DGMTU_FN12 (1172054), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Получаем замену переменных (10.3).Из регулярности системы (9.1) следует, что формы∗∗Dj (dh1 ), . . . , Dj (dhm1 ), Dj∗ −1(dhm1 +1 ), . . . , D(dhmj∗ −1 )вместе с формами (10.4) образуют базис модуляH0 = spanC ∞ (E) {dt, dx1 , . . . , dxn , du1 , . . . , dum }.5010. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮОтсюда следует, что mj ∗ −1 = m, а функции∗∗Dj (h1 ), . . . , Dj (hm1 ), Dj∗ −1(hm1 +1 ), . . . , D(hmj∗ −1 )зависят только от t, x, u или от t, ỹ, u. Следовательно, D(dxi ) = dẋi ∈ H0 , i = 1, . . . , n.Таким образом, замена переменных (10.3) преобразует систему (9.1) к виду (10.1): g1 =∗Dj (h1 ), . . .
, gm = D(hmj∗ −1 ). Теорема полностью доказана. .10.2. Линеаризация статической обратной связьюПусть система (9.1) регулярная и приводится к каноническому виду (10.1) заменойпеременныхt = t, yi = Yi (t, x), ui = ui , i = 1, . . . , m.(10.6)Рассмотрим замену переменных управления:vi = gi (t, ỹ, u),i = 1, . . . , m,(10.7) ∂g i6=где v = (v1 , . . . , vm ) — новое управление. Так как система (10.1) регулярная, то det∂uj0. По теореме об обратной функции в некоторой окрестности рассматриваемой точкипространства переменных t, ỹ, u замена (10.7) обратима и переменные u можно выразитьчерез t, ỹ, v: u = Ũ (t, ỹ, v).
Используя замену переменных (10.3), получаем зависимостьu = U (t, x, v), которую называют статической обратной связью.В переменных t, ỹ, v система (10.1) имеет вид(ni )yi= vi ,i = 1, . . . , m.(10.8)Объединяя замены (10.6) и (10.7), получаем обратимую замену переменных и состояния,и управления:t = t, yi = Yi (t, x), vi = Vi (t, x, u), i = 1, . . . , m,(10.9)гдеVi (t, x, u) = gi t, Ỹ (t, x), u ,i = 1, . . .
, m.При этом замена (10.9) преобразует систему (9.1) к виду (10.8).Говорят, что система (9.1) статически линеаризуема в области U пространства переменных t, x, u, если в U существует замена (10.9), которая преобразует систему (9.1) квиду (10.8).Теорема 10.3. Регулярная система приводится к каноническому виду в окрестноститочки пространства переменных системы тогда и только тогда, когда она статическилинеаризуема в окрестности этой точки.Доказательство. То, что система, приводящаяся к каноническому виду, статическилинеаризуема, уже доказано. Докажем обратное утверждение.Пусть система (9.1) статически линеаризуема в окрестности точки θ, а формулы (10.9)определяют соответствующую замену переменных.
Предположим, что обратная заменазадается соотношениямиt = t,x = X(t, ỹ, v),u = Ũ (t, ỹ, v).10. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮТогда имеем векторное тождество X t, Ỹ (t, x), vкакого–либо i = 1, . . . , m, получаем51= x. Дифференцируя его по vi для∂Xt, Ỹ (t, x), v = 0.∂viСледовательно, векторная функция X зависит только от t, ỹ и справедливы тождестваX t, Ỹ (t, x) = x, Ỹ t, X(t, ỹ) = ỹ.Поэтому соотношения (10.6) задают обратимую замену переменных в некоторой окрестности точки θ.
Данная замена преобразует систему (9.1) к виду (10.1), гдеgi (t, ỹ, u) = Vi t, X(t, ỹ), u , i = 1, . . . , m.Таким образом, система (9.1) приводится к каноническому виду в окрестности точки θ. .Теорема Бруновского. [7] Если линейная система ẋ = Ax + Bu, где A и B — постоянные матрицы, управляема, то она линейным преобразованием приводится к системевида (10.8).Системы вида (10.8) называют каноническими формами Бруновского для линейныхуправляемых систем.11.
ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕИ ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ11.1. Понятие динамической обратной связиРассмотрим систему с управлением видаẋ = f (t, x, u),x ∈ Rn , u ∈ Rm .(11.1)Понятие статической линеаризуемости обобщается следующим образом. Динамическойобратной связью системы (11.1) называют обратную связь видаξ˙ = a(t, x, ξ, v),u = b(t, x, ξ, v),ξ ∈ Rd , v ∈ Rm ,(11.2)с состоянием ξ, входом (x, v) и выходом u. Область пространства с координатами t, x, ξ, v,где определены функции a и b, называют областью определения, а число d — размерностью динамической обратной связи (11.2).Динамическую обратную связь (11.2) можно понимать как преобразование системы(11.1) в системуẋ = f t, x, b(t, x, ξ, v) ,ξ˙ = a(t, x, ξ, v)(11.3)с состоянием (x, ξ) ∈ Rn+d и управлением (входом) v.
Второе равенство в (11.2) определяетотображение из множества решений системы (11.3) в множество решений системы (11.1).Говорят, что система (11.1) линеаризуема динамической обратной связью (11.2) (илипросто динамически линеаризуема), если получающаяся с помощью этой связи система (11.3) преобразуется в эквивалентную систему вида(ni )yi= vi ,i = 1, . . . , m,(11.4)обратимой заменой переменных видаt = t,(n −1)ỹ = Ỹ (t, x, ξ),v = v,(n −1)где ỹ = (y1 , ẏ1 , .
