Часть 2 (1161665), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Таким образом, двумерный поток в невязком пределе обладает бесконечным набором интегралов движения. Среди этих интегралов особое место занимает энстрофия (5.7), которая, как и энергия, остается сохраняющейся величиной и при конечномерном представлении полей скорости и завихренности (при обрыве рядов Фурье, если говорить о спектральном представлении полей). Запишем уравнение для эволюции энстрофии при двумерном течении В отличие от энергии и энстрофии, спиральность не является положительно определенной величиной. Она является псевдоскаляром (меняет знак при переходе от правовинтовой системы координат к левовинтовой) и отлична от нуля в случае, если в течении существуют спиральные вихри и количество спиралей с правой закруткой больше (меньше), чем левой.

Эта величина становится существенной только в некоторых специальных течениях, как правило, анизотропных. К таким течениям относятся многие геои астрофизические течения. Особенно важную роль играет спиральность в задачах возбуждения магнитных полей в течениях проводящей жидкости (проблема магнитогидродинамического динамо). Запишем уравнение для завихренности, для чего на уравнение (5.1) необходимо подействовать оператором го1, 49 Таким образом, И,й = — чав) с% = — к (5.13) где я,„есть скорость диссипации энстрофии. Отличия в свободной эволюции двумерной турбулентности от эволюции трехмерной следуют из совместного анализа уравнений (5.6) и (5.13).

При нулевой вязкости энстрофия есть величина постоянная, а при конечной вязкости энстрофия, как видно из (5.13), может только убывать со временем. Это означает, что и скорость диссипации энергии в двумерном потоке может лишь монотонно убывать со временем (рис.5.2). Физически в двумерном потоке блокирован механизм растяжения вихревых трубок, который обеспечивает рост энстрофии в трехмерном течении. Появление второй сохраняющейся величины меняет и характер каскадных процессов в турбулентности. В двумерном турбулентном потоке имеются две квадратичные величины, переносимые от одних масштабов к другим, и с.

процессы переноса определяются теперь двумя величинами - скоростью диссипации энергии я и скоростью диссипации энстрофии я„. Если энергия и энстрофия вносятся в поток на неких промежуточных масштабах й„далеких от диссипативного масштаба, то они обе должны вовлекаться в каскадный процесс.

Однако, связь спектральных Рис.5.2 плотностей энергии и энстрофии (5.8) запрещает одновременный перенос обеих величин к мелким масштабам. При свободной эволюции турбулентности средние спектральные потоки энергии и энстрофии должны быть направлены к противоположным концам спектра, причем к малым масштабам направлен поток энстрофии, а к большим — поток энергии. В развитой турбулентности можно ожидать появления двух инерционных интервалов. В больших масштабах (малых волновых числах й < й,) каскадный процесс определяется скоростью диссипации энергии ь.

и анализ размерности естественно приводит нас к формуле Колмогорова с тем существенным отличием, что энергия передается от меньших масштабов к большим - имеет место обратный (красный) каскад энергии. Для малых масштабов (/с>й,) определяющей величиной является скорость диссипации энстрофии. Ее размерность 1а„,1=1/я' и единственно возможная комбинация дает спектральное распределение е®) =с„„"-'~ ', (5.15) '-( Г (5.16) Левая граница инерционного интервала переноса энергии не может быть постоянной, так как диссипации энергии в этих масштабах не происходит.

Следовательно, масштаб, на который приходится максимум энергии в спектре, й,, = 1(~, ~) и соображения размерности дают оценку (5.17) которая характеризует процесс накопления энергии в больших масштабах и соответствующий дрейф максимума в спектре в сторону малых волновых чисел. описывающее ине рцион- 4 ный интервал переноса энстрофии. Каскад энстрофии - это прямой каскад, то есть энстрофия переносится от больших масштабов к меньшим. Качественную структуру спектра двумерной турбулентности иллюстрирует рис.5.3. На рисунке показаны оба инерцион- Е 4 4 4г ~~~,' ных интервала с законами (5.14) и (5.15) и направления переноса по спектру энергии и энстрофии.

Граница инерционного интервала переноса энстрофии определяется величиной вязкости и потоком энстрофии от больших масштабов. Требуемую размерность дает выражение 51 5.2. Лабораторные эксперименты Рис.5.4 Совершенно особенное поведение двумерной турбулентности делает интересным детальное изучение ее свойств и заставляет задуматься над вопросом, существует ли турбулентность с такими свойствами. Надеяться на существование чисто двумерного турбулентного потока при больших числах Рейнольдса, по-видимому, не приходится. Однако, можно рассчитывать на существование «квазидвумерных потоков», обладающих некоторыми чертами двумерной турбулентности. Простейший фактор, приводящий к «двумеризации» турбулентного потока — это геометрия полости, в которой существует турбулентность.

