Часть 2 (1161665), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Базис был назван иерархическим и на его основе были построены и исследованы многочисленные модели, также названные иерархическими (см. книгу В.Зимина и П.Фрика"). В конце восьмидесятых годов в научной литературе появилось слово «вейвлет», а к началу девяностых вейвлетанализ превратился в самостоятельную, хорошо развитую область математической физики. Идеи, лежа1цие в основе теории вейвлетов, совпадают с идеями иерархического представления турбулентных полей и в терминах этой молодой науки иерархические модели — это модели, построенные с помощью вейвлет-представления описываемых полей. Поскольку цель нашего курса состоит в изложении Г1одходов к моделированию турбулентности, то главу мы начнем с идей, приведших к иерархическим моделям.
В то же время, нельзя не остановиться и на формулировке основных положений вейвлет-анализа, который оказывается чрезвычайно полезным при анализе временной и пространственной структуры нелинейных гидродинамических систем. Краткое изложение основных идей непрерывного и дискретного вейвлет-анализа и некоторые примеры его использования составят вторую половину этой главы. 6.1. Иерархический базис для турбулентных полей Рассматривая численные методы решения уравнений движения жидкости, мы говорили о том, что чаще всего для этих целей используются либо сеточные, либо спектральные методы, либо их комбинация. И те, и другие можно отнести к проекционным методам решения уравнений в частных производных, когда для решения используют проекции всех полей на функциональные базисы.
В сеточных методах функции представлены значениями в точках, плотность которых связана со спектральными свойствами рассматривае- '~ Зимин В.Д. Иерархическая модель турбулентности 0 Известия АН СССР: Физика атмосферы и океана. Т.17. 1х1.12. С.1265-1273. " Зимин В.Д., Фрик П.Г. Турбулентная конвекция. Мл Наука, 1988. 178 с. 72 мых полей ~мелкомасштабные вихри не должны проваливаться между точками сетки). Более строго эта связь выражается теоремой Котельникова, согласно которой функция ~(х), спектр которой ограничен пространственной частотой 2л /й, может быть представлена суммой функций отсчетов (синкусов), центры которых размещены на сетке с шагом Ь. Очевидно, что сеточное представление эффективно при описании локальных структурмелкомасштабный вихрь описывается небольшим числом точек, находящихся в соответствующей области пространства.
В то же время, для описания даже очень простого по структуре крупномасштабного вихря требуется использование всех базисных функций. Спектральные методы используют разложение по фурье-г армоникам. В этом случае каждая базисная функция описывает, по сути, систему когерентных вихрей, занимающую все пространство. В таком представлении очень просто описать вихрь, занимающий всю область, или периодическую систему вихрей — и в том, и в другом случае достаточно одной базисной функции. Однако„если требуется описать отдельный вихрь, занимающий малую часть рассматриваемой области, то потребуется весыармоническийряд. Выше уже обсуждались и преимущества и недостатки обоих методов с точки зрения решения уравнений гидродинамики.
Сеточные методы эффективны при вычислении нелинейных членов, так как позволяют выразить значение в точке через небольшое число соседних точек, но приводят к большим затратам машинного времени при решении уравнения Пуассона, требующего построения итерационного процесса, в который вовлечены все точки области. Спектральные методы, наоборот, делают решение уравнения Пуассона тривиальным, но приводят к очень сложной структуре нелинейных членов. Проблемы двух функциональных базисов связаны с их локализованностью в физическом и в фурье-пространствах.
Сетки строго локализованы в физическом пространстве, но спектр точки (дельта-функции) есть белый шум. Это означает, что функции делокализованы в пространстве Фурье. Обратная ситуация возникает при разложении Фурье. Каждая гармоника представляет строго одну частоту, но соответствующая ей функция занимает все физическое пространство. В турбулентном потоке сосуществуют вихри самого различного масштаба, но наиболее эффективные взаимодействия происходят между вихрями (структурами), близкими и в физическом, и в фурье-пространстве. Первое очевидно — чтобы вихри взаимодействовали, они должны перекрываться в пространстве. Второе утверждение составляет основу концепции каскадных процессов - взаимодействуют вихри сравнимых размеров (если размеры не сопоставимы, то маленькие вихри просто переносятся большими без обмена энергией).
Это заставляет обратиться к поиску специальных функций, более точно соответствующих структуре турбулентного потока. В теории турбулентности важную роль играет идея масштабного подобия. Это значит, что искомый базис должен быть составлен из подобных функций. Еще один недостаток использования рядов Фурье состоит в низкой информативности высоких частот. Хорошо понятен смысл рассмотрения вихрей с характерным размером /., Е/1, /./3,..., но отдельное описание масштабов /./957, /./958, /./959,... и т.д.
мало оправдано. Это соображение наводит на мысль о необходимости использования функций, масштаб которых изменяется прогрессивно — такое соотношение получается при равномерном разбиении пространства масштабов в логарифмическом представлении. Суммируя сказанное, можно сформулировать требования, которым должен удовлетворять функциональный базис, предназначенный для описания турбулентных потоков: 1) функции базиса должны быть локализованы и в физическом, и в фурье-пространствах; 2) функции должны быть подобны и описывать иерархию вихрей прогрессивно убывающих масштабов; 3) мелкомасштабные вихри должны переноситься в поле вихрей большего масштаба; 4) при подстановке в уравнения Навье - Стокса функциональный базис должен приводить к слабосвязанной динамической системе.
