DGMTU_FN12 (1172054), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пустьω ∈ Hj . Тогда ω ∈ Hj−1 ⊂ H1 и Dω ∈ Hj−1 по определению Hj . Из предположенияTиндукции 1–формы ω и Dω лежат в Dj−1. Это означает, что Xcω ≡ 0 и XcDω ≡ 0для любого векторного поля X из Dj−1 . Из последнего тождества, используя известнуюформулу дифференциальной геометрии:XcDω = [X, D]cω + D(Xcω),(9.5)9. КОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ УПРАВЛЕНИЯ46получаем [X, D]cω ≡ 0.
Отсюда ω ∈ DjT , так как модуль Dj порождается полями видаX ∈ Dj−1 и adD X = −[X, D]. Таким образом доказано, что Hj ⊆ DjT .Пусть ω ∈ DjT . Отметим, что если X ∈ Dj−1 , то [X, D] ∈ Dj . Поэтому∀X ∈ Dj−1Xcω ≡ 0,[X, D]cω ≡ 0.(9.6)T. По предположениюОтсюда и из формулы (9.5) следует, что XcDω ≡ 0, т.е. Dω ∈ Dj−1Tиндукции Dj−1 = Hj−1 . Поэтому Dω ∈ Hj−1 .
Из первого тождества в (9.6) следует, чтоTω ∈ Dj−1= Hj−1 . Таким образом, ω ∈ Hj , а значит, доказано второе включение DjT ⊆ Hj ..9.3. Функциональная независимостьПусть U — открытое подмножество многообразия M , H — подмодуль модуля дифференциальных 1–форм на M . Набор 1–форм ω1 , . . . , ωk называется базисом модуля H в U ,если в каждой точке x ∈ U ковекторы ω1,x , .
. . , ωk,x образуют базис линейного пространства{ωx ∈ Tx∗ M | ω ∈ H}.Лемма о дополнении. Если в окрестности точки θ ∈ M многообразия M модульE = spanC ∞ (M ) {dz1 , . . . , dzα } имеет постоянную размерность, ω1 , . . . , ωs ∈ E, а ковекторыω1,θ , . . . , ωs,θ линейно независимы, то существуют такие индексы l1 , . . . , lp (1 ≤ li ≤ α), чтов некоторой окрестности точки θ ∈ M набор (ω1 , . . . , ωs , dzl1 , . . . , dzlp ) есть базис модуля E.Доказательство.
Рассмотрим какую–либо систему координат x1 , . . . , xn на M вокрестности точки θ и матрицу коэффициентов разложения ковекторов ω1,θ , . . . , ωs,θ , dz1,θ ,. . . , dzα,θ по базису dx1,θ , . . . , dxn,θ кокасательного пространства Tθ∗ (M ). При этом расположим коэффициенты, соответствующие одному ковектору, в строку, а соответствующиеодному базисному элементы — в столбец.
Поскольку ковекторы ω1,θ , . . . , ωs,θ линейно независимы, то линейно независимы и строки, соответствующие этим ковекторам. Последовательно перебирая остальные строки, дополняем их до максимального набора линейнонезависимых строк этой матрицы. Получим набор 1–форм ω1 , . .
. , ωs , dzl1 , . . . , dzlp . Этотнабор линейно независим в точке θ, а значит, и в некоторой ее окрестности. Так как модуль E имеет постоянную размерность, а в точке θ указанные 1–формы образуют базис,то они образуют базис и в каждой точке некоторой окрестности θ, т.е. образуют базисмодуля E.Лемма о функциональной зависимости.
Пусть g, z1 , . . . , zs — гладкие функции намногообразии M , θ ∈ M ,(1) dg ∈ spanC ∞ (M ) (dz1 , . . . , dzs );(2) ковекторы dz1,θ , . . . , dzs,θ линейно независимы.Тогда существует такая функция Φ s переменных, что g = Φ(z1 , . . . , zs ) в окрестноститочки θ.Доказательство. В окрестности точки θ рассмотрим какую–либо систему координат x1 , . .
. , xn на M . Условия леммы о дополнении выполняются для модуля E =spanC ∞ (M ) {dz1 , . . ., dzs , dx1 , . . . , dxn } в точке θ. По этой лемме в некоторой окрестноститочки θ существует базис модуля E вида dz1 , . . . , dzs , dxl1 , . . . , dxlk . Но модуль E естьмодуль всех дифференциальных 1–форм на M . Поэтому s + k = n есть размерность многообразия M , а z1 , . .
. , zs , xl1 , . . . , xlk — еще одна система координат на M . В этой системекоординат рассмотрим представление функции g: g = Φ(z1 , . . . , zs , xl1 , . . . , xlk ). Из известной формулы для дифференциала имеем dg = Φ0z1 dz1 +. . . +Φ0zs dzs +Φ0xl dxl1 +. . . +Φ0xl dxlk .1kС другой стороны, по условию леммы выполняется соотношение (1). Из инвариантности9. КОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ УПРАВЛЕНИЯ47первого дифференциала следует, что это соотношение выполняется в любой системе координат. Поэтому Φ0xl ≡ 0, . . . , Φ0xl ≡ 0, а значит, Φ есть функция только от z1 , . . .
, zs .1kЛемма о функциональной зависимости доказана.Гладкие функции h1 , . . . , hk многообразия M функционально зависимы, если существует такая функции Φ k переменных, что∀x ∈ M Φ h1 (x), . . . , hk (x) = 0, dΦ h1 (x), . . . , hk (x) 6= 0.Набор функций многообразия называется функционально независимым, если он не является функционально зависимым.10.
