DGMTU_FN12 (1172054), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Мы будем рассматривать только гладкиевекторные поля. Множество всех гладких векторных полей на многообразии M будемобозначать через D(M ).Производная гладкой функции f на M вдоль векторов XP , P ∈ M , определяет функцию P → XP (f ), которую называют производной (или производной Ли) функции f вдольвекторного поля X и обозначают X(f ) или LX f .Из формул (2.3), (2.4) и (3.1) следует представлениеX(f ) =nXai (x1 , . . . , xn )i=1∂f(x1 , . .
. , xn ).∂xiПоэтому если X — гладкое векторное поле, то X(f ) — гладкая функция.Теорема 3.1. Производная функций вдоль векторного поля обладает свойствами:1◦ . X(λf + µg) = λX(f ) + µX(g), λ, µ ∈ R, f, g ∈ C ∞ (M ).2◦ . X(f g) = f X(g) + X(f )g, f, g ∈ C ∞ (M ).Любое отображение D: C ∞ (M ) → C ∞ (M ), обладающее указанными свойствами, порождается некоторым гладким векторным полем X, т.е. функция D(f ) есть производнаяфункции f вдоль векторного поля X.13143.
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯДок–во см. в [3, §11.6, теорема 11.14].Отображение X: C ∞ (M ) → C ∞ (M ), обладающее свойствами 1◦ и 2◦ из теоремы 3.1,называют дифференцированием R–алгебры C ∞ (M ). Согласно теореме 3.1, понятие гладкого векторного поля на многообразии и понятие дифференцирования R–алгебры гладкихфункций на этом же многообразии можно отождествить.На множестве D(M ) всех гладких векторных полей на многообразии M можно ввестиоперации сложения векторных полей и умножения векторного поля на гладкую функцию.Суммой X + Y векторных полей X и Y называют векторное поле, которое каждой точкеP ∈ M ставит в соответствие касательный вектор XP + YP , т.е.
по определению(X + Y )P = XP + YP .Произведением f X векторного поля X на гладкую функцию f называют векторное поле,которое каждой точке P ∈ M ставит в соответствие касательный вектор f (P )XP , т.е. поопределению(f X)P = f (P ) XP .Пусть K — R-алгебра. Абелеву группу G называют модулем над R-алгеброй K (илиK–модулем), если в G определена дополнительная операция, сопоставляющая каждой пареэлементов α ∈ K, x ∈ G некоторый элемент αx ∈ G и обладающая следующими свойствами:1) α(x + y) = αx + αy;2) (α + β)(x) = αx + βx;3) (αβ)(x) = α(βx);4) 1x = x.Поле R является R-алгеброй, а любое линейное пространство над полем R дает примермодуля над этой R-алгеброй.Задача 3.1 Покажите, что относительно введенных операций множество D(M ) есть модуль над R-алгеброй C ∞ (M ).Важным отличием модуля от линейного пространства является отсутствие хорошегоопределения размерности и базиса модуля.
В общей алгебре базисом модуля называютнепустую систему его элементов, которая является линейно независимой и порождает модуль. Однако, например, модуль C ∞ (R) имеет базис, состоящий из одной функции 1, ибазис, состоящий из двух функций x и x − 1, что неудобно. Далее под размерностьюмодуля G над R-алгеброй C ∞ (M ) мы будем понимать целочисленную функцию на M , которая в точке P ∈ M равна размерности пространства, составленного из ограничений вP элементов G.3.2. Отображения векторных полейПусть F : M → N — гладкое отображение, X — гладкое векторное поле на M . Длялюбой точки P ∈ M касательный вектор XP ∈ TP M касательным отображением dFPпреобразуется в касательный вектор dFP (XP ) ∈ TF (P ) N в точке F (P ) многообразия N .Естественно было бы рассматривать соответствие F (P ) → dFP (XP ) как векторное полена многообразии N .
Однако это не всегда возможно по двум причинам. Во–первых,возможна ситуация, когда две разные точки P1 и P2 при отображении F переходят в однуточку Q ∈ N , но при этом касательные векторы XP1 и XP2 отображением dF переводятся153. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯв разные касательные векторы к многообразию N в точке Q. В этой ситуации точкеQ соответствует не один касательный вектор, а несколько. Во–вторых, отображение Fможет не быть сюръективным и тогда соответствие F (P ) → dFP (XP ) не будет определенона всем многообразии N .Если для данного отображения F : M → N и данного векторного поля X ∈ D(M )две указанные трудности не возникают, т.е.
отображение F сюръективно и из равенстваF (P ) = F (P1 ) следует равенство dFP (XP ) = dFP1 (XP1 ), то на многообразии N получаемтакое векторное поле Y, что YQ = dFP (XP ) при P ∈ F −1 (Q). В этом случае будем говорить,что F отображает векторное поле X в векторное поле Y и обозначать Y через dF (X).Теорема 3.2. Если сюръективное гладкое отображение F : M → N отображает векторное поле X в векторное поле dF (X), то гомоморфизм F ∗ : C ∞ (N ) → C ∞ (M ) и дифференцирования вдоль векторных полей X, dF (X) связаны соотношениемF ∗ ◦ dF (X) = X ◦ F ∗ .Док–во. Пусть f — произвольная гладкая функция на многообразии N .
