Часть 2 (1161665), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

(6.63) Переход от функции ~ (х) к ее дискретной версии ~„(~) требует дополнительных пояснений, связанных с тем, что выборка Л производится не с по- о -а о 2 х -в -а о 4 х Рис.б.21 мощью б -функций, а с помощью некоторой сглаживающей функции ф(х). известные функции Хаара, не удовлетворительные, как отмечалось выше, с точки зрения локализации в фурье-пространстве. Примером гладких функций, образующих ортонормированный базис, является вейвлет, обозначаемый по фамилиям авторов аббревиатурой ЬМВ (1.етапе, Меуег, Ва111е). Графики функции ЬМВ и ее фурье-образа приведены на рис.6.21.

Функция 1.МВ убывает экспоненциально в физическом пространстве и по г- ' закону — в пространстве Фурье. Дискретное преобразование вводится для функции Г(х), заданной на равномерной сетке х, = ~лх, где лх — шаг сетки. Обозначая г, = г(х,.) и считая Лх =1, запишем вместо (6.60) у; = ,'Г Г и „,„ц~ „(~ — пг 2'" ), (6.62) 97 Более подробно процедуру построения дискретного вейвлетпреобразования рассмотрим на примере алгоритма Малла с переменным разрешением (пш111гею1и11оп жаче1е1 а1яог10пп), который последовательно вычисляет коэффициенты разложения, переходя от меньших масштабов к большим. Пусть исходная функция г(х) принадлежит пространству интегрируемых в квадрате функций ~'(л).

Обозначим подпространство функций, аппроксимирующих Ь'(Я) с разрешением а„= 2 как [~ . При этом ~~ о « ~~„. Построение начинается с разрешения ао =! (м =О). Отметим, что в отличие от иерархических моделей здесь увеличению индекса М соответствует переход к большим масштабам (более грубому разрешению).

Обозначаем за 7" соответствующую аппроксимацию функции ~. На практике функция Г' с точностью до заданной погрешности совпадает с Г и служит исходной для начала вычислений. Предполагаем наличие базисных функций фо(х-~), которые только путем сдвига вдоль оси создают полный ортонормированный базис в пространстве о'о (6.64) где з,' - коэффициенты разложения я,'(х) = ) Г" (х)ф'(х — 1)о1х.

(6.65) ф(х) — быстро убывающая функция, что позволяет интерпретировать коэффициенты ьо как дискретную выборку функции 7о с разрешением на сетке с шагом а =1. Условие ортогональности есть (х — ф (х — 7)сй =О„.. При переходе к более грубому разрешению а„= 2" используется пространство ~~, описывающееся базисом ф, функции которого получаются растяжением исходной функции ф„ м ф м (х) = 2 ' ф о (2™ х). Дискретная выборка функции 7'(х) с разрешением и = 2 есть набор коэффициентов ~,.'" и ~~о( )фм( 2м )~ Поскольку [~ „«~»„, то базисные функции масштаба И+1 можно выразить через базис масштаба м: ф" '( — 2"'~)= ~ 1ф" '(*' — 2"'ф" ( ' — 2" ~~о]ф" ( — 2" ~) (6.69) / †.с или ф (х — 2 г)= ~Ь,ф (л — 2 у), 3 — "..

(6.70) где (6.71) Из (6.69)-(6.70) следует, что коэффициенты к " можно определить, используя только коэффициенты х ,М-1 ~~~ ~,М м ~р м (х) = 2 2 ~ о (2 м х) (6.73) предполагающее, что совокупность функций ~ " образует ортонормальный базис в О,. Тогда совокупность всех ~~ (М = 0,1,2...) образует полный ортогональный базис для Чо. Коэффициенты вейвлет-разложения есть (6.74) Переход от 5 к х" ' соответствует очередному огрублению исходных данных путем их выборки из последовательности х" с весовой функцией й. С увеличением числа точек количество операций растет только геометрически и (6.71)-(6.72) может служить основой быстрого вейвлетпреобразования (БПВ, по аналогии с быстрым преобразованием Фурье БПФ).

Очевидно, что функции ф ' не могут быть ортогональными функциям ф'", так как образуемое ими пространство ~' „содержится в пространстве ~~„. Основная идея алгоритма БПВ состоит в построении вейвлет-базиса путем использования разности информации, содержащейся в различных масштабах. Соответствующее пространство обозначается как О „. О ., ортогонально $м,(О,~Лм,), а О, и 1'„, составляют ~~м(Ом„О+~, =[~м). Вейвлет ~м" (х-2 '~) определяется как базисная функция для пространства О„,.

При этом остается справедливым соотношение типа (6.67): 99 а так как функции ~ ' относятся к пространству О „, а О,„„~ ~~, то у""( — 2" '/)= г[1у""( ' — 2"'ф "( ' — 2'"у)й)~'"( — 2'"у), (6.75) что приводит к формуле (6.76) где (6.77) Видно, что для определения коэффициентов вейвлет-представления данного масштаба требуются не исходные данные, а только результаты, полученные для предыдущего масштаба. При восстановлении функции г процесс идет от крупных масштабов к мелким и на каждом шаге .; = ~~ь, „.",'+,, „.,"~.

