DGMTU_FN12 (1172054), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Две гладкие параметризованные кривые γ1 и γ2 на многообразии M ,проходящие через точку P , соприкасаются в этой точке тогда и только тогда, когда касательные векторы к кривым γ1 и γ2 в точке P совпадают.Док–во см. в [3, §11.4, теорема 11.7]. .Множество всех гладких параметризованных кривых на многообразии M , проходящихчерез точку P , распадается на не пересекающиеся классы попарно соприкасающихся кривых. Параметризованные кривые из одного класса имеют один и тот же касательныйвектор, в то время как параметризованные кривые разных классов не являются соприкасающимися и имеют разные касательные векторы.
Касательные векторы к многообразиюв точке P оказались во взаимно однозначном соответствии с классами соприкасающихсякривых. Поэтому их можно отождествить. Итак, касательные векторы к многообразиюM в точке P и классы параметризованных кривых, соприкасающихся в точке P , — одно и то же. Интерпретация касательного вектора как класса соприкасающихся кривыхсоставляет суть геометрического подхода к определению касательного вектора.Пусть в системе координат x1 , .
. . , xn на многообразии M касательный вектор ξ~ вточке P = (x01 , . . . , x0n ) имеет координаты a1 , . . . , an . Гладкую функцию f ∈ C ∞ (M ) вэтой системе координат можно записать как функцию многих переменных: f (x1 , . . . , xn ).ЧислоnX∂f 0~(x1 , . . . , x0n ).(2.3)ξ(f ) =ai∂xii=1не зависит от выбора системы координат.Задача 2.1 Докажите это двумя способами:1) используя правило дифференцирования сложной функции, т.е.
используя координатный подход;2) используя геометрический подход к понятию касательного вектора. А именно, докажите, что если ξ~ — касательный вектор к параметризованной кривой γ(t) в точке~ ) = (f ◦ γ)0 (t0 ).P = γ(t0 ), то ξ(f102. КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ~ ) называют производной функции f вдоль вектора ξ.~ Операцию вычисленияЧисло ξ(f~этой производной называют дифференцированием функции f вдоль вектора ξ.Далее касательные векторы будем записывать в видеξ~ =nXi=1∂ ai,∂xi P(2.4)отождествляя вектор с дифференцированием вдоль него.Задача 2.2 Докажите следующие свойствамногообразии M вдоль касательного вектора~~ ) + µξ(g),~1) ξ(λf+ µg) = λξ(fλ, µ ∈ R,операции дифференцирования функций наξ~ в точке P :f, g ∈ C ∞ (M );~ g) = f (P )ξ(g)~ + ξ(f~ )g(P ), f, g ∈ C ∞ (M ).2) ξ(f~ C ∞ (M ) → R, обладающую свойствами из задачи 2.2, называют диффеОперацию ξ:ренцированием функций в точке P .Отождествление касательного вектора с дифференцированием вдоль него реализуеталгебраический подход к понятию касательного вектора.
Для вычисления координат касательного вектора, заданного дифференцированием функций в точке, достаточно продифференцировать координатные функции соответсвующей карты.2.3. Касательное пространствоМножество всех касательных векторов к n-мерному многообразию M в точке P обозначают TP M .~ ~η ∈ TP M , λ ∈ R.Теорема 2.5. Пусть ξ,~ η , удовлетворяющий1) В TP M существует единственный вектор, который обозначается ξ+~условию~ ) + ~η (f ), f ∈ C ∞ (M ),(ξ~ + ~η )(f ) = ξ(f~ удовлетворяющий2) В TP M существует единственный вектор, который обозначается λξ,условию~ ) = λ ξ(f~ ), f ∈ C ∞ (M ).(λξ)(f3) Относительно введенных операций TP M является n-мерным линейным пространством.Док–во см. в [3, §11.5].
.Линейное пространство TP M называют касательным пространством к многообразиюM в точке P .Задача 2.3 Пусть x1 , . . . , xn — система координат в окрестности точки P на многообразии M . Покажите, что векторы∂ ∂ ,...,∂x1 P∂xn Pобразуют базис касательного пространства TP M . Как в этом базисе выражаются коорди~ ~η и число λ?наты векторов ξ~ + ~η и λξ~ через координаты векторов ξ,112.
КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕТеорема 2.6. Пусть F : M → N — гладкое отображение многообразия M в многообразие N . Для любого вектора ξ~ ∈ TP M существует единственный вектор ~η из TF (P ) Nтакой, что~ ◦ F)~η (f ) = ξ(f∀f ∈ C ∞ (N ).Док–во. Пусть касательный вектор ξ~ ∈ TP M является касательным вектором к гладкой параметризованной кривой γ в точке P = γ(t0 ). Тогда~ ◦ F ) = (f ◦ F ) ◦ γ 0 (t0 ) = f ◦ (F ◦ γ) 0 (t0 )ξ(f(см. задачу 2.1), т.е. касательный вектор ~η является касательным вектором к параметризованной кривой F ◦ γ в точке F (P ). .~Вектор ~η обозначают через dFP ξ~ (или F∗ (ξ)).Отображение dFP : TP M → TF (P ) N называется дифференциалом гладкого отображения F (или касательным отображением)в точке P .Задача 2.4 Докажите, что дифференциал гладкого отображени в точке является линейным оператором.
Найдите матрицу этого оператора в заданных системах координат наM и N.Понимая касательный вектор как линейную функцию на R-алгебре гладких функций,можем утверждение теоремы 2.6 переписать в видеdFP ξ~ = ξ~ ◦ F ∗ ,(2.5)где F ∗ — индуцированное отображение, порожденное гладким отображением F . Формула (2.5) означает следующее. Чтобы найти производную функции f ∈ C ∞ (N ) вдоль образаdFP ξ~ касательного вектора ξ~ ∈ TP M при отображении dFP — дифференциале гладкогоотображения F : M → N — достаточно продифференцировать вдоль касательного вектора ξ~ образ функции f при индуцированном отображении F ∗ , переводящем функцию f вгладкую функцию на многообразии M .Рассмотрим множество T M всех касательных векторов к многообразию M во всех его~ где P — точка многообразия M , а ξ~ —точках.
Элемент T M понимают как пару (P, ξ),касательный вектор к многообразию M в точке P. Определено естественное отображе~ отображает в точку P. Отображение τ называютние τ : T M → M, которое пару (P, ξ)касательным расслоением многообразия M.Множество T M для n-мерного многообразия M рассматривают как гладкое многообразие размерности 2n, вводя системы координат на T M следующим образом. Пусть вокрестности U ⊂ M задана система координат.
Рассмотрим объединение T U = ∪P ∈U TP Mкасательных пространств по всем точкам из U . Объединив координаты x1 , . . . , xn точки P ∈ U и координаты a1 , . . . , an касательного вектора ξ~ в этой точке, вычисленные врассматриваемой системе координат на U , получим систему координат на T U . В этихкоординатах касательное расслоение имеет вид:τ (x1 , . . . , xn , a1 , . .
. , an ) = (x1 , . . . , xn ).Пусть F : M → N — гладкое отображение n-мерного многообразия M в m-мерноемногообразие N . Тогда в каждой точке P ∈ M определено отображение dFP : TP M →122. КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕTQ N , Q = F (P ). Следовательно, мы имеем отображение dF : T M → T N касательногорасслоения T M в касательное расслоение T N . При этом коммутативна диаграммаdFT M −−−→τMyTNτN,yFM −−−→ Nгде τM и τN — касательные расслоения многообразий M и N соответственно.Задача 2.5 Докажите, что отображение dF является гладким отображением многообразий T M и T N .
Найдите координатное представление для этого отображения.3. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ3.1. ОпределениеГладкие функции на многообразии мы научились дифференцировать вдоль касательных векторов. Чтобы дифференцировать функции во всех точках многообразия, мы должны в каждой точке многообразия задать касательный вектор. Так мы приходим к понятиювекторного поля на многообразии.Векторное поле X на многообразии M есть отображение, которое каждой точке Pмногообразия ставит в соответствие касательный вектор XP с точкой приложения P .Таким образом, векторное поле X на многообразии M есть отображение X: M → T M .Условие, что точке P соответствует касательный вектор из TP M , можно записать с помощью касательного расслоения τ : T M → M в виде τ ◦ X = idM , где idM — тождественноеотображение многообразия M .Из координатного представления (2.4) касательных векторов получаем следующее координатное представление векторного поля:X=nXai (x1 , .
. . , xn )i=1∂,∂xi(3.1)где ai (x1 , . . . , xn ), i = 1, n, — функции на многообразии M , значение которых в точкеP равны координатам касательного вектора XP в данной системе координат. Функцииa1 , . . . , an называют координатными функциями векторного поля X в данной системекоординат.Координатные функции векторного поля зависят от выбора системы координат. Ноесли они гладкие в одной системе координат, то они будут гладкими в любой другойсистеме координат. Гладким называют векторное поле, координатные функции которогогладкие хотя бы в одной системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
