DGMTU_FN12 (1172054), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Следующая теорема позволяетпроверять существование такой функции.Теорема 8.1. Пусть M — гладкое многообразие размерности n. Существует единственная последовательность отображенийdddC ∞ (M ) −→ Λ1 (M ) −→ Λ2 (M ) → . . . → Λn−1 (M ) −→ Λn (M ),(8.1)обладающая свойствами:1) если f — функция, то df — дифференциальная 1-форма, описанная в примере 7.2;2) d(df ) = 0;3) d(ω1 + ω2 ) = dω1 + dω2 ;4) если ω1 — форма порядка p, тоd(ω1 ∧ ω2 ) = dω1 ∧ ω2 + (−1)p ω1 ∧ dω2 .Доказательство.
Используя задачу 7.4 и свойства 1)–4) из теоремы, для формы (7.1)получаемXdω =dai1 ...ip ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxip .(8.2)1≤i1 <...<ip ≤nТаким образом, свойства 1)–4) однозначно определяют последовательность (8.1), что доказывет ее единственность.Для доказательства существования достаточно определить d формулой (8.2) и проверить выполнение свойств 1)–4).Задача 8.1 Завершите доказательство теоремы.Оператор d, фигурирующий в теореме 8.1, называют дифференциалом де Рама (иливнешним дифференцированием).Лемма Пуанкаре: dω = 0 =⇒ локально ω = df.Задача 8.2 Докажите следующую координатную формулу для дифференциала внешней1-формы:!nXX ∂aj∂ai−dxi ∧ dxj .dai dxi =∂x∂xiji=1i<jЗадача 8.3 Докажите, что для любой дифференциальной формы ω и любых векторныхполей X и Y на многообразии M справедливы следующие свойства дифференциала деРама:1) d(dω) = 0, т.е.
d2 = 0;2) dF ∗ (ω) = F ∗ (dω) для любого гладкого отображения F : N → M ;3) dX(ω) = X(dω);4) X(ω) = Xc(dω) + d(Xcω);5) Y c(Xcdω) = Y (Xcω) − Xcd(Y cω) − [Y, X]cω.41428. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДЕ РАМАДля дифференциальной формы ω порядка 1 формула 5) из задачи 8.3 переписываетсяв видеY c(Xcdω) = Y (Xcω) − X(Y cω) + [X, Y ]cωи называется инфинитезимальной формулой Стокса (о мотивировке этого термина см. [4,Рис. 5 и пояснения к нему]).Задача 8.4 Проверьте инфинитезимальную формулу Стокса, используя координаты изадачу 8.2.Всякое распределение на многообразии определяет дуальный объект, который называют кораспределением. А именно, для распределения F на многообразии M в произвольнойточке P ∈ M рассмотрим множество FP∗ ковекторов, биортогональных подпространствуFP , т.е.~ = 0.ω ∈ FP∗ ⇐⇒ ∀ξ~ ∈ FP ξcωИз задачи 1.1 следует, что FP∗ есть подпространство в TP∗ M .
Получаем семейство подпространств FP∗ , P ∈ M , которое называют кораспределением распределения F.В общем случае говорят, что на многообразии M задано кораспределение F ∗ , если вкаждой точке P ∈ M задано линейное подпространство FP∗ кокасательного пространстваTP∗ M .Задача 8.5 Покажите, что всякое кораспределение определяет распределение на том жемногообразии.Пусть F — гладкое регулярное распределение на многообразии M , D(F) — модульвекторных полей, принадлежащих распределению F. Обозначим через Λ1 (F) модуль дифференциальных 1-форм, принадлежащих кораспределению распределения F, т.е.Λ1 (F) = {ω ∈ Λ1 (M ): ∀X ∈ D(F) Xcω ≡ 0}.Задача 8.6 Покажите, что Λ1 (F) есть модуль над C ∞ (M ).Обозначим через Λ1 (M ) ∧ Λ1 (F) модуль дифференциальных 2-форм, состоящий из конечных сумм форм вида ω1 ∧ ω2 , где ω1 ∈ Λ1 (M ), а ω2 ∈ Λ1 (F).Теорема 8.2 (теорема Фробениуса, второй вариант).
Гладкое регулярноераспределение F интегрируемо тогда и только тогда, когда dΛ1 (F) ⊂ Λ1 (M ) ∧ Λ1 (F), т.е.когда dω ∈ Λ1 (M ) ∧ Λ1 (F), если ω ∈ Λ1 (F). Так, если 1-формы ωi , i = k + 1, n, порождаютмодуль Λ1 (F), то F интегрируемо тогда и только тогда, когда существуют такие 1-формыαij ∈ Λ1 (M ), чтоnXdωi =αij ∧ ωj ,i = k + 1, n.j=k+1Задача 8.7 Докажите теорему 8.2, используя теорему 4.2 и инфинитезимальную формулуСтокса.Приведем другие формулировки теоремы Фробениуса.
Через I(F) обозначим множество всех дифференциальных форм, представляющих собой конечные суммы форм видаω1 ∧ ω2 , где ω1 ∈ Λ∗ (M ), а ω2 ∈ Λ1 (F). Множество I(F) называют идеалом распределенияF.438. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДЕ РАМАЗадача 8.8 Покажите, что множество I(F) состоит в точности из таких дифференциальных форм Ω, что ΩP обращается в нуль на FP для всех P ∈ M .Задача 8.9 Пусть F — гладкое регулярное распределение на многообразии, а 1-формы ωi ,i = k + 1, n, порождают модуль Λ1 (F).
