Часть 2 (1161665), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Иначе говоря, ~ «~ « ~, где Х - микромасштаб турбулентности, характеризующий масштабы пульсаций скорости, на которых становится существенной вязкая диссипация. На рис.4.1 схематически показаны три различных турбулентных потока (турбулентный след, течение в трубе и конвективный факел) и области Рис.4.1 в них, изображенные в виде кубов, в которых можно надеяться на выявле- (4.6) ~(х+ пТ), у+ тР, 2+ дР) = ~(х, у, 2), Такая постановка задачи очень удобна для прямых численных решений уравнений (4.1)-(4.2). Именно для куба с периодическими граничными условиями (для квадрата в случае двумерных течений) выполнены практически все численные эксперименты по исследованию свойств однородной турбулентности. Заметим, что условие однородности немедленно приводит к тому, что уравнение (4.4) допускает только тривиальное решение О(~,~) =О.
Кубическая геометрия и условие периодичности создают идеальные условия для применения спектральных (и спектрально-сеточных) методов, так как любая функция ~(~, г) может быть представлена в виде 2ю ~М ) =,~ Х.„,ые " = х~',Ы с)е"", (4.7) 2к где ~ = (пе, +те,, +де ) есть волновой вектор, а коэффициенты Фурье определяются формулой О 1) О Л<к)=~,ш Хаву) ™и. ооо В свете поставленной задачи фурье-представление удобно тем, что каждая гармоника соответствует движению определенного пространственного масштаба.
Для того, чтобы получить энергию всех движений заданного масштаба ~ = 2~/й, нужно просуммировать все гармоники, волновые векторы которых равны по модулю е(к) = "> ! О !' в-.л ние таких универсальных свойств. При наличии осредненного течения (поток в трубе) выделенный куб движется со средней скоростью этого потока. Выделенные области не случайно имеют кубическую форму. Дело в том, что, желая избежать влияния границ, мы в то же время хотимрассматривать ограниченную область потока, причем свойства течения в этой области не должны зависеть от ее точного положения (другими словами, используется гипотеза об однородности турбулентности на масштабах, много меньших масштаба ее возбуждения ~). Наиболее простой путь удовлетворения этих противоречивых требований состоит в рассмотрении кубической области с ребром о, на гранях которого выполняются периодические граничные условия.
Это условие состоит в том, что для всякой функции и любых целых п,пг,д 4.2. Баланс энергии по масштабам. Каскад где х(Ь) = ()х(кг)е '"л, (4.1 1) Г = (х,у,~) -радиус-вектор, й = (/с„lс,,,lс,) - волновой вектор. Все величины в уравнении (4.1) выразим через фурье-образы (4.10) / д, 11(lс',~)е"'"сй'+ —, ~Р(и "л)е' 'сй" г ~г(1'",~)е' "сй'" = 8л' = — р '~~р()с',~ )е' 'сй'+чА ~~т(1с'д)е' 'сй'+ (1 ~(К',~)е"сй' и воспользуемся теоремой о дифференцировании (см. параграф 2.4.2 части 1) Для получения уравнения, описывающего баланс энергии в одном отдельно взятом масштабе, нужно записать уравнения Навье - Стокса (4.1)- (4.2) в пространстве Фурье.
При этом можно воспользоваться рядами Фурье вида (4.7), имея в виду кубическую геометрию с периодическими условиями, либо интегралами Фурье, опираясь на рассмотрение турбулентного течения в ограниченной части бесконечного пространства. Чтобы не создать впечатление, что получающиеся уравнения связаны с искусственно выбранной формой области, воспользуемся в данном параграфе интегралами Фурье (вывод уравнений для рядов оставим для домашних упражнений).