Следует указать также связь между коэффициентами я,, й, и дискретной формой вейвлет-функции ~ ®. Так как то, в конечном итоге, (6.79) где Остановимся теперь на вопросе о выборе конкретных функций ~ и у . Выше для них были сформулированы следующие требования: 1) все вейвлет-функции ортонормальны ~ Ч „(х — т. 2 М Дх — и 2' )Их= Ь ~~5 „ (6.80) 2) сглаживающие функции ф" (л-2 г) ортонормальны для заданного значения М 1оо )ф" (х — 2 ф (.х — 2'" 1')с1х=до. (6.81) 3) вейвлет-функции ортогональны сглаживающим функциям того же масштаба )ф (х — 2 г)у (х — 2 уЫх=д,,. (6.82) а сглаживающая функция ф 1 1де 0<х<1 ф(х) = 0 аеу1д1-'.-до х. ) Дискретные фильтры для БПВ получаются из (6.71) и (6.77) и, соответственно, равны 11,=Ь, =д,=г-"', д, =-ц, (6.83) б) Другой предельный случай — одномерные иерархические функции (они же функции Литлвуда-Пелли) для которых доказывается полнота и ортогональность.

Их же называют иногда полосовыми фильтрами и, в последнее время, фурьелетами. Так как они вырезают определенную полосу в пространстве Фурье, то удобней и действия проводить в пространстве частот, а вместо а и е пользоваться их фурьеюбразами л и я.

Ь(1с)= ~~> Ь,.е ", ф(1с)= ~Гд,.е " Для них 2-' 1 де — — < 1с <— х л 2 2 0 1де 1д1-:-ео 1с г'е"' " де — < ~Ц < 0~1 )= 2 0 1де 1'д1 —:ео х (6.84) Не трудно получить и соответствующие дискретные фильтры в физиче- ском пространстве Приведем примеры ортогональных вейвлетов и соответствующих им дискретных фильтров Ь,, е,. а) Простейшей ортогональной системой является, как уже отмечалось, система функций Хаара. Для нее 1 1де 0<х<05 ~р (х) = — 1 1 де 0.5 < х < 1 0 аеу 1'д1-:-ео х, вп сГ2 . го) 2~Г2 .

я(~' — 1) З () — 1) (6.85) Существенная нелокальность базисных функций в физическом пространстве делает более практичной реализацию быстрого алгоритма для фурье- образа исходного сигнала. в) Вейвлет 1.МВ. В фурье пространстве (6.86) где Г.®= „'Г(~+2 ) ". г) В качестве последнего примера приведем семейство вейвлетов Добеши.

Функции Добеши замечательны тем, что определены на конечном интервале, за пределами которого они тождественно равны нулю и, в то же время, функции и раз дифференцируемы. Плата за это — несимметричность функций. Ниже приводятся таблицы значений для 4 и 8 точечных фильтров, соответствующих функциям Добеши первого и третьего порядка (функции Добеши нулевого порядка совпадают с функциями Хаара).

Четырехточечный фильтр Добеши: ьо =(1+ Гз)(4 Г2) ь, = (з -,Гз)(4,Г2) (6.87) оо 3' я1 г' яг ~1 0о 'го Восьмиточечный фильтр Добеши: ~ф)= ~" г„г;„'(~)г,;— ф ® = ~-"(г,„(~)) ь(~) = (2'-'" г,„(~)г;„'(2~)1- у(~)=е-'"ь(~+ ) (з+,Гз) 4 ~Г2 ~4 ~~2 102 Ь 2 = 0 230377813309 Ь, = 0.714846570553 12О = 0.630880767930 Ь, = -0.27983769417 Ь, = -0.187034811719 У вЂ” 1 '24 4О У~ ~г А2 2! а2 = — 12, д4 =Ь, (6.88) Ь, = 0.30841381836 Ь, = -0.010597401785 Ь, = -0,010597401785 У5 — 2 6.6. Вейвлет-анализ временных колебаний гидродинамических систем Во второй главе мы подробно рассматривали характер колебаний, возникающих в системах гидродинамического типа в надкритических режимах, то есть при относительно небольшом превышении характеристическим параметром (например, числом Релея) критического значения. При этом по мере стохастизации течения спектры становятся сплошными, а признаком развитой турбулентности служит развитый инерционный интервал.

Однако, это не означает, что в развитых турбулентных течениях отсутствуют выделенные крупномасштабные пульсации. Экспериментальные исследования турбулентной конвекции в замкнутых объемах показывают, что течения на масштабах, сравнимых с размерами самой полости, характеризуются целыми сериями выделенных частот, причем периоды колебаний могут в тысячи раз превышать время оборота жидкости в полости. Эти результаты подкрепляются и наблюдениями за природными системами.

Так Солнце, являющее собой крупнейшую из доступных прямому наблю- дению конвективных ячеек ~4Ятй 1' 1: 71 (именно конвекция является ос- 2 ~~!:.'*,,'.:44~ новным источником движения на 14" Солнце и характеризуется она гигантским значением числа Релея), демонстрирует целый набор циклов с периодами от нескольких дней до тысяч лет. В качестве примера прило- 1 жения веивлет-анализа к исследованию временной изменчивоРис.б.22 сти сложных гидродинамических систем мы рассмотрим результа- ~оз ты анализа солнечной активности по двум характеристикам: вариациям числа групп солнечных пятен и вариациям солнечного диаметра.

О том, что на Солнце есть пятна, знает каждый школьник. О том, что число этих пятен колеблется и достигает максимума примерно каждые 11 лет, знают почти все. Менее известен факт, что число пятен связано с интенсивностью магнитного поля Солнца. Эту связь поясняет рис.6.22. Магнитное поле Солнца имеет полоидальную компоненгу (силовые линии выходят на поверхность вблизи одного полюса и заходят вблизи другого) и более мощную азимутальную - ее силовые линии образуют замкнутые кольца внутри конвективной оболочки Солнца. Когда напряженность магнитного поля растет, то вследствие неустойчивости на этих магнитных линиях возникают гигантские петли, выходящие за пределы конвективной оболочки. В местах выхода магнитное поле направлено вертикально и подавляет конвективное течение, приносящее горячую плазму из недр Солнца.

Характеристики

Список файлов лекций