Часть 2 (1161665), страница 9
Текст из файла (страница 9)
5.3. Численные исследования Мы уже упоминали о том, что основным объектом численных исследований однородной турбулентности являются двумерные течения. Справедливо и обратное утверждение: основные результаты по двумерной турбулентности получены численными методами. Мы кратко остановимся на методах решения уравнений и перечислим основные результаты. В следующем параграфе мы отдельно обсудим результаты применения к двумерной турбулентности модели, описанной в параграфе 4.5.3.
При численных решениях уравнения движения рассматриваются, как правило, в переменных функция тока - завихренность (вывод этих уравнений можно найти, например, в параграфе 1.5 части 1) (5.21) (5.22) где 1~ - функция тока, а-завихренность. Уравнения дополнены двумя членами: у'- это функция, описывающая силы, возбуждающие течение, о— функция, описывающая дополнительную диссипацию энергии. Введение внешних сил необходимо для получения стационарной турбулентности.
Дополнительная диссипативная функция также неизбежна для получения стационарной картины, так как в двумерной турбулентности происходит накопление энергии на крупных масштабах, и требуется обеспечить ее отвод именно из больших масштабов. Решение проводится практически всегда для квадратной области с периодическими граничными условиями. В качестве методов решения в ранних работах использовали либо сеточные, либо спектральные методы, но после появления алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) практически во всех вычислениях используют спектрально-сеточный метод Орсзага.
Суть метода состоит в следующем: 1) на каждом шаге по времени сначала решается уравнение (5.21) методом сеток и получают поле завихренности, 2) используя БПФ, получают фурье-разложение поля завихренности, 3) в пространстве Фурье решают уравнение (5.22) (мы уже говорили о том, что решение уравнения Пуассона в пространстве Фурье тривиально, так как сводится к делению амплитуды каждой гармоники на квадрат волнового числа), 4) вновь используют БПФ для получения поля функции тока в физическом пространстве. Метод использует лучшие свойства и сеточных, и спектральных методов и дает значительный выигрыш в скорости вычислений. Все численные эксперименты можно разделить на две группы. Первая гру~ша - это эксперименты по свободному вырождению турбулентности, вторая — по стационарно возбуждаемой турбулентности.
Свободное вырождение подразумевает отсутствие внешних сил. В этом случае в (5.20) Г = В = О и решение зависит только от начальных условий. С точки зрения динамики инерционных интервалов (5.14) и (5.15) более интересны эксперименты по моделированию стационарной турбулентности. Для получения стационарных режимов необходимо обеспечить подвод энергии.
В двумерной турбулентности интересны динамические процессы по обе стороны от масштабов возбуждения, поэтому сила ~ записывается в пространстве Фурье таким образом, что она поддерживает на заданном уровне энергию гармоник с заданным модулем волнового числа 1/с 1= /с,. Особого разговора заслуживает диссипативный член о. Во-первых, он должен обеспечить отвод энергии из течения на больших масштабах (малых волновых числах).
Во-вторых, для получения более выраженного инерционного интервала переноса энстрофии часто модифицируют и характер трения в малых масштабах (больших волновых числах). При написании обычного диссипативного слагаемого в фурье-представлении полу- 55 чаем член вида /э® -ч/г'. В численных экспериментах искусственным обра- зом повышают степень волнового числа и записывают диссипацию в виде (5.23) /Э(а) = — !г/г " — чй'" ' ВаЬгапо А., Гг!сЬ Р., 1Эпьгп11е В.
Яса!!па ргорегпеа о/ пгппенса! гп о-г!1гпепа!опа! гпгьп1епсе // РЬуа!са1 Ке- тпеп Е, 1995. Чо1.52. !~.4. Р.3719-3729. с типичным значением показателей степени и = и =8. Диссипативный член вида (5.23) приводит к тому, что действие диссипации концентрируется в узких интервалах вблизи граничных значений рассматриваемых волновых чисел. Численные решения уравнений (5.21)-(5.22) для больших чисел Рейнольдса принесли много неожиданных результатов. Большой неожиданностью стал очень крутой спектр в инерционном интервале переноса энстрофии. Вместо закона (5.15) с наклоном «-3» численные эксперименты дали значения от -3.5 до -5. Напомним, что в трехмерной турбулентности перемежаемость дает поправки к закону «-5/3» порядка нескольких сотых, а в двумерной расхождение составило единицы! Рассмотрим три численных эксперимента, которые будем называть А, В и С, взятые из работы '.
