + 10,z∗ (t) = −5t + 5,θ∗ (t) = 0.Задача.
Опишите решение задач терминального управления и стабилизации для модели автомобиля.13. УПРАВЛЯЕМОСТЬ,ДОСТИЖИМОСТЬ ИНАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ13.1. Первые интегралы системПусть задана системаẋ = f (x, u),x ∈ D ⊂ Rn ,u ∈ U ⊂ Rm .(13.1)Множество D называется областью допустимых состояний, а множество U — областьюдопустимых управлений системы.Состояние xк ∈ D называют достижимым из состояния xн ∈ D в области D, еслисуществует решение (x(t), u(t)), t ∈ [tн , tк ], системы (13.1), удовлетворяющее условиямx|t=tк = xк ,x|t=tн = xн ,x(t) ∈ D, u(t) ∈ U при t ∈ [tн , tк ].Систему (13.1) называют управляемой в области D, если любое состояние xк ∈ D достижимо из любого состояния xн ∈ D в области D.Для формулировки условий управляемости и достижимости необходимо получить описание первых интегралов систем.Функцию g(t, x, u, u̇, .
. . , u(r) ) называют первым интегралом системы (13.1) если производная этой функции в силу системы (13.1) тождественно равна нулю.Теорема 13.1. Первый интеграл системы (13.1) может зависеть только от переменныхt, x1 , . . . , xn .ОбозначимH∞ = {ω ∈ H1 : ∀i ∈ N ω (i) ∈ H1 },где ω (i) — i-ая производная в силу системы (13.1) дифференциальной формы ω.Теорема 13.2. В окрестности Б–регулярной точки(a) существует такое натуральное j ∗ ≤ n + 2, что Hj ∗ +1 = Hj ∗ ;(b) H∞ = Hj ∗ = spanC ∞ (E) {dt, dg1 , .
. . , dgρ },где g1 , . . . , gρ — максимальный набор функционально независимых первых интегралов системы (13.1).Доказательство (a). Модуль H1 порождается 1–формами (9.3). Поэтому dim H1 |θ =n + 1. Так как для всех j мы имеем вложение Hj+1 ⊂ Hj , то размерность модуля Hj невозрастает с ростом j.
Обозначим через j ∗ такое максимальное натуральное число, чтоdim Hj |θ < dim Hj−1 |θ при j = 1, j ∗ . Тогда dim Hj ∗ +1 |θ = dim Hj ∗ |θ , а dim H1 |θ − dim Hj ∗ |θ ≥j ∗ − 1. Поэтому dim Hj ∗ |θ ≤ dim H1 |θ − j ∗ +1 = n +2 − j ∗ . Так как dt ∈ Hi для любого i ≥ 0,то dim Hj ∗ |θ ≥ 1. Следовательно, n + 2 − j ∗ ≥ 1 и j ∗ ≤ n + 1.
В окрестности Б–регулярнойточки θ модули Hj ∗ +1 и Hj ∗ имеют постоянную размерность, а значит, Hj ∗ +1 = Hj ∗ в этойокрестности. Используя индукцию по j и определение Hj , получаем Hj = Hj ∗ для всехj > j ∗ в указанной окрестности точки θ. .616213. УПРАВЛЯЕМОСТЬ, ДОСТИЖИМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ13.2. Условия управляемости и достижимостиОпределим ранговое условие управляемости для систем вида (13.1). Отметим, что длялюбого i ≥ 1 модуль Di (см.
п. 9.2) лежит в модуле D+ , порожденном полями∂∂∂∂,...,, (0) , . . . , (0) .∂x1∂xn ∂u1∂umГоворят, что система (13.1) удовлетворяет ранговому условию управляемости, еслидля некоторого i > 1 распределение Di совпадает с распределением D+ .Теорема 13.3. Если система (13.1) удовлетворяет ранговому условию управляемости, то она не имеет первых интегралов, т.е. H∞ = spanC ∞ (E) {dt}.
