Часть 2 (1161665), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Обрабатывая результаты измерений структурных функций пульсаций скорости, авторы предложили необычное представление данных. По оси абсцисс вместо масштаба 1 была отложена структурная функция третьего порядка 5е. В инерционном интервале, согласно закону «четырех пятых» (4.4б), эта замена тождественна и не может изменить наклон кривой. Неожиданный результат состоял в том, что при представлении результатов в координатах (1п5,,1п5,) инерционный интервал становится более выраженным - прямолинейный участок графика продляется до масштабов, ю1) е (4.88) то есть расширение инерционного интервала происходит при использова- нии в качестве осей координат любой пары структурных функций. 4.6.3.
Модель Ше - Левека - Дюбрюль В заключение рассмотрим обобщение модели Ше — Левека, предложенное Б.Дюбрюль. В основе обобщения лежат следующие идеи. Вопервых, используя расширенную автомодельность, избавиться от абсолютного масштаба 1. Во-вторых, отказаться от попытки получения беспараметрической модели. Последнее означает, что уменьшается число гипотез, априорно заложеных в модель, но в расплатой за это являются дополнительные параметры, требующие экспериментального определения.
В- третьих, вместо величины ~, рассматривается безразмерная величина (4.89) являющаяся безразмерной характеристикой поля диссипации энергии (ли- бо потока энергии) на масштабе ~. В формулировке Дюбрюль три гипотезы Ше — Левека приобретают следующий вид: 1) модифицированная гипотеза подобия лишь в несколько раз превышающих диссипативный масштаб ~. Важно, что наклон кривой остается при этом прежним.
На рис.4.12, взятом из той же работы, все данные предыдущего рисунка представлены в таких координатах. Видно, что все данные (даже принадлежащие разным режимам течения) легли на одну прямую, определение наклона которой не вызывает труда. Таким образом, обнаруженный эффект позволяет значительно увеличить точность определения показателей с„. Интересно, что ЕЯЯ приводит к появлению «инерционного интервала» и при относительно низких значениях числа Рейнольдса, когда в обычном представлении инерционный интервал не обнаруживается вовсе.
В более общем виде расширенная автомодельность (ЕЮ) проявляется при любом представлении вида (4.90) где знак = означает наличие одинаковых статистических своиств; 11) иерархия моментов (4.91) 111) гипотеза о перемежаемости (о наличии степенного закона для ве- ЛИЧИНЫ <3~, >) <М3> ' (4.92) и построить цепочку выражений <Я >=<Я > >-3 =< „>'-Р-Р' ! <Л, >=<Л, > ' <Л, 3 2 Вычислив сумму ряда 21 1 РП 1 Ра Х~ =Х~ -Х~ =, получаем Связь модифицированной гипотезы подобия с гипотезой подобия К62 будет обсуждена ниже.
Вторая гипотеза представляет собой точную копию соответствующей гипотезы Ше - Левека, переписанной в терминах величины 2~,. В третьей гипотезе появился независимый параметр л, характеризующий скейлинговые свойства экстремальных структур (в выражении (4.98) в знаменателе стоит величина ~,"). Гипотезы (4.90)-(4.92) позволяют получить после несложных вычислений формулу для показателей ~,. Для этого, пользуясь второй гипотезой,получаем связь высших моментов величины к, с первым.
Действительно, (4.91) можно записать в виде (4.94) Используя третью гипотезу (4.92), приходим к выражению (4.95) Чтобы получить выражение для структурных функций пульсаций поля скорости, нужно воспользоваться первой гипотезой (4.90) Тогда формула для показателей степени есть (4.9б) р'е" Г(у+1) ' (4.97) где у=<у>, а г есть гамма-функция. Логпуассоновское распределение, удовлетворяющее гипотезе (4.91), получается при Некоторые аргументы в пользу логпуассоновского распределения вероятности в турбулентных течениях будут даны ниже.