Рис.б.1 Попробуем построить базис, удовлетворяющий этим требованиям. Построения будемпроводить для двумерного случая, так как это упрощает иллюстрацию результатов и запись функций. Итак, имеем двумерное пространство ~. = (х, у) и соответствующее ему пространство волновых векторов й = (й„/~,).
Фурье-плоскость разобьем на кольцевые зоны (рис.б.1) таким образом, что для зоны с номером Ф 7с (1 /с!( lс„а, Каждая кольцевая зона включает, таким образом, одну октаву волновых чисел (напомним, что октавой называется интервал, в пределах которого частота изменяется в два раза). Рассмотрим, например, поле завихренности в(~,х, у) и представим его в виде в(~,х,у) = ) в„(~,х,у), (6.2) в, (~, х, у) = Ов(Г,х', у)д„(х — х', у — у)сй ссу'.
(6.3) Здесь я,(~) есть функция, фурье-образ которой ф,(Е) локализован в кольце ) в кольце М, УИ)= О вне кольца Ж. (6.4) В силу определения операции фильтрации (6.3)-Г6.4) и, следовательно, энстрофия распадается на сумму Г2 ~ 2с~- ~ Г1 г = ~1в 2 (6.5) Такую же операцию фильтрации можно применить и к полю скорости, разбив тем самым и энергию на сумму энергий, принадлежащих различным октавам волновых чисел Е=' Е =~ — ~У ЫГ.
Таким образом, мы провели первую часть построения - разбили исходное поле по масштабам. На втором этапе нужно провести разбиение полученных полей в„на сумму функций, каждая из которых характеризует поле завихренности данного масштаба только в определенной области пространства где каждая функция в, есть результат фильтрации в фурье-плоскости по соответствующему кольцу (6 .1): 75 (6.7) где ~,(с.) есть базисные функции масштаба М, с.,„-радиус-вектор центра вихря (функции). Функции ~,(с.) должны быть подобны и обеспечивать разряженную матрицу нелинейных взаимодействий Х„, „„в уравне- нии д,а „= ~~ Х „„,„„со„„,в„+..., (6.8) 6.1.1.
Одномерный иерархический базис Рассмотрим функцию ~(с), для которой существует преобразование Фурье, 1'~у >= 1~~х>с. "'""с2с. (6.9) Ось волновых чисел 7 ~напомним, что й = 2сст ) разбиваем на октавы у = 2' (рис.6.2) и вводим функции >= ~Гт) (6.10) вне зоны Рис.6.2 Очевидно, что ~Гу)=~~,~т). Полученные функции ~7, обладают замечательным свойством - они допускают периодическое продолжение на всю ось т с периодом 27„(рис.6.3) получающемся при проектировании уравнений Навье - Стокса на функциональный базис. При этом хотелось бы иметь полный ортонормированный базис функций.
Увы, удовлетворить всем приведенным требованиям не удается. Задача имеет решение в такой постановке только в одномерном случае. Одномерный базис, конечно, не имеет интереса с точки зрения описания турбулентности, но его построение представляет методический интерес и мы его проведем. 7б ( 1'„,(т — 2(т+1)у„) г.(,~=~ У', И вЂ” 2(т — 1)К, ) 2т,,т <у < (2т+1) „ (2т — 1)~„<т < 2ту„ Рис.6.3 Это позволяет разложить функции К,(т ) в ряд Фурье (6.11) где й, =1/(27,). Функции п,е '"'*"" образуют полный базис в классе функций 72„, а те же функции, определенные внутри зоны (6.10), - полный базис в классе функций 7" . Чтобы получить вид базисной функции в физическом пространстве, нужно взять обратное преобразование Фурье. Получается функция вида яп (х — Ь,п) Г" „(х) — соя — (х — Ь„п) — (х-и и) ~ 2п„ 2 (6.12) Вид функции (6.12) для п=о показан на рис.6.4.
Эти функции известны в математике как функции Литлвуда - Пелли. Функции медленно убывают в физическом пространстве (7,,„(х) — х '), что является результатом обрыва функций в пространстве Фурье. Все базисные функции взаимно ортогональны, то есть Рис.6.4 77 1У,„,~х)У,„<х)Ь =Ь,„Ь„„„ что следует из ортогональности функций в фурье-пространстве и инвариантности скалярного произведения двух функций относительно преобразования Фурье. Коэффициенты в разложении (6.11) определяются формулой А „= ~~(х)~ „(х)дх.
(6.13) Базисные функции имеют двойную индексацию. Большой индекс отвечает за масштаб, малый - за положение функции в пространстве. Увеличение индекса )~ на единицу сжимает функцию вдвое, увеличение индекса и на единицу сдвигает функцию вдоль оси х на величину й,. 6.1.2. Двумерный базис Простейший способ получения двумерного базиса состоит в определении двумерной функции как произведения одномерных ~ „, „,(х,у) = ~„„(х)~~,„(у), со(к,х,у) = ~~Г А „~~)о„„(г — г,), (6.14) где А„, - зависящая от времени амплитуда, в„,- осесимметричная базисная функция, у которой большой индекс отвечает за масштаб, а малый— за положение в пространстве, и ~„„- радиус-вектор центра функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