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКОЙОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ10.1. Условия приводимости систем суправлением к каноническому видуна языке дифференциальных формДля системы (9.1) обозначимH∞ = {ω ∈ H1 : Di ω ∈ H1 , i ≥ 1}.Рассмотрим регулярную систему канонического вида в фазовых переменных:(ni )yi(n1 −1)где ỹ = (y1 , ẏ1 , .
. . , y1= gi (t, ỹ, u),(n −1), y2 , . . . , y m mi = 1, . . . , m,(10.1)).Теорема 10.1.1. Система (9.1) приводится к каноническому виду в некоторойокрестности Б–регулярной точки тогда и только тогда, когда в окрестности этой точкиdHk ⊂ Λ1 (E) ∧ Hk для k > 1, а H∞ = spanC ∞ (E) {dt}.2. Порядки n1 , . . .
, nm уравнений системы (10.1) таковы, что разности dim Hk−1 − dim Hkравны количеству тех номеров i, для которых ni ≥ k.Следующий алгоритм позволяет построить замену переменных, преобразующую заданную систему (9.1) к виду (10.1), если это возможно.1. Для системы (9.1) последовательно для каждого k > 1:а) находим образующие модуля Hk ;б) проверяем условие Фробениуса dHk ⊂ Λ1 (E) ∧ Hk . Если оно не выполняется, тосистема (9.1) не приводится к каноническому виду;в) находим базис из точных 1–форм модуля Hk ;г) проверяем условие Hk = Hk−1 .
Если оно выполняется, то полагаем H∞ = Hk ипереходим на шаг 2.2. Находим множество Б–регулярных точек и проверяем условие H∞ = spanC ∞ (E) {dt}.Если оно не выполняется, то система (9.1) не приводится к каноническому виду.3. Дополняем форму dt точными 1–формами dh1 , . . . , dhm1 (m1 ≤ m) до базиса модуляHj ∗ −1 , используя лемму о дополнении.4. По построению модуля Hj ∗ −1 1–формыdt, dh1 , .
. . , dhm1 , D(dh1 ) = dD(h1 ), . . . , D(dhm1 ) = dD(hm1 )(10.2)C ∞ (E)–линейно независимы и лежат в Hj ∗ −2 . Дополним их точными 1–формами dhm1 +1 ,. . ., dhm2 (m1 ≤ m2 ≤ m) до базиса модуля Hj ∗ −2 , используя лемму о дополнении. Повторяя эту процедуру (шаг 4) последовательно для модулей Hj ∗ −3 , . .
. , H1 , находим 1–формыdh1 , . . . , dhm (имеем mj ∗ −1 = m).484910. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ5. Замена переменных, преобразующая систему (9.1) к виду (10.1), определяется соотношениями(l)lt = t, yi = D hi (t, x) , l = 0, . . . , j ∗ − 2, i = 1, . . . , mj ∗ −l−1 .(10.3)Теорема 10.2.При выполнении условий из п. 1 теоремы 10.1 алгоритм, приведенный выше, позволяет построить замену переменных, преобразующую систему (9.1) квиду (10.1).Доказательство теоремы 10.1. Пусть в окрестности Б–регулярной точки cистема (9.1) приводится к каноническому виду. Модули Hk , k ≥ 1, инвариантны относительно(0)(0)(1)замен координат области E, при которых не меняются координаты t, u1 , . .
. , um , u1 , . . .,∗(1)(2)(k )um , u1 , . . . , um , а меняются только координаты x1 , . . . , xn . Поэтому для доказательстванеобходимости условия из п.1 и для доказательства п.2 теоремы 10.1 достаточно проверитьусловия этой теоремы для системы (10.1).Задача 10.11) Проверьте условия теоремы 10.1 для системы (10.1) в случае m = 2, n1 = 4, n2 = 2.2) Для общего случая покажите, что j ∗ = max{n1 , . . . , nm } + 1.3) Докажите, что для любого k ≥ 1 в качестве базиса модуля Hk системы (10.1) можно(l)взять набор dt и таких форм dyi , что индекс i принимает только те значения от 1 до m,что ni ≥ k, а l = 0, 1, .
. . , ni − k.Доказательство достаточности условия из п.1 теоремы 10.1 и доказательство теоремы 10.2. Пусть в окрестности Б–регулярной точки θ ∈ E cистемы (9.1)имеем dHk ⊂ Λ1 (E) ∧ Hk для k = 2, . . . , j ∗ − 1 и Hj ∗ = spanC ∞ (E) {dt}. Из теоремы Фробениуса (второй вариант) следует, что интегрируемы распределения, порожденные модулямиHk , k = 2, . . . , j ∗ − 1. Следовательно, модули Hk имеют базисы из точных 1–форм (первые интегралы распределения).
Для доказательства того, что cистема (9.1) приводитсяк каноническому виду, и для поиска соответствующей замены переменных применим алгоритм, приведенный выше. Линейная независимость 1–форм (10.2) над кольцом C ∞ (E)следует из определения модулей Hk .Задача 10.2 Проверьте линейную независимость 1–форм (10.2) над кольцом C ∞ (E).Применяя лемму о дополнении и алгоритм, строим базисdt, dh1 , D(dh1 ), . . .
, Dj∗ −1(dh1 ), dh2 , . . . , dhmj∗ −1(10.4)модуля H1 . Так как dt, dx1 , . . . , dxn — другой базис этого модуля, то из леммы о функциональной зависимости следует, что переменные x1 , . . . , xn выражаются черезt, h1 , D(h1 ), . . . , Dj∗ −1(h1 ), h2 , . . . , hmj∗ −1 ,(10.5)а функции (10.5) зависят только от t, x1 , . . . , xn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