Справедливости ра- В результирующую формулу входят два параметра, которые должны быть определены опытным путем: ~ и л. В последующих главах мы увидим, что эти параметры в различных случаях могут принимать различные значения, делая модель работоспособной в самых разнообразных турбулентных потоках. Очевидно, что выбор р =А=2/3 делает формулу (4.96) эквивалентной формуле Ше - Левека (4.87). Еще один важный результат работы Дюбрюль состоял в том, что был показан смысл гипотезы об «иерархической связи моментов».
Точнее говоря, ей удалось доказать, что гипотеза (4.91) при А, =1 соответствует требованию о лог-пуассоновском распределении величины л, . Распределению Пуассона соответствует функция распределения вероятности вида ди, следует отметить, что в последние годы были сделаны попытки описать случайные турбулентные поля и с помощью других функций распределения (например, лог-леви) и окончательный ответ на вопрос о законах распределения вероятности в турбулентных потоках далеко не ясен. Список рекомендуемой литературы 1. ЛандауЛ.Д., Лифшиц Е.М.
Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с. 2. Монин А.С., Яглом АМ. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965. Ч.1. 639 с. 3. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1967. Ч.2. 720 с. 4. ГгьсЬ 11. ТигЬп1епсе. СагпЬгЫде: СатпЬгЫде 13п1чегягу Ргею. 1995. 296 р. 45 5. ДВУМЕРНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Распространенным способом упрощения физической задачи при ее теоретическом и численном решении является снижение размерности пространства. Именно для двумерной постановки получены почти все точные решения уравнений Навье — Стокса. Как правило, и численные решения задач о ламинарном течении жидкости проводят для двумерной геометрии. При переходе к турбулентным течениям, когда число точек, необходимых для моделирования потока, растет согласно оценке (4.26) как число Рейнольдса в степени «9/4» и быстро достигает пределов возможностей вычислительных машин, также кажется естественным начать численное моделирование турбулентности с рассмотрения плоских течений.
Однако, турбулентность - явление существенно трехмерное и в случае турбулентных потоков переход к плоской геометрии приводит к качественным изменениям свойств течений. Факт, что двумерная турбулентность не является упрощенной моделью трехмерной, бьи установлен независимо Крейчнаном и Бэтчелором в середине шестидесятых годов.
Практически сразу стало ясно и то, что шансов на реализацию чисто двумерной турбулентности в природных и даже в лабораторных условиях фактически нет. Несмотря на это, двумерная турбулентность привлекла к себе значительное внимание исследователей, которое не ослабевает и по сегодняшний день.
Объясняется это несколькими причинами. Во-первых, качественное своеобразие двумерной турбулентности дает прекрасные возможности для опробования различных моделей турбулентности (модель, претендующая на адекватное описание турбулентности, должна быть чувствительной к изменению размерности пространства и правильно отражать ее свойства в случае трех и двух измерений). Во-вторых, двумерная турбулентность стала доступной для прямых численных экспериментов уже в 70-х годах (в 80- х с появлением ЭВМ типа «Сгау» удалось выйти на сетки размером 1024х1024, достаточные для приличного воспроизведения инерционных интервалов), а такое же разрешение для трехмерных потоков стало возможным только в последние годы. Третья причина состоит в том, что, хотя строго двумерных турбулентных течений и не существует, некоторые черты двумерной турбулентности проявляют многие крупномасштабные геофизические и астрофизические течения (в этих случаях обычно говорят о квазидвумерной турбулентности).
5.1. Законы сохранения и инерционные интервалы Снова вернемся к уравнениям Навье — Стокса и остановимся на вопросе об интегралах движения, то есть величинах, сохраняемых уравнениями при невязкой эволюции. Уравнение движения запишем в переменных Лагранжа Ы,Р = — р '~7р+нЛР, (5.1) Первый интеграл в правой части уравнения (5.2) равен нулю. Действительно, ~чръск = ) Ю(р1э)сж — 1 раду =~ч(ру)с% =~ рюш = О.
