DGMTU_FN12 (1172054), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . + nm − n, котораялинеаризует систему (11.1).Динамическая обратная связь, линеаризующая плоскую систему, может быть построена с помощью следующего алгоритма.5511. ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫПусть функции (11.6) образуют плоский выход системы (11.1) и выполняются соотношения (11.7).(n −1)(n −1)1. Выберем функции ξ1 , . . . , ξd переменных t, ỹ = (y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , y2 , .
. . , ym m ) так,чтобы матрица Якоби ∂(ξ, X)/∂ ỹ была квадратной и невырожденной.2. Выразим производные ξ˙1 , . . . , ξ˙d этих функций в силу системы (11.1) и функции(n )u1 , . . . , um через t, ỹ и v = (v1 , . . . , vm ), где vi = yi i , i = 1, m.3. В полученных выражениях для ξ˙1 , . . . , ξ˙d и u1 , . . . , um перейдем от переменных t, ỹ, vк переменным t, ξ, x, v. Получим линеаризующую динамическую обратную связь.Пример 11.3.Переменные состояния системы (11.5) выражаются через t, ỹ =(y1 , y2 , ẏ1 , ẏ2 ). Поэтому n1 = n2 = 2, d = 1.
Выберем функцию ξ переменных t, ỹ так,чтобыp переход от переменных t, x, z, θ, ξ к переменным t, ỹ был обратим. Положимξ = ẏ12 + ẏ22 . Тогда ẏ1 и ẏ2 выражаются через θ и ξ: ẏ1 = ξ cos θ, ẏ2 = ξ sin θ. Выразим˙ u, ϕ через t, ỹ, ÿ1 , ÿ2 . В случае u > 0 получаем:ξ,q˙ξ = ÿ1 ẏ1 + ÿ2 ẏ2 , u = ẏ 2 + ẏ 2 , ϕ = arctg l(ÿ2 ẏ1 − ÿ1 ẏ2 ) .21(ẏ12 + ẏ22 )1/2(ẏ12 + ẏ22 )3/2Переходя к переменным t, x, z, θ, ξ, v1 = ÿ1 , v2 = ÿ2 , получаем линеаризующую динамическую обратную связьu = ξ,ϕ = arctgl(v2 cos θ − v1 sin θ),ξ2ξ˙ = v1 cos θ + v2 sin θс областью определения {u 6= 0}.
Обратное отображение из множества решений системы (11.5) во множество решений линейной системы ÿ1 = v1 , ÿ2 = v2 имеет видt = t y1 = x,y2 = z,v1 = u̇ cos θ −u2tg ϕ sin θ,lv2 = u̇ sin θ +u2tg ϕ cos θ.lЗамечание 1. Из соотношений (11.7) и (11.8) следует, что состояние x плоской системы (11.1) выражается через время t и состояние ỹ линейной системы (11.4), а управлениеu – через t, ỹ и управление v системы (11.4).
Однако обратное отображение может не обладать этим свойством, т.е. выражения для ỹ, v могут содержать t, x, u и производныеu̇, . . . , u(k) до некоторого порядка k. Так, в рассматриваемом выше примере управление(v1 , v2 ) линейной системы выражается через состояние θ, управление (u, ϕ) и производную u̇. Таким образом, чтобы представить преобразование плоской системы (11.1) к виду (11.4) как обратимое отображение областей пространств, необходимо рассматриватьпространства бесконечной размерности, координатами которых являются время, состояния, управление и все производные управления.12. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙОБРАТНОЙ СВЯЗИ12.1. Решение задач терминальногоуправления и стабилизацииРассмотрим механическую систему, описываемую системой (11.1).
Предположим, мынашли функцию управления u∗ (t), которая позволяет нам следовать выбранной траекторииx∗ (t). Но какие–либо случайные внешние воздействия, не учитываемые системой (11.1),изменили функцию состояния системы на x(t), причем x(t0 ) 6= x∗ (t0 ) в некоторый момент t = t0 . В этом случае для возвращения на заданную траекторию x∗ (t) управлениевыбирается как решение задачи стабилизации.В классической формулировке эта задача заключается в поиске такой обратной связиu = U (t, x), что x = x∗ (t) есть асимптотически устойчивоерешение системы обыкновенных дифференциальных уравнений ẋ = f t, x, U (t, x) .
Динамический вариант формулировки требует найти такую динамическую обратную связь (11.2) и векторную функциюv = V (t, x, ξ), чтобы для некоторой векторной функции ξ∗ (t) набор x∗ (t), ξ∗ (t) был асимптотически устойчивым решением системыẋ = f t, x, b t, x, ξ, V (t, x, ξ) ,ξ˙ = a t, x, ξ, V (t, x, ξ) .(12.1)Для возвращения на заданную траекторию x∗ (t) в описанной выше ситуации управление вычисляется по формулеu = b t, ξ(t), x(t), V t, x(t), ξ(t) ,где x(t) — состояние системы в момент t, а ξ(t) есть решение системы обыкновенныхдифференциальных уравненийξ˙ = a t, ξ, x(t), V t, x(t), ξс начальным условием ξ(t0 ) = ξ∗ (t0 ). Тогда в случае отсутствия внешних воздействий приt > t0 функция состояний x(t) вместе с функцией ξ(t) образуют решение системы(12.1),которое в случае близости x(t0 ) к x∗ (t0 ) стремится к решению x∗ (t), ξ∗ (t) при t → ∞ ввиду устойчивости последнего.