Итак, пусть течение занимает ограниченную область, затухая на бесконечности, и все входящие в уравнения Навье - Стокса величины допускают представление в виде 1'(г,г) =, (1)- (Кд)е'"'сй, (4.10) 8п' 1О Для упрощения записи во всех функциях здесь и далее опускается аргумент с. Уравнение умножается на е-'" и интегрируется по й.. Учитывая, что 2л ')с" "с)7=8()с' — )с ), а 1) ~()с'7ь ()с ' — )с) с))с' = ~()с), и переобозначив )с" =(,получаем сЭ,М)+, (Яс))()с — с))Я)с — с))с)с(= — (р')ср()с) — )с'й1 )+)()с). 8сс' „ (4.12) Уравнение неразрывности (4.2) в пространстве Фурье имеет простой вид е г() )=0 (4.13) и может быть использовано для исключения из уравнения (4.12) члена с давлением. Умножение (4.12) на )с с учетом (4.13) приводит к выражению Р 'Р()с)=, ~(1(с)И( -с))Я(с-с))с(Ч- — Х()с) 8хс '1 хг (4.14) Подставляя (4.14) в (4.12) и используя формулу ссх(Бхс) =Б(сссх) — с(ссБ) для объединения нелинейных членов, приходим к уравнению оЯ() )+ — ', ~~~'~'~~, '(~'~))Яч)():-ч))ц=- ('1() )+Г() ), (4.15) с=ю где ('((с)=)с ))сх((х)с)).
Целью проводимых преобразований является уравнение для энергии, заключенной в данных масштабах (волновых числах), которая получается путем интегрирования квадрата модуля фурье-компонент поля скорости по всем волновым векторам с заданным значением модуля! )с ~= )с: 11 Соответствующее уравнение получается из (4.15) путем его домножения на ~' (й) и интегрирования в пространстве Фурье по поверхности сферы заданного радиуса й и имеет следующую структуру (4.17) д,ЕЯ) = Тф) — ЯИ)+ Е()с) причем приток энергии в течение и ее диссипация происходят в различных масштабах. Ситуацию поясняет рис.4.2, где схематически изображены функции 1э® и ~ (й) . Приток энергии происходит вблизи волнового числа й„соответствующего макромасштабу турбулентности г..
Диссипация становится эффективной только на малых масштабах (больших волновых числах), так как )э®) = й.' и функция )э(й) локализована вблизи волнового числа l~, (Х- микромасштаб турбулентности, называемый часто масштабом Колмогорова). Отметим, что площади, заключенные под обеими кривыми, должны быть в точности равны друг другу.
Между двумя кривыми остается значительный (тем больший, чем больше число Рейнольдса) интервал масштабов )', «Г.«й.„в которых О()~) =Г() ) =О, а следовательно и г(1<)=О. Этот интервал масштабов называют инерционным интервалом и его при- Рис.4.2 Здесь гМ - член, получающийся из нелинейного слагаемого уравнения (4.15) и описывающий перенос энергии в заданный масштаб в результате взаимодействия пульсаций скорости различного масштаба, )э® =-чй'е® и описывает скорость диссипации энергии за счет действия молекулярной вязкости, а ~(/с) характеризует приток энергии за счет сил, поддерживающих турбулентное течение (работа внешних сил). Точный вид для т(й) и ~(/с) легко получается из (4.15). Мы не выписываем соответствующих выражений, так как интересующие нас выводы можно сделать исходя из общих соображений об их структуре.
Рассмотрим случай стационарного турбулентного потока. Стационарность означает, что энергия, вводимая в поток за единицу времени, в точности равна энергии, превращающейся в тепло за счет действия вязкости, а д, Е® = О для любого значения волнового числа (для любого масштаба). Следовательно, сутствие является признаком развитой турбулентности. Поскольку энергия вносится в поток на одном краю инерционного интервала, а выносится - на другом, то она очевидным образом должна быть перенесена вдоль всего интервала.
Условие т(~)=О означает, что приток в данный масштаб из больших масштабов в точности равен оттоку энергии из данного масштаба в меньшие. Полезно рассмотреть величину е(lс) = 1 еЯ')~й', о равную энергии, заключенной во всех масштабах, больших данного (й'< й). Соответствующее уравнение получается интегрированием уравнения (4.17) от нуля до текущего значения волнового числа и имеет вид д,е(Я) = и Я) — ~ 1)(к'~л'+ (1 ГЯ')йи' Если рассмотреть масштаб, принадлежащий инерционному интервалу, и считать течение стационарным, то П(lс) = Ф = сотг. г)((.) есть поток энергии через текущий масштаб (~.
