DGMTU_FN12 (1172054), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , x0n ), сводится к поиску решения системы ОДУ, удовлетворяющего начальному условию x(t0 ) = x0 , т.е. к задаче Коши для нормальной системы ОДУ. Согласнотеореме Коши существования и единственности решения системы ОДУ, эта задача имеет единственное решение. Параметрами этой задачи являются координаты точки x0 иначальный момент времени t0 , который можно менять произвольным образом. Действительно, если γ(t) является интегральной кривой, удовлетворяющей условию γ(t0 ) = P , тоγe(t) = γ(t + α) также является интегральной кривой, причем эта интегральная криваяудовлетворяет условию γe(t0 − α) = P .
Если не различать параметризованные кривые,которые преобразуются друг в друга заменой параметра вида τ = t + α (сдвигом параметра), то можно утверждать, что через каждую точку многообразия проходит единственнаяинтегральная кривая, две интегральные кривые либо не пересекаются, либо совпадают.Эти свойства интегральных кривых легко понять, исходя из гидродинамической интерпретации векторного поля.
Интегральные кривые поля скоростей потока жидкости —это траектории движения частиц жидкости. Траектории не могут пересекаться, так какиначе в точке их пересечения у частицы жидкости было бы два варианта движения, а этопротиворечит физическому смыслу задачи.Течение жидкости можно изучать, рассматривая положение ее частиц в различныемоменты времени. Частица жидкости, находящаяся в точке P ∈ M в начальный моментвремени t = 0, к моменту времени t > 0 перейдет в другую точку (или была в другой точкепри t < 0), которую мы обозначим через At (P ). Положение At (P ) частицы является функцией как времени t, так и начального положения P .
При фиксированном моменте времениt мы получаем отображение At : M → M , которое точку P многообразия M переводит вточку At (P ). Отметим, что при t = 0 отображение At сводится к тождественному. Кроме того, композиция At ◦ As отражает изменения в положении частиц за период времени,равный t + s, т.е. совпадает с отображением At+s .Описанные свойства потока жидкости на самом деле не связаны с гидродинамическойинтерпретацией и относятся к произвольным векторным полям.Теорема 3.4.
Для любого гладкого векторного поля X на многообразии M существуетсемейство открытых множеств {Ut ⊆ M } и семейство отображений At : Ut → M , t ∈ R,обладающие свойствами:1◦ . U0 = M , а A0 — тождественное отображение.2◦ . Ut ⊂ Us при 0 < s < t или при t < s < 0.3◦ . ∪t>0 Ut = ∪t<0 Ut = M .4◦ . At (Us ) ⊂ Us−t , где 0 < t < s или s < t < 0.5◦ . At+s = At ◦ As .6◦ . A−t = (At )−1 .7◦ . At : Ut → U−t — диффеоморфизм.8◦ .
Для любой точки P ∈ M существует такое ε > 0, что At (P ), t ∈ (−ε, ε), естьинтегральная кривая векторного поля X.Док–во см. в [3, §11.7].Семейство отображений At : Ut → M из теоремы 3.4 называют фазовым потоком векторного поля X.Теорема 3.5. Если гладкому векторному полю X на многообразии M соответствует183.
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯфазовый поток {At } и f — гладкая функция на M , тоX(f ) =∂и X A∗t (f ) =A∗t (f ) = A∗t X(f ) .∂t∂A∗t (f ) ∂tt=0(3.2)Док–во. Фиксируем точку P ∈ M . Из свойства 8 фазового потока (см. теорему 3.4)следует, что Aτ (P ), τ ∈ (−ε, ε), есть интегральная кривая векторного поля X. Так как этакривая проходит через точку P : A0 (P ) = P, то касательный вектор к этой кривой в точкеP совпадает с XP . Используя формулу из задачи 2.1, получаемXA∗t (f )(P ) =XP A∗t (f )∂ ∗=At (f ) Aτ (P ) .∂ττ =0Из определения индуцированного отображения, свойства 5 фазового потока (см.
