DGMTU_FN12 (1172054), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Множество всех гладких векторныхполей, принадлежащих данному распределению F, обозначим D(F). На этом множествеопределены операции сложения векторных полей и умножения векторного поля на гладкуюфункцию. Действительно, если X, Y ∈ D(F ), то в каждой точке P ∈ M верны соотношения XP ∈ FP и YP ∈ FP . Следовательно, (X + Y )P = XP + YP ∈ FP и (f X)P = f (P )XP ∈∈ FP , так как FP есть линейное подпространство TP M .

Таким образом, множество D(F)замкнуто относительно операций сложения векторных полей и умножения векторного поляна гладкую функцию, т.е. является подмодулем модуля D(M ). Этот подмодуль называютмодулем распределения F.Кроме операций сложения и умножения на функцию, для гладких векторных полейимеется еще одна операция — коммутатор векторных полей. Модуль распределения можетбыть не замкнут относительно коммутатора векторных полей, т.е. могут существоватьвекторные поля, принадлежащие распределению, коммутатор которых не принадлежитраспределению.Распределение F на многообразии M называют инволютивным, если его модуль D(F)замкнут относительно коммутатора векторных полей, т.е. [X, Y ] ∈ F для любых гладких векторных полей X ∈ F и Y ∈ F.

Модуль инволютивного распределения являетсяалгеброй Ли.Теорема 4.2 (теорема Фробениуса). Гладкое регулярное распределение F интегрируемо тогда и только тогда, когда оно инволютивно. Так, если гладкие векторные234. РАСПРЕДЕЛЕНИЯполя Xi , i = 1, k, порождают регулярное распределение F, то F интегрируемо тогда итолько тогда, когда существуют такие функции clij , что[Xi , Xj ] =kXclij Xl ,1 ≤ i < j ≤ k.l=1Доказательство теоремы Фробениуса см. в [4, гл. 3, §5].Задача 4.2 Приведите пример гладкого регулярного неинволютивного распределения вR3 .О том, как найти систему координат из теоремы 4.1 и тем самым описать максимальные интегральные многообразия регулярного инволютивного распределения, см.

в [3,§11.9].Предположим, что k-мерное гладкое регулярное интегрируемое распределение F намногообразии M порождается гладкими векторными полями X1 , . . . , Xk . Согласно теореме 4.1, в некоторой окрестности U произвольной точки P ∈ M существует такая системакоординат z1 , . . . , zn , что распределение F порождается координатными векторными по∂, i = 1, k. Тогда максимальные интегральные многообразия распределения F влями∂ziокрестности U описываются уравнениямиzk+1 = ck+1 ,zk+2 = ck+2 ,...,zn = cn ,(4.1)где ck+1 , . .

. , cn — некоторые постоянные. Как найти такую систему координат, решивтем самым задачу описания максимальных интегральных многообразий регулярного распределения F?Уравнения 4.1 означают, что координатные функции zk+1 , . . . , zn являются постоянными на каждом максимальном интегральном многообразии в U . Значит, часть координатных функций искомой системы координат следует искать среди гладких функций, постоянных на максимальных интегральных многообразиях распределения F.

Такие функциив системе координат z1 , . . . , zn имеют вид F (zk+1 , . . . , zn ), где F — произвольная гладкаяфункция n − k переменных. Множество этих функций совпадает с множеством решенийсистемы дифференциальных уравнений в частных производных∂u= 0,∂zii = 1, k.(4.2)Учитывая, что распределение F порождается и системой векторных полей Xi , i = 1, k, и∂системой векторных полей, i = 1, k, заключаем, что система 4.2 эквивалентна системе∂ziуравненийXi (u) = 0, i = 1, k.(4.3)Действительно, так как векторные поля Xi , i = 1, k, порождают распределение F, любоевекторное поле X, принадлежащее F, можно представить в виде линейной комбинациивекторных полей Xi , т.е.X = α1 X1 + . .

. + αk Xk .Из этого равенства заключаем, что любое решение системы 4.3 удовлетворяет уравнениюX(u) = 0. В частности, любое решение системы 4.3 удовлетворяет и системе 4.2. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что любое решение системы 4.2 удовлетворяетсистеме 4.3.244. РАСПРЕДЕЛЕНИЯФункцию f , которая для данного гладкого векторного поля X удовлетворяет уравнению X(f ) = 0, называют первым интегралом векторного поля X. Мы можем теперьинтерпретировать задачу описания максимальных интегральных многообразий интегрируемого распределения, порожденного системой векторных полей X1 , . . .

