Часть 2 (1161665), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть а(о) есть значение а, обеспечивающее условие минимума (4.73) для заданного значения о. Тогда 35 Таким образом, алгоритм вычисления мультифрактального спектра состоит в следующем. Имея измерения Р„, по формуле (4.75) вычисляют размерность о(!!) для различных значений д (как положительных, так и отрицательных). Затем по формуле (4.78) определяют значения а(ф, обеспечивающие минимум (4.72) для данного г7. После этого по формуле (4.77) вычисляют спектр 7 (а) .
Типичный вид функций 7э® и Х(а) показан на рис.4.9. Функция 1э® пересекает ось ординат в точке, дающей размерность пространства (три, если речь идет об обычном трехмерном потоке, либо два, если исследуется двумерная картина). На графике ~(сг) точка максимума соответствует моменту нулевого порядка (7'!гг) = д = о). Абсцисса этой точки, обозначенная на рисунке как сг„дает среднее значение показателя скейлинга гг . Наиболее вероятное значение величины а дает точка сг„определяющая точку кривой, в которой г7=~'=1. 4.6. Логпуассоновские модели В этом разделе мы рассмотрим модели последнего поколения, возникшие в середине 90-х годов. Первой описана модель, предложенная Ше и Левеком в 1994 году 4. Основанная на трех гипотезах, из которых две казались не очень убедительными, модель дала простую формулу для зависимости с,.
По счастливому стечению обстоятельств, в это же время группой итальянских и французских исследователей экспериментально был обнаружен любопытный факт, получивший название расширенной автомодельности, который позволил существенно повысить точность экспериментального определения показателей с, для структурных функций высоких порядков. Новые экспериментальные результаты удивительно хорошо совпали с формулой Ше — Левека. Существенное обобщение этой модели было сделано Б.Дюбрюль', которая включила в модель и идею расширенной автомодельности.
Расширенной автомодельности посвящен второй параграф раздела. Модель Дюбрюль описана в последнем параграфе этого раздела. ' Ьье У.о., Ьечес!пе В. 17п1чегаа1 аса!!па !ачча ш Гп1!у г!ече!орег! гпгЬп!епсе Л РЬуеяса1 Кеч!егч 1.епега, 1994. Чо!.72. РЗ36-339. ' ОпЬгпве В. 1пГегш!ггепсу ш Гп!1у г3ече!орег! гпгЬп1епсе; 1од-Ро1ааоп а!аГ!аГ!са апг! депега1!пег! аса1е сочанапсе Л РЬуезса1 Кеч!ечч ! еггега, 1994. Чо1.73.
Р.959-962. 36 4.6.1. Модель Ше - Левека Модель Ше - Левека держится на трех гипотезах. Первая - это гипотеза подобия, введенная Колмогоровым в модели К62 5,®=<й!' >-<а!"' >Г", (4.50) которая записывалась выше и в виде ~д ц/3 7 (4.52) предполагающем существование степенного закона <~,' >-1'" для статистических моментов поля диссипации энергии. Модель содержит в себе и идею мультифрактальности развитой турбулентности. Напомним, что основной ~качественный) вывод из мультифрактального подхода к проблеме мелкомасштабной турбулентности состоит в том, что в потоке сосуществуют области с различными законами скейлинга и что для моментов (структурных функций) различного порядка определяющую роль играют области с различным скейлингом.
В рассматриваемой модели считается, что диссипация энергии ~, характеризуется «иерархией флуктуирующих структур» а,"', которые определяются как отношение последующих моментов поля диссипации ! ! !!! 6! <Я > д ! <Е > я! = 1нп д — ~ ! (4.80) с другой стороны. Относительные моменты (4.79) удобны тем, что все они имеют размерность скорости диссипации. Поле диссипации крайне неоднородно и формируется структурами с различными скейлинговыми свойствами. Чем больше номер относительного момента д, тем более неоднородные структуры он описывает.
Считается, что предел последовательности (4.80) существует и определяется вцдом предельных диссипативных структур, в которых скорость диссипации достигает экстремально больших значений. Исходя из экспериментальных наблюдений последних лет, авто- Последовательность относительных моментов я,'"' ограничена, с одной стороны, членом а,'"', который соответствует среднему значению скорости диссипации (с,'" = а ), и членом 37 ры модели предположили, что эти предельные структуры имеют вид вихревых нитей с размерностью О =1. Две оставшиеся гипотезы касаются свойств относительных моментов а,'".
Гипотеза 2 вводит универсальную связь, связывающую старший мо- мент с младшим, (д я (~23 Р ( ~~ 'Р3 = А„г~ (4.81) Физическая мотивировка (4.82) состоит в следующем. Как указывалось выше, величина а,'"' зависит от предельных диссипативных структур и имеет размерность скорости диссипации энергии. Следовательно, из раз- мерныхсоображений ЬЕ 6 где БЕ есть плотность энергии, доступной диссипации в тех нитевидных структурах, о которых идет речь. Считается, что в этих диссипативных структурах имеет место квазиразрыв, то есть независимо от масштаба й, =й, и энергия не зависит от масштаба 1.