Эксперимент А моделирует прямой каскад энстрофии.Используется сетка 1024х1024, случайная сила действует на волновых числах /г, =1О, диссипативный член используется в форме (5.23). Эксперимент В моделирует обратный каскад энергии. Сетка также 1024х1024, но сила действует на малых масштабах (/с, = 256). В третьем численном эксперименте (С) делается попытка одновременно получить оба инерционных интервала. Использована сетка 1728х1728 и возбуждение на промежуточных масштабах (/г, = 40). На рисунках 5.6-5.8 показаны спектры энергии для всех трех случаев.
Е1ф) Рис.5.6 Рис.5.7 Рис.5.7 Рис.5.8 Рис.5.10 На рис.5.9 показан график зависимости потока энстрофии по спектру, полученный в эксперименте А. Видно, что в крупных масштабах (малых й) поток энстрофии практически отсутствует, а в малых масштабах выделяется интервал с постоянным значением величины, переносимой по 57 Рис.5.12 Рис.5.11 спектру энстрофии.
На следующем рисунке (рис.5.10) показан спектральный поток энергии, соответствующий численному эксперименту В. В этом случае виден участок с постоянным отрицательным потоком, являющимся признаком инерционного интервала переноса энергии к крупным масштабам (обратный каскад). Именно наличие интервалов с постоянным потоком и является определяющим признаком наличия инерционного интервала (соответствующая квадратичная величина переносится от масштаба к масштабу без диссипации). На рис.5.11 показан пример поля завихренности, полученный при моделировании инерционного интервала переноса энстрофии (этот и два последующих рисунка взяты из работы ).
На рисунке показаны линии равной завихренности. Темные пятна указывают на области с высокой завихренностью, характеризуемые большой плотностью изолиний. Эти области имеют близкие размеры и получили название «когерентных структур», хотя это название нельзя признать удачным. Правильнее говорить об изолированных вихрях, которые, как будет видно из дальнейшего изложения, слабо взаимодействуют с окружающим их турбулентным потоком. Именно эти изолированные вихри и являются причиной возникновения столь крутых спектров. В цитируемой работе был проведен интересный эксперимент. Изолированные вихри разрушались искусственно таким образом, что при этом не изменялось распределение энергии по спектру (это делается путем внесения случайных сдвигов фаз в фурье- компоненты). В результате спектральное распределение энергии возвращалось к виду (5.15). ' ВаЬ!апо А., ВаЫе~ап! С., Ьедсаа В., Яас1ош пу К. Чосислу апд рааа1че-аса!ас дупаппси па !по-йтепяопа! 1псьп1епсе Л 3.
Р1пп1 МесЬап1се. 1987. Чо!.183. Р.379-397. 58 Мы уже говорили о том, что уравнение для завихренности (5.11) совпадает по виду с уравнением для переноса пассивной скалярной примеси. В качестве пассивной примеси может выступать, например, температура, уравнение для которой имеет вид Ю,т+ ~~,т~,= т,5т, (5.24) где т - темпе ратуропроводность жидкости. В инерционном интервале пере- носа энстрофии, где спектральная плотность энергии следует закону (5.15), спектр энстрофии согласно соотношению (5.8) подчиняется закону й(/с) - /с (5.25) Соображения размерности очевидным образом приводят к такой же форме зависимости и для спектральной плотности пульсаций температуры.
Однако, аналогия между уравнениями (5.11) и (5.24) не работает. На рис.5.12 показано поле концентраций пассивной примеси (температуры), полученной в том же численном эксперименте, что и поле завихренности, показанное на предыдущем рисунке. Существенное отличие состоит в том, что в поле пассивной примеси нет столь выраженных изолированных структур. След от каждого изолированного вихря можно ясно увидеть и в поле пассивной примеси, и это кажется естественным, но при этом не наблюдается интенсивный рост концентрации к центру вихря, как это имеет место в случае завихренности. На рис.5.13 показаны спектры пульсаций завихренности и концентрации пассивной примеси, соответствующие показанным полям. Можно видеть, что спектр пассивной примеси соответствует закону (5.25), в то время как спектр завихренности (энстрофии) после сравнительно короткого участка, близкого к наклону «-1», дает крутой спад с законом, близким к «-3» (это закон «-5» для спектра энергии).
Различие в спектральном поведении завихренности и пассивной примеси обусловлено тем, что при всем сходстве уравнений (5.11) и (5.24) между ними существует принципиальное отличие. Состоит оно в том, что в уравнении (5.24) .4'"""" 1 - функция тока (поле скорости) действительно не зависит от поля температуры (примесь пассивна), а в уравнении (5.11) 1 .. , 'функция тока и завихренность однозначоз 1 '-.. , 'но связаны уравнением (5.12). Спектр энергии, полученный в эксперименте С (см. рис.5.8) показывает общую структуру спектра двумерной турбу- Р .5.13 лентности при наличии широкого интерРис.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