. . , y1 1 , y2 , . . . , ym m ) — состояние системы (11.4). В случае d = 0, т.е.когда ξ отсутствует, определение динамической линеаризуемости эквивалентно определению статической линеаризуемости.Теорема 11.1.1. Если система статически линеаризуема, то она динамически линеаризуема.2. В случае одномерного управления (m = 1) система динамически линеаризуема тогда итолько тогда, когда она статически линеаризуемаВ случае m > 1 существуют системы, которые динамически линеаризуемы, но нестатически линеаризуемы.Пример 11.1. Системаẋ = u cos θ,ẏ = u sin θ,uθ̇ =tg ϕl52(11.5)5311.
ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫне является статически линеаризуемой, а знпчит, не приводится к каноническому виду.Однако она динамически линеаризуема динамической обратной связьюξ˙ = v1 cos θ + v2 sin θ,u = ξ,l(v2 cos θ − v1 sin θ)ϕ = arctg.ξ2Получающаяся с помощью этой динамической обратной связи система вида (11.3) заменойпеременных y1 = x, y2 = y преобразуется в эквивалентную систему ÿ1 = v1 , ÿ2 = v2 . .Задача 11.1 Докажите, что система (11.5) не является статически линеаризуемой.11.2. Плоские системыПусть l — некоторое неотрицательное целое.
Считая переменныеt, x1 , . . . , xn , u1 , . . . , um , u̇1 , . . . , u̇m , ü1 , . . . , u(l)mнезависимыми, рассмотрим пространство с такими координатами. Пусть O(l) — областьэтого пространства. Система (11.1) называется плоской в области O(l) , если на O(l) определены такие функцииy1 = h1 (t, x, u, u̇, . . . , u(l) ),...,yr = hr (t, x, u, u̇, . . .
, u(l) ),(11.6)что переменные x и u выражаются через t, функции (11.6) и их производные в силу системы (11.1) до какого–то конечного порядка, а любой конечный набор функций (11.6),их производных в силу системы (11.1) и функции t функционально независим. При этомнабор функций (11.6) называется плоским (или линеаризующим) выходом системы (11.1).Задача 11.2 Докажите, что система (11.4) плоская с плоским выходом (y1 , . .
. , ym ).Теорема 11.2. Линейная система плоская тогда и только тогда, когда она управляема.Доказательство этой теоремы следует из теоремы Бруновского, задачи 11.2 и инвариантности понятия плоской системы.Теорема 11.3. Регулярная система (11.1), приводящаяся к каноническому виду(ni )yi= gi (t, ỹ, u),i = 1, . . . , m,заменой переменныхt = t,yi = Yi (t, x),ui = u i ,i = 1, . .
. , m,является плоской с плоским выходом y1 = Y1 (t, x), . . . , ym = Ym (t, x)Задача 11.3 Докажите теорему 11.3, используя определения.5411. ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫТеорема 11.4. Если регулярная система (11.1) плоская, то ее управление и плоскийвыход имеют одинаковую размерность (r = m), а для любого i = 1, . . .
, m порядок старшей производной функции yi , входящей в выражение для u, на единицу больше порядкастаршей производной yi из выражения для x:(n1 −1)x = X(t, y1 , ẏ1 , . . . , y1u =(nm −1), y2 , . . . , y m),(11.7)(n )(nm )U (t, y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , y2 , . . . , ym).(11.8)Задачу проверки, является ли заданный набор функций плоским выходом, решает следующаяТеорема 11.5. Пусть система (11.1) регулярная.1) Если в области O(l) существуют такие r = m функций (11.6), что переменные состояния x1 , . . . , xn выражаются через t, функции y1 , .
. . , ym и их производные в силу системы (11.1) до какого-то конечного порядка, то система (11.1) плоская в области O(l) , афункции y1 , . . . , ym образуют ее плоский выход.2) Если векторная функция y = (y1 , . . . , ym ) вида (11.6) такова, что переменные x состояния системы (11.1) не выражаются через t, y, ẏ, . . . , y (K) при K = n + (m − 1)l − 1, то xнельзя выразить через t, y, ẏ, . .
. , y (k) ни для какого k, т.е. y не является плоским выходомсистемы (11.1).Полученную в теореме оценку для K нельзя улучшить. А именно, для любых n, m, lможно построить примеры плоских систем и плоских выходов, для которых K будет равенуказанной в теореме оценке.Пример 11.2. Система (11.5) регулярная и плоская в области {u 6= 0} с плоскимвыходом y1 = x, y2 = z. Плоскостность следует из утверждения 1) теоремы 11.5, так какu2 = ẏ12 + ẏ22 , а при ẏ12 + ẏ22 6= 0 имеемx = y1 ,z = y2 ,θ = arctgẏ2,ẏ1когда ẏ1 6= 0,и θ = arcctgẏ1,ẏ2когда ẏ2 6= 0.11.3.
Построение динамической обратнойсвязи, линеаризующей плоскую системуКаждое решение системы вида (11.4) однозначно определяется функциями y1 (t), . . . ,(n )ym (t), которые могут быть выбраны произвольными (vi (t) = yi i (t)). Таким образом, соотношения (11.6) при r = m определяют отображение из множества решений системы (11.1)во множество решений системы (11.4). Это отображение есть биекция, если (11.6) – плоский выход системы (11.1).
Действительно, сюръективность этого отображения следует изфункциональной независимости любого конечного набора функций (11.6), их производныхи t, а соотношения (11.7) и (11.8) задают обратное отображение.Теорема 11.6. Пусть в области O(l) регулярная система (11.1) плоская с плоскимвыходом (11.6) и имеет место равенство (11.7). Тогда в окрестности любой точки θl ∈O(l) существует динамическая обратная связь размерности d = n1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