теорему3.4) и определения производной следует, что∂ ∗∂∂At (f ) Aτ (P ) (f ◦ At ◦ Aτ )(P ) =(f ◦ At+τ )(P ) ==∂τ∂τ∂ττ =0τ =0τ =0∂∂=(f ◦ At )(P ) =A∗t (f ) (P ).∂t∂tТаким образом доказано второе равенство в (3.2). При t = 0 из него следует первоеравенство. .Задача 3.2 Докажите третье равенство в (3.2).3.4. Коммутатор векторных полейНа многообразии M рассмотрим два векторных поля X и Y .
Будем их интерпретировать как дифференцирования R–алгебры C ∞ (M ). С помощью этих двух отображенийсоставим новое отображение X ◦ Y − Y ◦ X R–алгебры C ∞ (M ) в себя.Задача 3.3 Докажите, что отображение X ◦ Y − Y ◦ X является дифференцированием.Векторное поле, соответствующее дифференцированию X ◦ Y − Y ◦ X, называют коммутатором векторных полей X и Y и обозначают [X, Y ].Задача 3.4 Пусть в локальных координатах x1 , . .
. , xn на многообразии M гладкие векторные поля X и Y имеют видX=nXi=1∂,ai∂xiY =nXi=1bi∂.∂xiДокажите, что[X, Y ] =n Xn Xi=1 j=1∂bi∂ai ∂aj− bj.∂xj∂xj ∂xi(3.3)193. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯФормулу (3.3) можно переписать следующим образом. Рассмотрим векторные функциимногих переменных X(x) = (a1 (x) .
. . an (x))T и Y (x) = (b1 (x) . . . bn (x))T , составленные изкоординатных функций векторных полей (здесь x = (x1 , . . . , xn ) ). Тогда для векторнойфункции Z(x) = (c1 (x) . . . cn (x))T , составленной из координатных функций векторного поля[X, Y ], имеемZ(x) = Y 0 (x) X(x) − X 0 (x) Y (x),где X 0 (x) и Y 0 (x) — матрицы Якоби функций X(x) и Y (x).Теорема 3.6.
Коммутатор векторных полей обладает следующими свойствами:1◦ . [X, αY + βZ] = α[X, Y ] + β[X, Z], α, β ∈ R (линейность).2◦ . [X, Y ] = −[Y, X] (антикоммутативность).3◦ . [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 (тождество Якоби).Док–во. Доказательство каждого свойства состоит в проверке того, что левой и правой частям доказываемого равенства соответствуют равные дифференцирования алгебрыгладких функций на многообразии. .Задача 3.5 Докажите теорему 3.6.Линейное пространство A, в котором задана операция, удовлетворяющая свойствам1 –3◦ , т.е.
линейная, антикоммутативная, подчиняющаяся тождеству Якоби, называюталгеброй Ли. Сформулированная теорема утверждает, что линейное пространство гладких векторных полей на многообразии M с коммутатором векторных полей есть алгебраЛи. Примером алгебры Ли может также служить линейное пространство V3 свободныхвекторов с операцией векторного умножения.Дадим геометрическую интерпретацию коммутатора векторных полей. Пусть X иY — векторные поля на многообразии M и P ∈ M . Обозначим через {Aτ } и {Bτ } фазовые потоки векторных полей X и Y .
Пусть t — достаточно малое число. Построим вточке P интегральную кривую γ1 (τ ) = Aτ (P ) векторного поля X, из точки γ1 (t) = At (P )проведем интегральную кривую γ2 (τ ) = Bτ (At (P )) векторного поля P . Затем из точкиγ2 (t) проведем интегральную кривую γ3 (τ ) векторного поля −X, а из точки γ3 (t) — интегральную кривую γ4 (τ ) векторного поля −Y . Рассмотрим отображение, которое числу t2ставит в соответствие точку γ4 (t) (рис. 3.2).
Это отображение задает на поверхности Mпараметризованную кривую γ(t), которую можно представить в виде◦рис.3.2γ(t2 ) = (B−t ◦ A−t ◦ Bt ◦ At )(P ).Рис. 3.2Теорема 3.7. Вектор [X, Y ]P является касательным вектором к параметризованнойкривой γ(t) в точке P .Док–во см. в [3, §11.8, теорема 11.21].203. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯТеорема 3.8. Пусть X и Y — гладкие векторные поля на многообразии M , причемвекторному полю X соответствует фазовый поток {At }. Тогда[Y, X] =Док–во см.