Если система (13.1)не удовлетворяет ранговому условию управляемости, то она имеет первые интегралы вокрестности любой Б–регулярной точки.Теорема 13.4. Если система (13.1) управляема на множестве D, то она не имеетпервых интегралов и удовлетворяет ранговому условию управляемости.Теорема 13.5.(Локальное условие достижимости) Если в точке x0 система (13.1) удовлетворяет ранговому условию управляемости, а (x∗ (t), u∗ (t)) — решение этойсистемы и x∗ (t0 ) = x0 , то существует такое ∆ > 0 и окресность V ⊂ D точки x∗ (t0 + ∆),что V достижимо из точки x0 .Теорема 13.6. (Локальное условия управляемости) Если (x∗ (t), u∗ (t)) — периодическое решение системs (13.1), x∗ (t0 + T ) = x∗ (t0 ) для некоторого T > 0, и система (13.1)удовлетворяет ранговому условию управляемости в окрестности кривой x = x∗ (t), t ∈[t0 , t0 + T ], то существует окрестность этой кривой, в которой система (13.1) управляема.Задача 13.1 Проверьте ранговое условие управляемости для системыẋ1 = x2 ,ẋ2 = ln(x32 + 2x1 ) + x22 u.13.3.
Наблюдаемость системСистема с входом и выходомẋ = f (x, u), x ∈ D ⊂ Rn , u ∈ U ⊂ Rm ,y = h(x), y ∈ Rp ,(13.2)(13.3)наблюдаема, если ее функцию состояния x(t) можно восстановить по результатам измерения функции выхода y(t).Неполная наблюдаемость: можно восстановить часть компонентов вектора состояния.Пусть V — подмножество множества D допустимых состояний.
Состояние a ∈ Vназывают неотличимым в V от состояния b ∈ V , если∀t ∈ [t0 , T ] x∗ (t) ∈ V, x# (t) ∈ V, u(t) ∈ Uẋ∗ (t) = f (x∗ (t), u(t)), x∗ (t0 ) = a, y∗ (t) = h(x∗ (t))ẋ# (t) = f (x# (t), u(t)), x# (t0 ) = b, y# (t) = h(x# (t))=⇒∀t ∈ [t0 , T ]y∗ (t) = y# (t).Систему (13.2)-(13.3) называют локально наблюдаемой в области M ×U (M ⊂ D), еслилюбая точка a ∈ M имеет окрестность, в которой нет неотличимых от a состояний.13. УПРАВЛЯЕМОСТЬ, ДОСТИЖИМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ63Теорема 13.7.(Условия локальной наблюдаемости.) Система (13.2)-(13.3)локально наблюдаема в области M × U ⇔ в любой точке (x, u, u(1) , . . . , u(n−2) ) областиM × U × Rm(n−2) имеем∂Dn−1 (h)∂h ∂D(h),,...,= n,(13.4)Rg∂x ∂x∂xгдеn−2X∂∂∂D=+ f (x, u)+u(i+1) (i)∂t∂x i=0∂u— производная в силу системы (13.2).СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ[1] Арнольд В. И.
Математические методы классической механики. — М.: ЕдиториалУРСС, 2003.— 416 с.[2] Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. —им. Н.Э. Баумана, 2006. — 336 с.М.:Изд-во МГТУ[3] Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчислениефункций многих переменных. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2000. — 456 с.[4] Стернберг С.[5] Морозова В.Д.— 331с.Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970.— 412 с.Введение в анализ. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996.[6] Краснощеченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. — М.: Изд–во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. — 520 с.[7] Brunovský P. A classification of linear controllable systems // Kybernetica.
— 1970.— V. 6. — P. 176–188.[8] Fliess M., Lévine J., Martin Ph., Rouchon P. A Lie–Bäcklund approach to equivalenceand flatness of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1999. — V. 44,№ 5. — P. 922–937.64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
