Часть 2 (1161665), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

(Ь„„+ Ь„,,) + ЪЛЬ„. В уравнение (4.44) необходимо подставить выражения для тензоров Ь„„(4.43) и Ь,„(4.34). При вычислении производной по времени от последнего появляется производная по времени от среднего квадрата скорости, которая есть скорость диссипации энергии <1~> 3 3 2 Опуская достаточно длинные вычисления, приведем окончательное урав- нение — — ы — — д,В„= „(!'В„,) — — „(У'В,',) . (4.45) Рассматривая стационарную или, по крайней мере, квазистационарную турбулентность, когда член д,В„все равно много меньше скорости диссипации, можно отбросить слагаемое с производной по времени. Интегрирование (4.45) по 1 дает уравнение Колмогорова 4 В„, = — — й+бчВ,', (4.46) Константа интегрирования принята равной нулю в силу требования обращения в нуль корреляций при ~ -+ ~ . Уравнение (4.46), как и уравнение (4.45), включает две независимые корреляционные функции и не является достаточным для их нахождения.

Попытка написать дополнительное уравнение для корреляционного тензора третьего порядка приведет к уравнению, содержащему тензор четвертого порядка и т.д. Таким образом, снова возникает проблема замыкания, с которой мы уже сталкивались при рассмотрении уравнений для одноточечных моментов турбулентных полей. Уравнение (4.46) справедливо для всех 1 « ~, то есть и для инерционного, и для диссипативного интервалов. В инерционном интервале послед- Следующий шаг состоит в замене производных по координатам точек 1 и 2 на производные по компонентам вектора ~ .

Это оправдывается тем, что все корреляционные характеристики в однородном потоке зависят только от этого вектора. При этом д„. =-д„, а д,„=д„. Получаем гг ним слагаемым, пропорциональным вязкости, можно пренебречь и полу- чить замкнутое уравнение для корреляционной функции третьего порядка (4.47) Уравнение (4.47), которое часто называют «законом 4/5», остается одним из важнейших результатов, полученных для мелкомасштабной турбулентности. Следует еще раз подчеркнуть, что закон (4 47) представляет собой точный результат, полученный для инерционного интервала только на основе уравнений Навье - Стокса.

Таким образом, среди оценок (4.22) есть одна, справедливость которой является доказанной, а именно, Для всех остальных структурных функций формула (422) является лишь оценкой, на слабость которой впервые указал Л.Ландау уже в 1942 году. Суть знаменитого замечания Ландау состоит в том, что в правой части формулы стоит скорость диссипации энергии в, которая в действительности не является постоянной, а также представляет собой случайную величину, характеризуемую собственной функцией распределения. В выражение для структурной функции третьего порядка входит собственно среднее значение скорости диссипации и проблемы среднего значения не возникает.

Во всех остальных случаях в оценки входят различные степени случайной величины и, естественно, среднее значение от величины в некоторой степени не есть эта же степень от среднего. 4.4. Логнормальная модель (К62) Экспериментальные исследования статистических свойств мелкомасштабной турбулентности ведутся, начиная с пятидесятых годов. На первых порах основной интерес представляло экспериментальное подтверждение закона «пяти третей» (4.23) и определение входящей в него константы. В многочисленных экспериментах было подтверждено существование инерционного интервала с распределением энергии пульсаций скорости, близким к закону «5/3». Измерения входящей в закон константы дали значения С =1.5, но интерес к точному измерению этой величины упал после того, 23 как стало ясно, что закон (4,23) описывает реальную ситуацию только приблизительно. Наиболее точные измерения энергетического спектра однородной турбулентности показывают, что он подчиняется степенному закону вцда (4.48) с показателем степени а =1.71+0.02.

Отличие от пяти третей, на первый взгляд, не велико,но оно принципиально. Более полную картину можно получить, исследуя поведение структурных функций высоких порядков. На практике измеряют значения скорости в двух точках, вычисляют структурные функции (4.19) и, ожидая с уществования степе нных з акопов вида (4.49) строят структурные функции в двойном логарифмическом масштабе. При выполнении (4.49) должна получиться картинка, изображенная на рис.4.5,а - в инерционном интервале возникают линейные участки, наклон которых дает величину степенных показателей ~,. Качественно вид получающегося графика для показателей степени представлен на рисунке 4.5,б. Пунктирная линия соответствует зависимости (4.20) и помечена надписью «К41». На этой линии выделены две точки, для которых оценка (4.22) является точной.

Это начало координат (~, = О) и точка ~, =1, соответствующая закону «четырех пятых» (4.47). Экспериментальная кривая действительно пересекает эти две точки, удаляясь ~/~~ „~ ф от прямой ~„= //3 по мере роста порядка д. Подчеркнем, что измерение структурных функций высоких порядков является чрезвычайно сложной задачей и только в последние годы появились надежные измерения для структурных функций порядка />10. Тем не менее, уже первые измерения р структурных функций относительно невысоких порядков подтвердили справедливость замечания Ландау -локальные вариации скорости диссипации энергии на- Рис.4.5 рушают колмо г оровс кий сценарий однородной турбулентности.

Нарушение локальной однородности турбулентности получило название «перемежаемости». Суть этого явления состоит в том, что в турбулентности даже при сколь угодно больших числах Рейнольдса активные области сосуществуют с пассивными, в которых течение квазиламинарно. Первую попытку скорректировать закон (4.22) путем учета статистических свойств поля диссипапии энергии сделал сам Колмогоров в 1962 году (эту модель будем называть К62).

