DGMTU_FN12 (1172054), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Это позволяет системе ẋ = f (x), x ∈ Rn , f = (f1 . . . fn ) , ставить в соответствие6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙвекторное поле32nX∂∂X=+fi (x)∂t i=1∂xiв расширенном фазовом пространстве. Существенное отличие автономного случая отнеавтономного состоит в том, что координатные функции векторного поля в автономномслучае не зависят от переменного t. Это позволяет заменить векторное поле в расширенном фазовом пространстве Rn+1 его проекцией на фазовое пространство Rn , для чегов координатном представлении векторного поля достаточно отбросить первое слагаемое.При такой проекции интегральные кривые векторного поля в расширенном фазовом пространстве переходят в интегральные кривые векторного поля в фазовом пространстве.6.2.

Приведение систем суправлением к каноническому видуСистему с управлением можно рассматривать как векторное поле, которое зависитот управления как функционального параметра. При таком подходе задача теории управления состоит в том, чтобы выбрать управление, при котором интегральные кривыевекторного поля будут обладать заданными свойствами.Пример 6.2. Задачу терминального управления из примера 6.1 можно переформулировать следующим образом: для векторного поляX=∂∂u∂∂+ u cos θ+ u sin θ+ tg ϕ∂t∂x∂y d∂θнайти такие функции u(t) и ϕ(t), при которых векторное поле X имеет интегральнуюкривую, проходящую в два заданных момента времени t0 и t1 через две заданные точки.Две системы с управлением ẋ = f (t, x, u) и ẏ = g(t, y, v), x, y ∈ Rn , u, v ∈ Rm , назовемэквивалентными, если существует такая замена переменных y = y(t, x), v = v(t, x, u), прикоторой любое решение (x(t), u(t)) первой системы переходит в решение(y(t, x(t)), v(t, x(t), u(t))) второй системы, причем эта замена переменных обратима и обратная замена переменных переводит любое решение второй системы в решение первой.Введенное понятие отражает возможность замены заданной системы с управлением другой, эквивалентной исходной.

Действительно, если система ẏ = g(t, y, v) эквивалентнасистеме ẋ = f (t, x, u), то по решениям первой системы можно найти решения второй инаоборот. Если система с управлением регулярная, то и эквивалентная ей система регулярная.Возникает задача описания систем с управлением, эквивалентных заданной системе, изадача выбора такой системы, эквивалентной исходной, которая имеет наиболее простойвид. В дифференциально-геометрической интерпретации систем с управлением заменапеременных представляет собой смену системы координат на многообразии, а задача выбора наиболее простой системы среди эквивалентных сводится к выбору такой системыкоординат, в которой векторное поле имеет наиболее простой вид.В качестве примера остановимся на случае аффинной системы с управлением, имеющей следующий вид:mXẋ = A(t, x) +Bi (t, x)ui ,(6.3)i=16. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ33где A, Bi , i = 1, m, — некоторые гладкие вектор-функции. Система (6.3) регулярная,если матрица (Bij ), составленная из координатных функций вектор-функций Bi , i = 1, m,имеет ранг m для всех рассматриваемых значений переменных t, x, u.Рассмотрим сначала случай m = 1 и выясним, при каких условиях такая регулярнаяаффинная система эквивалентна аффинной системе видаż1 = z2 ,ż2 = z3 ,.

. . . . . . . .(6.4)żn−1 = zn ,ż = f (z) + g(z)u.nТакая система регулярная, если функция g(z) 6= 0 для всех рассматриваемых значенийпеременных z. Ограничимся только такими заменами координат, которые не меняютвремя и управление, т.е. в данном случае заменами вида z = z(t, x), t = t, u = u. В такойзамене функция многих переменных z = z(t, x) должна определять замену координат вобласти U пространства Rn+1 .

При этом в новой системе координат система (6.3) имеетвид (6.4).Вектор-функции A и B можно рассматривать как координатное представление в системе координат x на U двух векторных полейnX=X∂∂+ai (x, t),∂t i=1∂xiY =nXi=1bi (x, t)∂.∂xiТогда аффинной системе ẋ = A(t, x) + B(t, x)u с управлением будет соответствовать векторное поле X + uY . При замене переменных z = z(t, x), оставляющей время и управлениенеизменными, аффинная система преобразуется так, что сохраняется связь этой системыс векторными полями X и Y .Введем обозначенияhiad0X Y = Y, adkX Y = X, adk−1Y, k ∈ N.XТеорема 6.1.

[6] Для того чтобы регулярная аффинная система ẋ = A(t, x) + B(t, x)u,x ∈ Rn , u ∈ R, в некоторой окрестности заданной точки P ∈ Rn+1 была эквивалентнасистеме вида (6.4), необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки P распределениеF, порожденноевекторными полями adkX Y , k = 0, n − 2, было инволютивным, а векторыadkX Y , k = 0, n−1, были линейно независимыми.PДок–во. Необходимость. Условия инволютивности распределения F и линейнойнезависимости векторов в формулировке теоремы сохраняются при замене переменных.Поэтому их достаточно проверить в системе координат z1 , .

. . , zn , в которой аффиннаясистема имеет вид (6.4).Задача 6.1 Проверьте условия инволютивности распределения F и линейной независимости векторов в формулировке теоремы для системы (6.4) в случае n = 3.Достаточность. Докажем, что при выполнении условий теоремы существует такаязамена переменных z = z(t, x), которая аффинную систему ẋ = A(t, x) + B(t, x)u преобразует в систему (6.4).6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ34Так как векторы набора adkX Y , k = 0, n−1, линейно независимы, то линейно незавиPсимы и первые n − 1 вектора этого набора. Так как векторные поля adkX Y , k = 0, n − 2,гладкие, то они линейно независимы и в некоторой окрестности точки P .