Масштаб времени принимается колмогоровским ( ~, - а "3! "3 ), что приводит к оценке 2! 3 а 3 г, На основе введенных гипотез можно получить выражение для структурных функций поля диссипации, а затем и поля скорости. Из третьей гипотезы (4.82) следует, что при ц -э Й3 1 ~ — 2!3 Е - — -Г <а~ > 1" Соотношение включает неизвестный пока параметр Р и является, пожалуй, самым сильным предположением, сделанным при построении модели. Ясно, что любая гипотеза относительно связи статистических моментов различных порядков есть, по сути, гипотеза относительно функции распределения случайной величины, моменты которой рассматриваются. Забегая вперед, скажем, что гипотеза (4.81) подразумевает логпуассоновскую функцию распределения (этот факт был обнаружен позже, независимо Ч.-З.Ше и Б.Дюбрюль).
Третья гипотеза касается величины я,"3. Предполагается, что она подчиняется степенному закону у 2!3 (4.82) и, следовательно, при больших д г т = — — у+С. 3 (4.83) Пользуясь представлениями о фрактальной структуре с размерностью о можно записать (по-прежнему для больших 1) 2 т = ~(ч) — — о+ С, 3 (4.84) причем ~(д) — эО при ~-+~. Выражение (4.81) перепишем в виде ,> <6,' > <Я, >,„,й~) > А эквивалентном уравнению 2 т„, = (1+ ~3)т,, — ~3т, — — (1 — ~3) .
Пользуясь формулой (484), получаем уравнение для функции г(ф Г(д+г)-(1+О Уд+1)+ РХ(д) =О, (4.85) решение которого есть ~(1) =а~3' и, следовательно, 2 т =ар ' — — д+ С. 3 Входящие в решение константы определяются из условий (<я, >=1,<а, >=ь -1'). Из первогоусловия т,=т,=О из второго— откуда следует, что константа С имеет смысл коразмерности, а поскольку сделано предположение о том, что структуры есть нити, то их коразмерность равна двум. Таким образом, С = 2. Для произвольных значений О к выражению (4.83) следует добавить функцию, вид которой определяется с помощью второй гипотезы.
Итак, 39 с-г(з г с з Окончательно имеем , =- — ~+г (4.86) а пользуясь первой гипотезой - гипотезой подобия К62 (4.52), получаем искомую формулу для показателей степени структурных функций поля скорости с„= — +г 1 —— (4.87) Модель Ше — Левека претендует на то, что она лишена параметров. Это не совсем так, поскольку лежащие в ее основе гипотезы содержат в себе количественные характеристики (например, степень две трети в гипотезе 3). Тем не менее, полученная формула замечательным образом воспроизводит экспериментальные данные для величин с,. На рис.4.10 экспериментальные данные, взятые из различных работ, приведены вместе с кривыми, соответствующими всем рассмотренным нами моделям. ~р 2 о о г 4 б 8 10 12 14 1б 18 р Рис.4.10 4.6.2.
Расширенная автомодельность Расширенная автомодельность (в оригинале - Ех1епдес1 Яе1Г Япп1агпу, давшая уже устоявшуюся аббревиатуру ЕЯЯ, которой мы также будем пользоваться) — это экспериментально установленный факт, не нашедший еще достаточного теоретического осмысления. Первые результаты были получены при измерениях свойств мелко- масштабной турбулентности в аэродинамической трубе и опубликованы в 40 1.ОО О.
ОО > — -~.ОО М о -2. 00 О.ОО с4' ф -1.ОО \Г -2. ОО ед~ о — -з.оо 1О9~о1 Вепа| К., СВ|Ьес1о 5., 1 пр1ссюпе К., Баппе1 С., Мааеа1 Рис.4.11 ~ООЮ <!ЛЯ~ '> Рис.4.12 работе 6. Цель работы состояла в изучении свойств структурных функций $,® и т,(1) =<!й, !'> (4.20). Во-первых, в этой работе было показано, что функции т„статистически более устойчивы (для их определения требуется меньшее число реализаций) и подчиняются тем же степенным законам, что и функции За (речь идет о функциях нечетных порядков, поскольку для четных функции просто совпадают).
Во-вторых, бра обнаружена интересная связь между структурными функциями различных порядков. Напомним, что для определения степенных показателей с, обычно используют двойные логарифмические координаты, откладывая логарифм соответствующей структурной функции в зависимости от логарифма масштаба. На графиках выделяют прямолинейный участок и, считая, что именно он соответствует инерционному интервалу, определяют по его наклону показатель с,.
Чем выше порядок структурной функции, тем короче и менее выраженным становится прямолинейный участок на графике. На рис.4.11 показаны результаты измерения структурной функции второго порядка, полученные для течения в аэродинамической трубе при трех значениях числа Рейнольдса (квадраты - ке =6000, кружки - ке= 22500 и кресты — ке =47000). Изучая эти данные, можно вндеть, что вопрос об идентификации инерционного интервала далеко не прост даже для достаточно выс оких значе ний числа Рейнольдса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