Этот гюток равен суммарной энергии Ф, вносимой в поток за единицу времени на единицу массы. Этот поток равен и скорости диссипации энергии, то есть энергии, превращающейся в тепло за единицу времени на единицу массы. Таким образом, мы подошли к ключевому моменту теории мелко- масштабной турбулентности, состоящему в том, что процессы возбуждения течения, нелинейных взаимодействий вихрей и вязкой диссипации, сосуществующие в физическом пространстве, строго разнесены в пространстве масштабов. Первый шаг в понимании проблемы сделал Л.Ричардсон, который выдвинул в 1922 году идею каскада энергии, то есть процесса передачи энергии по цепочке от больших вихрей - меньшим.
Строгую формулировку проблемы, давшую количественные результаты, предложил А.Н.Колмогоров в серии работ 1941 года. 4.3. Теория Колмогорова 1941 года (К41) 4.3.1. Анализ размерностей (4.18) Введенная таким образом величина б~, характеризует продольные пульсации скорости (на связи продольных и поперечных пульсаций мы остановимся ниже).
Статистические моменты этой величины (4.19) называют структурными функциями и в силу изотропии течения они не должны зависеть от направления отрезка ~. Наряду со структурными функциями 5, рассматривают и структурные функции вида Рис.4.3 А.Н.Колмогоров в своей классической работе, положившей начало систематическому изучению мелкомасштабной турбулентности, сформулировал две гипотезы, касающиеся статистических свойств однородной и изотропной турбулентности при больших числах Рейнольдса. 1-я гипотеза Колмого ова. Статистические свойства в инерционном и диссипативном интервале ( т.е.
на масштабах 1« ~) не зависят от способа возбуждения турбулентности и универсальным образом определяются тремя параметрами: скоростью диссипации энергии в, кинематической вязкостью м и самим масштабом 1. 2-я гипотеза Колмого ова. Статистические свойства турбулентности в инерционном интервале универсальны и зависят только от скорости диссипации энергии я и масштаба ~. Эти гипотезы содержат ответ на вопрос, какие величины могут влиять на динамику инерционного интервала. Говоря о статистических свойствах, мы в первую очередь имеем в виду распределение энергии между движениями различного масштаба, хотя, конечно же, помним, что поле скорости - это поле случайной величины и чтобы описать его, нужно знать функцию распределения вероятности, либо, что то же самое, совокупность всех статистических моментов этой величины.
Рассмотрим две точки, отстоящие друг от друга на расстоянии ~ (рис.4.3), и в качестве характеристики пульсаций скорости на масштабе ~ выберем разность проекций скорости в этих точках на направление, связывающее эти точки (4.20) Очевидно, что структурные функции (4.19) и (4.20) четных порядков идентичны и отличия появляются только в функциях нечетных порядков. Вторая гипотеза Колмогорова утверждает, что в инерционном интервале структурные функции зависят только от масштаба и скорости диссипации энергии 5, (7) = 1'(а, 7) . ( ~угз (4.21) Эту зависимость называют законом Колмогорова - Обухова.
Попытка применить соображения размерности к структурным функциям произвольного порядка очевидным образом приводит к формуле 5,(0- (й)"'. (4.22) Соображения размерности позволяют получить и форму энергетического спектра пульсаций скорости (4.1б). Размерность энергии имеет величина ея) й. Следовательно, размерность величины е® есть ~ -'/я- . Поскольку спектр энергии может зависеть только от величин я и й, то единственно возможная комбинация есть р() ) ~~ г~з( юз (4.23) Далее делается самое сильное предположение, являющееся по сути главной гипотезой теории К41. Оно состоит в том, что скорость диссипации энергии считается универсальной константой для заданного течения, то есть в любой момент времени и в любой точке пространства диссипация энергии за единицу времени на единицу массы равна я .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