в [3, §11.8, теорема 11.22].ddAt (Y ) .dtt=04. РАСПРЕДЕЛЕНИЯрис.4.1Говорят, что на многообразии M задано распределение (или дифференциальная система, или структура Пфаффа) F, если в каждой точке P ∈ M задано линейное подпространство FP касательного пространства TP M (рис. 4.1).Рис. 4.1Если размерность линейных подпространств FP постоянна для всех точек P из некоторой окрестности точки Q ∈ M , то распределение F называют регулярным в точке Q, аразмерность каждого линейного подпространства FP называют размерностью распределения F в окрестности точки Q и обозначают dim F. Распределение называют регулярным,если оно регулярно в каждой точке многообразия.Распределения можно задавать с помощью семейств векторных полей.
Пусть на многообразии M задано семейство{Xα } векторных полей. Тогда в каждой точке P ∈ Mопределено множество {Xα P } касательных векторов к многообразию M в точке P , т.е.подмножество линейного пространства TP M . Сопоставив точкеP линейное подпространство FP , являющееся линейной оболочкой множества {Xα P }, получим распределение Fна многообразии M . В этом случае мы будем называть семейство {Xα } семейством,порождающим распределение F.Наиболее распространенным является случай конечного семейства векторных полейXi , i = 1, k. Если в каждой точке P система касательных векторов Xi P , i = 1, k, линейно независима, то dim FP = k, P ∈ M , и мы имеем дело с регулярным распределениемна многообразии M размерности k.
Однако в практических приложениях возникают системы векторных полей Xi , линейно независимые на всем многообразии за исключениемотносительно небольшого (возможно, и конечного) множества точек, в которых свойстволинейной независимости теряется. В этом случае система Xi , i = 1, k, порождает нерегулярное распределение. Это распределение становится регулярным, если его ограничитьна открытом подмножестве многообразия, не содержащем точки нерегулярности.Распределение F, порожденное семейством {Xα } гладких векторных полей, называютгладким.
Далее рассматриваются гладкие регулярные распределения.На n-мерном многообразии M рассмотрим некоторое k-мерное подмногообразие N .Подмногообразие N имеет структуру гладкого многообразия, а касательное пространствоTP N к многообразию N можно рассматривать как линейное подпространство касательногопространства TP M к многообразию M в точке P . Любое распределение F на многообразии M порождает распределение Fe на подмногообразии N , для которого FeP = FP ∩ TP N ,P ∈ N.Если распределение F на многообразии M и подмногообразие N многообразия M в любой точке P ∈ N связаны условием TP N ⊂ FP , то мы будем называть распределение F по21224.
РАСПРЕДЕЛЕНИЯотношению к N распределением, касающимся подмногообразия N , а подмногообразие Nпо отношению к распределению F — интегральным многообразием. Интегральное многообразие N распределения F будем называть максимальным интегральным многообразием,если не существует интегрального многообразия большей размерности, содержащего N .Задача 4.1 Приведите пример гладкого регулярного распределения, для которого черезточку проходит два разных максимальных интегральных многообразия.рис.4.2Регулярное распределение F на многообразии M называют интегрируемым, если черезкаждую точку P ∈ M проходит максимальное интегральное многообразие размерностиdim FP , причем любые два таких многообразия, проходящих через точку P , в некоторойокрестности этой точки совпадают (рис.
4.2).Рис. 4.2Теорема 4.1. Гладкое регулярное k-мерное распределение F многообразия M интегрируемо тогда и только тогда, когда для любой точки P ∈ M в достаточно малойокрестности этой точки существует такая система координат z1 , . . . , zn , что распределе∂, i = 1, k.ние порождается координатными векторными полями∂ziДок–во этой теоремы см. в [3, теорем 11.27].Будем говорить, что векторное поле X принадлежит распределению F, и писатьX ∈ F, если XP ∈ FP в каждой точке P ∈ M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