Следовательно,распределения F регулярно и имеет размерность n − 1. По теореме Фробениуса распределение F интегрируемо в этой окрестности. Поэтому оно имеет два первых интеграла,матрица из частных производных которых имеет ранг 2 в этой окрестности.Задача 6.2 Покажите, что функция t есть первый интеграл распределения F.Таким образом, существует первый интеграл распределения F, у которого не все частные производные по x1 , . .

. , xn точке P равны нулю. Обозначим его z1 . По определениюпервого интеграла распределения F имеем(adkX Y )(z1 ) = 0,k = 0, n − 2,значит, функция g = (adn−1X Y )(z1 ) не равна нулю в точке P . В силу гладкости эта функцияне обращается в нуль в некоторой окрестности точки P . Положимz2 = X(z1 ),z3 = X(z2 ), . .

. ,zn = X(zn−1 ).(6.5)Задача 6.3 Используя индукцию по i, докажите, что Y (zi ) = 0 при i = 1, n − 1, аY (zn ) = g.Обозначим через f функцию X(zn ). Из формул (6.5) и задачи 6.3 получаемn−1X∂∂∂+zi+1X=+f,∂t i=1∂zi∂znY =g∂.∂znТаким образом, в системе координат z1 , . . . , zn рассматриваемая система имеет вид (6.4).Теорема доказана.Замечание.

Доказательство теоремы 6.1 не только подтверждает возможность упрощения аффинной системы с помощью замены переменных, но и дает метод вычислениятакой замены переменных. Действительно, функция z1 может быть найдена как первыйинтеграл распределения F, у которой не все частные производные по x1 , . . . , xn точке Pравны нулю, а функции zi , i = 2, n, — по формулам (6.5). .Задача 6.4 Выясните, каким требованиям должна удовлетворять действительная функция f одного действительного переменного, чтобы системаẋ1 = f (x2 ) + x1 + ux3 ,ẋ2 = u,ẋ = x32была эквивалентна системе вида (6.4).6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ356.3. Преобразование систем с векторным управлениемПусть размерность n пространства состояний системы (6.3) представлена в виде суммыm целых положительных чисел,n = n1 + .

. . + nm .В соответствии с этим разложением переменныетz = (z1 , . . . , zn ) ∈ Rnразобъм на m групптz = (z 1 , . . . , z m ) ,вводя новые обозначения для переменных:ттz 1 = (z11 , . . . , zn1 1 ) ∈ Rn1 , . . . , z m = (z1m , . . . , znmm ) ∈ Rnm .Если аффинная система с векторным управлением в этих переменных имеет видż11 = z21 ,. . . , żn1 1 −1 = zn1 1 ,żn1 1 = f1 (z, t) +mPg1j (z, t)uj ,j=1mPż1m = z2m , . .

. , żnmm −1 = znmm , żnmm = fm (z, t) +...,(6.6)gmj (z, t)uj ,j=1где f (z, t), g(z, t) ∈ C ∞ (Z0 ), область Z0 ⊂ Rn+1 , то ее называют системой каноническоговида, а переменные z — каноническими переменными.Система (6.6) регулярна тогда и только тогда, когда матрица (g1j (z, t)) невырожденаво всех рассматриваемых точках.Аффинной системе (6.3) взаимно однозначно соответствуют гладкие векторные поляnX=X∂∂+ai (x, t),∂t i=1∂xiYj =nXi=1bij (x, t)∂,∂xiтj = 1, mт(6.7)тс координатными столбцами Â(x, t) = (a1 (x, t), .

. . , an (x, t), 1) = (A (x, t), 1) и B̂j (x, t) =ттт(b1j (x, t), . . . , bnj (x, t), 0) = (Bj (x, t), 0) .С помощью векторных полей (6.7) можно сформулировать следующее необходимое идостаточное условие локальной эквивалентности многомерной аффинной нестационарнойсистемы (6.3) системе (6.6) канонического вида.Теорема 6.2. [6] Для того, чтобы регулярная аффинная система (6.3) в некоторойокрестности заданной точки P ∈ Rn+1 была эквивалентна системе вида (6.6), необходимои достаточно, чтобы в окрестности точки P распределение F, порожденное векторнымиполямиadkX Yj ,k = 0, nj − 2, j = 1, m,было инволютивным, а векторыadkX Yj ,Pбыли линейно независимыми.k = 0, nj − 1,j = 1, m,6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ36Для того чтобы найти замену переменных z = z(t, x), t = t, преобразующую систему (6.3) к виду (6.6), необходимо и достаточно найти первые интегралы ϕj (t, x), j = 1, m,распределения F, для которых функцииzki = X k−1 ϕi , k = 1, ni , i = 1, m, i∂zk (P ), k = 1, ni , i = 1, m, j = 1, n, невырождена.зависят только от t, x, а матрица∂xj6.4.

Матрица управляемостиВекторные поля (−1)k adkX Yj , k = 0, n − 1, j = 1, m, имеют нулевые координаты по∂/∂t. Обозначим через Ujk столбец остальных координат векторного поля (−1)k adkX Yj0относительно ∂/∂x1 , . . . , ∂/∂xn . Отметим, что матрица B(x, t) = (U10 , . . . , Um). Из этихстолбцов координат составим матрицы0iU i (x, t) = (U10 , . . . , Um, . . . .

Характеристики

Список файлов лекций