А значит, x(t) стремится к x∗ (t).Пусть система (11.1) линеаризуема динамической обратной связью (11.2) и для неепоставлена задача терминального управления:x(tн ) = xн ,x(tк ) = xк .(12.2)Покажем как решаются поставленные задачи для таких систем. Рассмотрим системуẋ = f t, x, b(t, x, ξ, v) ,ξ˙ = a(t, x, ξ, v),(12.3)565712. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИв которую преобразуется система (11.1) после применения динамической обратной связи (11.2). Для вектора ξ дополнительных переменных зададим произвольные (например,нулевые) начальное (ξн ) и конечное (ξк ) значения и рассмотрим для системы (12.3) задачутерминального управления:x(tн ) = xн ,ξ(tн ) = ξн ,x(tк ) = xк ,ξ(tк ) = ξк .(12.4)По определению динамической линеаризуемости система (12.3) обратимой заменой переменных видаt = t, ỹ = Ỹ (t, x, ξ), v = v(12.5)преобразуется в эквивалентную систему(ni )yi= vi ,i = 1, .
. . , m.(12.6)Применяя преобразование (12.5), получаем для системы (12.6) задачуỹ(tн ) = Ỹ (tн , xн , ξн ),ỹ(tк ) = Ỹ (tк , xк , ξк ).(12.7)Решение этой задачи и соответствующей задачи стабилизации хорошо известно [6].Например, существует решение y∗ (t), v∗ (t) системы (12.6), удовлетворяющее условиям (12.7), в виде многочленов по t:y∗,i (t) =2ni −1Xai,s ts ,v∗,i (t) = (y∗,i (t))(ni ) ,i = 1, .
. . , m,(12.8)s=0где коэффициенты {ai,s } находятся из системы уравнений (12.7). Эта система состоитиз линейных уравнений на {ai,s }, и в случае tк 6= tн матрица системы невырожденна.Поэтому система имеет единственное решение.Применяя замену переменныхt = t,x = X(t, ỹ),ξ = Ξ(t, ỹ),v = v,(12.9)обратную к замене (12.5), получаем из решения y∗ (t), v∗ (t) решение x∗ (t), ξ∗ (t), v∗ (t)системы (12.3). Это решение удовлетворяет условиям (12.4) в виду взаимной обратимостизамен (12.5) и (12.9).
Таким образом, зависимостьu∗ (t) = b t, ξ∗ (t), x∗ (t), v∗ (t) , t ∈ [tн , tк ],решает задачу терминального управления (12.2).Для решения соответствующей задачи стабилизации построим обратную связьi −1(ni ) nX(j) (j)vi = y∗,i (t)+γi,j yi − y∗,i (t),i = 1, . . . , m,(12.10)j=0где постоянные коэффициенты γi,j находятся из условия асимптотической устойчивостиследующей линейной системы дифферениальных уравнений(n )ei i=ni −1Xj=0(j)γi,j ei ,i = 1, . . . , m.5812.
МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИОбратная связь (12.10) дает решение задачи стабилизации системы (12.6), так как получающаяся с помощью нее система обыкновенных дифференциальных уравнений имеетвидi −1(ni ) nX(j) (ni )(j)yi = y∗,i (t)+γi,j yi − y∗,i (t), i = 1, . . . , m,(12.11)j=0а значит, y∗ (t) есть асимптотически устойчивое решение этой системы.Обозначим через v = V (t, ỹ) функцию (12.10). Замена переменныхt = t,x = X(t, ỹ),ξ = Ξ(t, ỹ),полученная из замены (12.9) удалением v, преобразует решение y∗ (t) системы (12.11) врешение x∗ (t), ξ∗ (t) системыẋ = f t, x, b t, x, ξ, V (t, Y (t, x, ξ)) ,ξ˙ = a t, x, ξ, V t, Y (t, x, ξ) .Примеры показывают (см.
[8] и ссылки там), что очень часто решение x∗ (t), ξ∗ (t) последней системы тоже асимптотически устойчиво. В этом случае динамическая обратнаясвязь (11.2) и векторная функция v = V t, Y (t, x, ξ) решают задачу стабилизации длясистемы (11.1). При этом подбор коэффициентов γi,j в (12.11) позволяет регулироватьскорость возвращения системы на заданную траекторию x∗ (t).12.2. Управление движениемсамолета вертикального взлетаРассмотрим движение самолета вертикального взлета на этапе выполнения предпосадочных маневров. Используем упрощенную модель [8], которая учитывает только движение в вертикальной плоскости, перпендикулярной продольной оси. Это движение описывает система уравненийẍ = u1 sin θ − εu2 cos θ,z̈ = u1 cos θ + εu2 sin θ − 1,θ̈ = u2 ,(12.12)где x и z — нормированные координаты центра масс самолета по горизонтальной и вертикальной осям соответственно, θ — угол крена, vx , vz , vθ — соответствующие скорости,u1 — управление, пропорциональное сумме тяг двигателей, u2 — управление, пропорциональное разности тяг двух двигателей, ε — малая константа.
Вектор с координатамиx, vx = ẋ, z, vz = ż, θ, vθ = θ̇задает состояние системы, вектор (u1 , u2 ) — ее управление.Система (12.12) регулярна во всем пространстве, а в точках, где vθ 6= 0 и u1 − εvθ2 6= 0,она плоская, и функцииy1 = x + ε sin θ,y2 = z + ε cos θ5912. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИобразуют ее плоский выход. Действительно, в указанных точках имеемÿ1x = y1 − ε p(ÿ1 )2 + (ÿ2 + 1)2ÿ2 + 1z = y2 − ε p(ÿ1 )2 + (ÿ2 + 1)2ÿ1.θ = arctgÿ2 + 1,,Так как vx , vz , vθ — производные в силу системы (12.12) функций x, z, θ соответственно,то переменные vx , vz , vθ также выражаются через y1 , y2 и их производные. Плоскостностьсистемы (12.12) следует из теоремы 11.5.Построим динамическую обратную связь, линеаризующую систему (12.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