Тогда дляпроизвольной точки P ∈ M , используя формулы Y (f )(Q) = YQ (f ) и dF (X)F (P ) = dFP (XP ),следующие из определений, и теорему 2.6, получаемF ∗ ◦ dF (X) (f )(P ) = F ∗ dF (X)(f ) (P ) = dF (X)(f ) F (P ) = dF (X)F (P ) (f ) == dFP (XP )(f ) = XP (f ◦ F ) = (X ◦ F ∗ )(f )(P ).Отсюда следует, что функции F ∗ ◦dF (X) (f ) и (X ◦F ∗ )(f ) совпадают. Следовательно, намножестве всех гладких функций на многообразии N совпадают отображения F ∗ ◦ dF (X)и X ◦ F ∗. .Соотношение из теоремы 3.2 означает коммутативность диаграммыF∗C ∞ (M ) ←−−− C ∞ (N )dF (X)yXy .C ∞ (M ) ←−−− C ∞ (N )F∗В частном случае, когда отображение F является диффеоморфизмом, из теоремы 3.2следуетТеорема 3.3. Пусть F : M → N — диффеоморфизм.
Тогда для любого гладкого векторного поля X на многообразии M корректно определено гладкое векторное поле dF (X)на N , причем это векторное поле как дифференцирование на многообразии N может бытьпредставлено в видеdF (X) = (F −1 )∗ ◦ X ◦ F ∗ .3.3. Фазовый поток векторного поляПонятию векторного поля на многообразии можно придать физическую интерпретацию, представляя его как поле скоростей частиц потока жидкости. Предположим, чтожидкость заполняет все многообразие, в каждой точке P многообразия в каждый моментвремени находится частица, которая движется со скоростью ~v (P ). В разные моменты времени в точке P могут находиться разные частицы, но скорость их движения будет одна163.
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯрис.3.1и та же, т.е. скорость движения частиц определяется положением на многобразии и независит от времени (такое движение называют стационарным). Эта гидродинамическаяинтерпретация векторного поля приводит к новым геометрическим понятиям. Например, каждая частица жидкости, двигаясь по многообразию, проходит некоторую траекторию, которую можно рассматривать как параметризованную кривую (параметром кривойпри этом является время). Множество таких траекторий характеризует векторное полескоростей текущей жидкости. В геометрии многообразий под траекторией следует понимать некоторую гладкую параметризованную кривую, а под полем скоростей потокажидкости — произвольное гладкое векторное поле.Гладкую параметризованную кривую γ на многообразии M называют интегральнойкривой векторного поля X, если касательный вектор к этой кривой в каждой ее точке Pсовпадает с XP (рис.
3.1). Это определение соответствует гидродинамической интерпретации векторного поля. Если параметр t кривой γ интерпретировать как время, а точкикривой — как положение частицы жидкости в соответствующие моменты времени, токасательный вектор к кривой будет выражать мгновенную скорость частицы жидкости.Рис. 3.1Рассмотрим на многообразии M гладкое векторное поле X. Пусть в локальной системекоординат x1 , . . . , xn это векторное поле имеет видX=nXi=1ai (x1 , . .
. , xn )∂.∂xiЕсли γ — интегральная кривая векторного поля X, имеющая координатные функцииx1 (t), . . . , xn (t), то касательный вектор к этой кривой в точке, соответствующей значениюt параметра, имеет координаты ẋ1 (t), . . . , ẋn (t) (здесь и далее точка обозначает производную по времени). Поскольку, согласно определению интегральной кривой, касательныйвектор к этой кривой совпадает со значением векторного поля, тоẋ1 (t) = a1 (x1 (t), . .
. , xn (t)),. . . . . . . . . . . . . .ẋ (t) = a (x (t), . . . , x (t)).nn 1nМы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (систему ОДУ), котторую можно записать кратко в виде ẋ = A(x), где x = (x1 . . . xn ) , A(x) — векторнаяфункция многих переменных вида A: Rn → Rn , координатными функциями которой являются координатные функции ai (x1 , .
. . , xn ) векторного поля X.Итак, координатное представление x(t) любой интегральной кривой векторного поляX является решением системы ОДУ ẋ = A(x). Очевидно, что верно и обратное: любое решение этой системы ОДУ представляет собой интегральную кривую векторного поля X.Открывшаяся связь теории многообразий с теорией дифференциальных уравнений оказывается очень глубокой и весьма плодотворной. В данном случае эта связь позволяет дляисследования векторных полей привлечь методы теории дифференциальных уравнений.3. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ17Отметим, что полученная нами система является нормальной автономной системой ОДУ,причем правые части уравнений системы являются гладкими функциями.Задача определения интегральной кривой, проходящей через данную точку x0 == (x01 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