, Xk , как задачупоиска общих первых интегралов векторных полей X1 ,. . . , Xk .Выберем в окрестности точки P какую-либо систему координат x1 , . . . , xn и запишемв координатах векторные поля Xi :Xi =nXaijj=1∂,∂xji = 1, k.Тогда система уравнений 4.3 примет вид∂u∂u+ . . . + a1n= 0,a11∂xn ∂x1. . . . . . . . . . . . . .∂u∂uak1+ . . . + akn= 0,∂x1∂xn(4.4)т.е. искомые функции являются решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, коэффициентами которой являются гладкие функции.Рассмотрим произвольную систему дифференциальных уравнений вида 4.4.

В какихслучаях такая система имеет решения? Ответ можно дать, связывая систему вида 4.4 сраспределением на многообразии. Пусть, например, функции aij : Rn → R определены вокрестности U некоторой точки x ∈ Rn . Множество U можно рассматривать как n-мерноемногообразие с атласом из одной карты, на котором определены гладкие векторные поляXi =nXj=1aij∂,∂xji = 1, k.(4.5)Эти векторные поля порождают распределение F, и процесс решения системы 4.4 можнорассматривать как построение интегральных многообразий распределения F.Если распределение F инволютивно, регулярно и dim F = k, то можно найти n − kфункций u1 , .

. . , un−k , постоянных на интегральных многообразиях, которые в некоторойсистеме координат являются координатными. Тогда любая постоянная функция на интегральном многообразии может быть записана в виде F (u1 , . . . , un−k ), где F — произвольнаягладкая функция n − k переменных. Инволютивность распределения F равносильна выполнению условий Фробениуса.

Записывая эти условия в координатной форме, подведемитог, сформулировав теорему.Теорема 4.3. Пусть коэффициенты aij системы дифференциальных уравнений 4.4удовлетворяют условиямn Xi=1k∂asj∂arj X mari− asi=crs amj ,∂xi∂xim=1r, s = 1, k,j = 1, n,где cmrs — некоторые функции переменных x1 , . . . , xn , а функциональная матрица (aij )имеет ранг k, k < n. Тогда для любой точки P из области определения системы 4.4 внекоторой ее окрестности U существуют такие решения u1 , u2 , . . . , un−k этой системы,254.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ∂u i, i = 1, n−k, j = 1, n, имеет ранг n − k. Для любого набора∂xjрешений u1 , u2 , . . . , un−k , имеющего в U матрицу Якоби ранга n − k, каждое решениесистемы в U можно представить в виде F (u1 , . . . , un−k ), где F — гладкая функция n − kпеременных.что матрица ЯкобиЕсли распределение F, порожденное векторными полями 4.5, не является инволютивe т.е. такое инволютивноеным, то нужно рассмотреть его инволютивное замыкание F,eраспределение, что, во-первых, FP ⊃ FP в каждой точке P ∈ M , а во-вторых, для любого инволютивного распределения G, удовлетворяющего условию GP ⊃ FP , выполняетсявключение GP ⊃ FeP . Можно кратко сказать, что инволютивное замыкание распределенияF — это наименьшее инволютивное распределение, включающее в себя распределение F.Чтобы построить инволютивное замыкание распределения, порожденного гладкимивекторными полями X1 , .

. . , Xk , необходимо расширить систему векторных полей следующим образом. Сначала к системе векторных полей добавим коммутаторы [Xi , Xj ], длякоторых нет представления вида[Xi , Xj ] =kXcmij Xm .m=1Для пополненной таким образом системы повторим процедуру пополнения, добавляя коммутаторы векторных полей, входящих в систему, причем те коммутаторы, которые представляются в виде линейной комбинации исходных векторных полей, игнорируются.

Процедуру пополнения системы векторных полей продолжаем до тех пор, пока на очередномшаге не окажется, что все коммутаторы векторных полей являются линейными комбинациями векторных полей последней пополненной системы.Распределение, порожденное пополненной системой векторных полей, является инволютивным, так как любой коммутатор векторных полей системы является линейной комбинацией векторных полей системы, а потому принадлежит распределению.

Это распределение является наименьшим, поскольку инволютивное замыкание вместе с векторнымиполями Xi содержит и все их коммутаторы, а также коммутаторы этих коммутаторов ит.п.Если система векторных полей Xi соответствует системе линейных дифференциальныхуравнений в частных производных вида 4.4, то пополненная система векторных полей соответствует системе дифференциальных уравнений, полученной из исходной добавлениемновых уравнений. Отметим, что если Y (u) = 0 и Z(u) = 0, то[Y, Z](u) = Y (Z(u)) − Z(Y (u)) = Y (0) − Z(0) = 0.Следовательно, множество решений исходной системы дифференциальных уравнений имножество решений пополненной системы дифференциальных уравнений совпадают. Нов случае пополненной системы дифференциальных уравнений можно использовать (принекоторых ограничениях) теорему 4.3, а это позволяет получить описание всех решенийисходной системы дифференциальных уравнений.Пусть векторные поля X1 , .

Характеристики

Список файлов лекций