Докажите эквивалентность следующих условий:1) распределение F интегрируемо;2) dI(F) ⊂ I(F);3) dωi ∧ ωk+1 ∧ . . . ∧ ωn = 0,i = k + 1, n.Теорема Фробениуса дает возможность решать следующую задачу:задан модуль A = spanC ∞ (M ) {ω1 , . . . , ωq }, ω1 , . . .
, ωq ∈ Λ1 (M ), определить, существует лидля него базис из точных 1-форм, т.е. существуют ли такие функции f1 , . . . , fq , чтоA = spanC ∞ (M ) {df1 , . . . , dfq }.Задача 8.10 Существуют ли для модулейa) spanC ∞ (M ) {dz1 − z2 dz3 − z2 dz4 , dz2 },базисы из точных 1-формb) spanC ∞ (M ) {dz1 − z2 dz3 − z2 dz4 , dz3 }9. КОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕС СИСТЕМАМИ УПРАВЛЕНИЯ9.1. Определение и свойстваРассмотрим регулярную систему с управлением:ẋ = f (t, x, u),x ∈ Rn , u ∈ Rm .(9.1)Обозначим через α(i) — i-ю производную функции (дифференциальной формы) α в силусистемы (9.1), в частности: α(1) = α̇, α(0) = α.
Пусть k ∗ = n + 2. Считая переменные(0)(1)(2)(1)(kt, x1 , . . . , xn , u1 , . . . , u(0)m , u1 , . . . , um , u1 , . . . , um∗)(9.2)независимыми, рассмотрим пространство с такими координатами. На переменные состояния x, управления u и производные управления системы могут налагаться некоторыеограничения. Обозначим через E область пространства с координатами (9.2), где определена система (9.1) (векторная функция f ) и выполняются все ограничения на переменныесистемы.Обозначим через D векторное полеm k∗ −1mXX X (k+1) ∂∂∂fα (t, x, u)u+D=+(k)∂t α=1∂xα β=1 k=0 β∂uβна E. Производная Ли вдоль векторного поля D совпадает с производной∗ в силу систе(k )мы (9.1) для функций (дифференциальных форм) на E, независящих от uβ , β = 1, .
. . , m.Обозначим через H1 модуль над C ∞ (E), порожденный 1–формамиdt, dx1 , . . . , dxn .(9.3)Определим индуктивно множестваHk+1 = {ω ∈ Hk : Dω ∈ Hk },k ≥ 1.Имеем dt ∈ Hi для любого i ≥ 1, так как D(dt) = 0.Пример 9.1. Найдем множества Hk для системы из примера 6.1:ẋ = u cos θ,ẏ = u sin θ,θ̇ = u tg ϕ.d(9.4)Важнейшим свойством множеств Hk является их инвариантность относительно заменпеременных состояния. Докажем еще одно свойство.Теорема 9.1. Для любого k ≥ 0 множество Hk есть модуль над C ∞ (E).449. КОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ УПРАВЛЕНИЯ45Доказательство. Используем индукцию по k ≥ 1.
По определению H1 есть модульнад C ∞ (E). Предположим Hk — модуль, f ∈ C ∞ (E) и τ ∈ Hk+1 . Тогда τ ∈ Hk иω = f τ ∈ Hk . Кроме того, Dω = D(f )τ + f D(τ ) ∈ Hk . Поэтому согласно определениюHk+1 1-форма ω = f τ принадлежит Hk+1 . А значит, Hk+1 есть модуль над C ∞ (E). .Размерность пространства ковекторов {ωθ |ω ∈ Hl } конечна для любых l и θ ∈ E. Подразмерностью какого–либо C ∞ (E)–подмодуля H ⊂ Λ1 (E) в точке θ ∈ E мы понимаемразмерность пространства ковекторов {ωθ |ω ∈ H}. Через dim H|θ обозначим размерностьмодуля H в точке θ.Точку θ ∈ E называют Б–регулярной точкой системы (9.1), если в некоторой окрестности этой точки система (9.1) регулярна, а для любого l = 1, .
. . , k ∗ модули Hl и Hl + D(Hl )имеют постоянную размерность.9.2. Описание модулей Hk на языке векторных полейРассмотрим векторные поляBβ =∂(0),β = 1, . . . , m,∂uβи C ∞ (E)–модули Di (i ≥ 1), порожденные векторными полямиi−1B1 , . . . , Bm , adD B1 , . . . , adD Bm , . . . , adi−1D B1 , . . . , adD Bm ,где adD Bβ = [D, Bβ ] — коммутатор векторных полей, adlD Bβ = [D, adl−1D Bβ ]. Отметим,что для любого i ≥ 1 модуль Di вместе с полями∂(j)∂uβ,β = 1, . .
. , m,j = 1, . . . , k ∗ ,порождает распределение Pi на E. Функция t есть первый интеграл распределения Pi длялюбого i ≥ 1.Задача 9.1 Найдите распределения Pi для аффинной системы. Как связана матрицауправляемости такой системы с распределениями Pi ?Лемма 9.1. В окрестности Б–регулярной точки для i ≥ 1 имеемHi = {ω ∈ H1 : ∀X ∈ DiXcω ≡ 0}.Доказательство. Используем индукцию по i. ОбозначимDiT = {ω ∈ H1 : ∀X ∈ DiXcω ≡ 0}.Из определений следует, что базисом и H1 , и D1T является набор (9.3). Поэтому H1 = D1T .TПусть Hj−1 = Dj−1. Докажем равенство Hj = DjT методом двух включений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