При вычислении интеграла использовано уравнение непрерывности и теорема Гаусса, с помощью которой от интеграла по объему перешли к интегралу по поверхности. Поверхность выбирается такой, что она охватывает весь объем, занятый движущейся жидкостью, и скорость в любой точке этой поверхности равна нулю. Последнее слагаемое в (5.2) преобразуем, используя две формулы векторного анализа, Ъ' х (Ч х А) = Ф(ЮА) — ЛА, Ф(А х В) = В(Ф х А) — А(~7 х В), (5.3) (5.4) и получим ) ЫЫ~ = — ) ф х (Ю х Д))Л ' = ) ф х (Ю х ч ))сУà — ) (~ х У )~Ю х ф~1 = У 1 1' = ~ (Р х гоаб)с5 — ) (го1 Р) л' = — ) (го1 ч) спи. Вводя обозначение (5.5) Й = то1у (напомним, что й называется завихренностью), приходим к уравнению для эволюции общей энергии движения жидкости умножим на скорость и проинтегрируем по объему ~, включающему всю движущуюся жидкость д,) — с~Р = — р '~7рЫ~+~) РЛИЪ'.
(5.2) ',г 47 д~,А = — н~!«2!2 ЛI = — Ъ2Г2, (5.6) где величина (5.7) равная интегралу от квадрата завихренности по всему объему, называется энстрофией. Свободная эволюция трехмерной турбулентности сопровождается, как мы выяснили выше, переносом энергии к малым масштабам.
В терминах спектральной плотности энергии Е(й) это соответствует переносу энергии к большим волновым числам. Для энстрофии также можно ввести спектральную плотность й(й), причем в силу (5.5) она связана со спектральной плотностью энергии простым соотношением й® - й Е(й), (5.8) из которого следует, что перенос энергии к большим волновым числам (малым масштабам) влечет за собой рост энстрофии. Рост энстрофии, в свою очередь, согласно (5.6) приводит к росту скорости диссипации энергии (я =й,Е). Эти рассуждения приводят к следующей качественной картине для эволюции скорости диссипации энергии в трехмерной турбулентности (рис.5.1): на ранних этапах происходит р увеличение скорости диссипации с по- Рис.5.1 следующим ее убыванием. Изменение а носит при этом крайне нерегулярный характер, изобилуя кратковременными всплесками и провалами.
Качественно процессы передачи энергии к малым масштабам с одновременным ростом завихренности описываются так называемым «механизмом растяжения вихревых трубок». Этот механизм состоит в следующем. Вихрь, попадая в зону деформации вихря большего масштаба, растягивается и раскручивается в силу действия закона сохранения момента импульса. При этом деформируются вихри, ориентированные перпендикулярно большому вихрю, то есть механизм имеет принципиально трехмерную природу. Отметим, что трехмерные уравнения Навье — Стокса имеют еще один интеграл движения. В невязком пределе сохраняющейся величиной является спиральность, определяемая как О,Й+ (л7)Й = — (ЙФ)г+~кй (5.10) и рассмотрим вопрос об интегралах движения при двумерном движении жидкости. Двумерность движения подразумевает, что вектор скорости имеет только две отличные от нуля компоненты ~ =(а„ч,,,О), а завихренность - только одну Й = (О,О,в), становясь, таким образом, псевдос калярной величиной.
Уравнение (5.10) принимает в этом случае чрезвычайно простой вид (5.1 1) совпадая с уравнением переноса скалярной примеси. На сходстве и различии уравнения для завихренности и уравнения для пассивной примеси мы остановимся более подробно ниже, а сейчас запишем (5.11) в переменных Лагранжа (5.12) Из (5.12) очевидным образом следует, что при ~ -+Ожидкая частица переносит завихренность без изменений, а следовательно, любая функция г(со) становится интегралом движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