Для учета структуры поля диссипации энергии Колмогоров ввел в рассмотрение величину я„которая представляет собой среднюю скорость диссипации, измеренную внутри обьема с характерным размером 1 (например, сферы или куба). Модель держится на двух дополнительных гипотезах. Первая гипотеза - это гипотеза подобия 5,(0 =<бч," >-<а,"" > Г", (4.50) обобщающая формулу (4.22) в том смысле, что теперь в правой части стоит не гюстоянная величина в в степени д/3, а статистический момент порядка д/3, характеризующий структуру случайного поля диссипации энергии на соответствующих масштабах ~ . Гипотезу подобия (4.50) можно записать в другом виде. Если предположить существование степенных законов вида (4.49) и для моментов поля диссипации, то есть (4.51) то гипотеза (4.50) выражается в виде простого соотношения между показателями степени в (4.49) и (4.51): ~„= — +т„,.

(4.52) Очевидно, что (4.52) возвращает нас к модели К41, если т, = о для любых д. Вторая гипотеза К62 касается вида функции распределения вероятности для величины я,. Обычно в качестве простейшей вероятностной модели рассматривается нормальное распределение, однако, в нашем случае оно не годится, так как диссипация - величина сугубо положительная, а хвост нормального распределения уходит в область отрицательных значений. Колмогоров предложил избежать эту трудность путем рассмотрения логнормального распределения (по нормальному закону распределен логарифм диссипации энергии) 25 ппс .а) Р(а,) = се (4.53) Здесь Р - функция распределения вероятности, а = 1п й, о, - дисперсия, рав- ная на масштабе 1 величине о, = А+ 1г 1п(г./1) .

(4.54) Логнормальная модель приводит к следующим выражениям для показателей степени: т = — г1(1 — г1) я = — -1- — г1(3 — Ч) (4.55) 2 ' 3 18 <п, >-1 '. Связанный со вторым моментом поля диссипации шестой момент по- ля скорости также позволяет просто определить коэффициент перемежае- мости. Действительно, согласно (4.55), ~, =2 — 1г, то есть коэффициент перемежаемости равен отклонению степенного показателя с, от значения, следующего из модели однородной турбулентности К41. Гипотеза о логнормальном распределении была опровергнута и экспериментально, и теоретически.

Экспериментальные измерения функции распределения вероятности показывают, что в координатах (1па,1пР) функция распределения имеет несимметричный вид, в то время как логнормальное распределение в таких координатах должно приводить к параболе. Относительно свойств функции ~(о) было доказано два утверждения . Во-первых, с(о)- функция выпуклая, т.е. с" <О и, во вторых, с,, >с, для любых г1.

Формула (4.55) удовлетворяет первому требованию (а также обеспечивает выполнение условий с, =О и с, =1), но не удовлетворяет второму - при некотором значении д функция (это парабола) имеет максимум, после которого значения ~(г) начинают убывать. ' с1.ггнсЬ. Тпгьи!епсе, СагпЬгЫде Шичеге)гу Ргеея. 1995. 296 р. Величина и, называемая коэффициентом перемежаемости, имеет простой физический смысл - с точностью до знака это показатель степени для момента второго порядка поля диссипации энергии (г, =-1г ), т.е.

д,е, = д, — ~ — сЬ = — — ~ ч(ч9)чс1г — — ~ Л7Рй. + — ~ %МИ+ — ~ чЫг = ч~ 2 ч~~ чр~ ч„" — ~а (( — '+ — ~О1~Г ., г Ч, = — ~ — + — чбтр — а, +ч, = ч~~2 р! Здесь а, есть диссипация энергии за единицу времени на единицу массы, л — приток энергии за счет работы внешних сил (также за единицу времени и на единицу массы). Первое слагаемое в правой части, обозначенное как л,, описывает приток энергии в выделенный объем через его поверх- ность. Из скорости диссипации энергии можно выделить ее среднее значение а, =в+~,'.

Если рассматривается стационарно возбуждаемая турбулентность, то средняя скорость диссипации должна быть равна плотности притока энергии за счет внешних сил, т.е. О, = в . Тогда (4.56) д,е, =т~, — я,', то есть изменения энергии в выделенном объеме определяются потоком энергии через его поверхность и вариациями диссипации. Избежать отмеченных выше противоречий можно путем рассмотрения не скорости диссипации энергии в объеме заданного масштаба, а потоков энергии через поверхность этого объема. Последний определяется действием нелинейного В отличие от второй гипотезы, гипотеза подобия (4.50) используется до настоящего времени, хотя ее интерпретация претерпела существенные изменения. Дело в том, что в формулировке (4.50) эта гипотеза несет в себе два противоречия.

Во-первых, левая часть выражения содержит величину, относящуюся к инерционному интервалу, а правая — величину, эффективную только в диссипативном. Во-вторых, диссипация энергии есть величина сугубо положительная, а пульсации скорости - нет. В таком случае трудно рассчитывать, что статистические свойства этих величин одинаковы, а именно в этом и состоит суть гипотезы подобия. Избежать отмеченных противоречий можно следующим образом. Выделим в пространстве, занятом турбулентным течением, произвольный объем с характерным размером ~ и рассмотрим изменения плотности энергии пульсаций скорости в этом объеме: 27 члена в уравнении Навье - Стокса, то есть именно того члена, который определяет нелинейную динамику потока при больших числах Рейнольдса. Именно величина ч, и будет использована в дальнейшем как характеристика потоков энергии на различных масштабах движения. Необходимо отметить, что переход от использования я, к л, произошел совсем недавно, а традиция применения в моделях мелкомасштабной турбулентности скорости диссипации энергии столь крепка, что часто даже в работах, где реально пользуются величиной Ч,, авторы, тем не менее, используют термин «скорость диссипации энергив>.

Характеристики

Список файлов лекций