Точнее говоря, речь идет о тонких слоях жидкости, в которых один размер области значительно меньше двух других. Начиная с первых же работ по двумерной турбулентности, обсуждалась возможность обнаружения свойств двумерной турбулентности в крупномасштабных течениях океана и атмосферы. Действительно, толщина плотной атмосферы всего лишь 10 км, в то время как характерный масштаб крупномасштабных вихрей (циклонов и антициклонов) составляет тысячи километров.

Геометрия - только один из Я возможных способов подавления г движений вдоль одной из коорди- ~р' нат. К другим возможностям относятся устойчивая стратификация с с жидкости, сильное вращение, магнитные поля. Первая попытка реализовать двумерную турбулентность в лабо- О раторных условиях была основана на идее подавления одной компоненты поля скорости магнитным 5 полем. Опыты проводились в Институте физики в Риге, где исследовалось турбулентное течение жидкого металла (ртути) за решеткой при включении сильного поперечного магнитного поля.

Удалось показать, что движения вдоль поля действительно менее интенсивны, чем в двух других направлениях, но измеренные спектры с трудом поддавались даже качественной интерпретации. Следующий эксперимент по двумерной турбулентности был проведен И.Кудером, который изучал движения жидкости в мыльных пленках. В 52 где функция ~(-) описывает структуру профиля поперек слоя ( в нашем случае это решение Гартмана).

Выражение !'5.18) подставляется в трехмер- ные уравнения движения, которые интегрируются затем поперек слоя д,ч~ ~(2)г/1+ (гУчЦ / (2)г/2 = — !7 ч) Г/г/2+чЛгч~~(с)г/~+чч~ / !г)г/2 . Оператор Лапласа представлен в виде /! = л, -!-оп, где /1, = с)„, +г/„. Получа- ется двумерное уравнение о,!7+а(Лг/г = — р 'Юр+чЬ, г — !гг, (5.19) в котором коэффициенты а и !г зависят от конкретного про!1иля течения в слое.

Уравнение (5.19) называют часто уравнением с линейным трением. ' Яопппег!а Х. Бхрег!гпепга! агпг!у ор!!ге ггсо-г1!пгепа!опа! !пгегае епег8у саасаг/е !и а аг!саге Ьох //1.Р)пЫ Ме- сьап!са. 198б. Чо1.170. Р.139-1б8. этих опытах удалось показать наличие обратного каскада энергии (точнее говоря, был зафиксирован рост среднего размера вихря со временем). Наиболее удачным экспериментом по двумерной турбулентности остается работа Соммериа', которую мы рассмотрим более подробно. В этой работе исследовался обратный каскад энергии в плоском течении в тонком слое ртути, возбуждаемом электромагнитными силами на малых масштабах. Схема эксперимента показана на рис.5.4.

На плоскую горизонтальную кювету размерами 120х120х22мм, заполненную ртутью, накладывалось вертикальное магнитное гюле, достигавшее величины 1 Тл. Такое сильное магп1 нитное поле практически подавляет верти- кальные движения и приводит к формиро- 1О * ванию горизонтального течения с вертит кальным профилем, описываемым известным решением Гартмана. Гартмановский про11мль характеризуется наличием ядра с однородным распределением скорости и т узким пограничным слоем, толщина которого тем меньше, чем сильнее наложенное Рис.5.5 магнитное поле. Предполагаемый про- филь скорости также изображен на рис.5.4. Для описания плоских течений в тонких слоях жидкости существует простой, но эффективный способ, состоящий в том, что поле скорости г = (~„ч,,,0) представляется в виде ч(х, у, 2) = ч (.х, у) ~ (2) > 15.18) Линейное трение, в отличие от обычной вязкости, одинаково эффективно на всех масштабах (физически это трение в вязком погранслое) и осуществляет отвод энергии из течения на энергосодержащих масштабах й,.

Это приводит к тому, что этот масштаб перестает зависеть от времени. Учитывая, что коэффициент линейного трения р имеет размерность обратной секунды, легко получить оценку (5.20) ~г ~я(~ Н) ~( Возбуждение течения в опытах производилось с помощью электромагнитных сил. В дно кюветы были встроены 36 точечных электродов, к которым подводилось постоянное напряжение (полярность чередовалась в шахматном порядке). Растекающиеся в слое электрические токи взаимодействовали с вертикальным магнитным полем и приводили к формированию 36 планарных вихрей, закрученных также в шахматном порядке. Варьируя значения приложенного магнитного гюля и силы тока, можно было менять интенсивность движения и величину линейного трения.

В опытах исследовались турбулентные режимы, в которых удалось наблюдать формирование обратного каскада энергии со спектром «-5/3» и показать справедливость оценки (5.20). На рис.5.5 приведен экспериментальный спектр пульсаций скорости, полученный в этой работе, и отмечен ожидаемый наклон спектра. Очевидно, что диапазон масштабов, в котором можно ожидать формирования инерционного интервала, достаточно мал и результат носит скорее качественный характер, но именно эта работа убедительно доказала возможность существования (и наблюдения) обратного каскада энергии в квазидвумерных турбулентных потоках.

Характеристики

Список файлов лекций