Часть 2 (1161665), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Используем введенное выше разбиение спектральной плоскости на расширяющиеся кольцевые зоны (6.1) и определим базисную функцию таким образом, что ее фурье-образ равен константе в пределах соответствующего кольца: однако, такие функции не являются изотропными и не удовлетворяют требованию подобия. Последнее обстоятельство не оставляет надежд на получение простой динамической системы для коэффициентов разложения.
Исходя из локальной изотропии мелкомасштабной турбулентности и стремления получить базис, образованный разномасштабными, но однотипными функциями, построим относительно простой, но «не совсем ортог опальный» базис. Итак, раскладываем поле завихренности в ряд 78 ае '"'"" у <!у Му„,, й,„(у )= о вне зоны (6.15) Экспоненциальный множитель задает сдвиг центра вихря в физическом пространстве (см. теорему о сдвиге и другие свойства преобразования Фурье в параграфе 2.4.2 части 1). Коэффициент а может быть выбран из условия нормировки ~й,„е(у = ), которое дает 2 а= 2- где е есть единичный вектор, перпендикулярный рассматриваемой плоскости. Чтобы получить вид функции в физическом пространстве, нужно взять обратное преобразование Фурье от (6.15). Соответствующие вычисления дают (6.17) 2 (ю х е) (.Уо(2к) — 1о(~)1 х о .
о ~(з (6.18) /л „!' 2у, (28) — )', (е) ) 'уз (6.19) где з=оо2'!е — г,,„!, а У,(е), у,(е) есть функция Бесселя. Базисные функции для скорости и завихренности показаны на рис.6.5. Мы оставили без внимания вопрос о количестве базисных функций и об их распределении в пространстве. Плотность функций в физическом пространстве можно оценить исходя из принципа неопреде- Рис.6.5 Наряду с базисными функциями для завихренности можно записать и функции для функции тока и скорости. В фурье пространстве все три функции связаны простыми соотношениями: — 1 Ф .(у )=,, й „(у ) 4 Р„„(у )=2оп'(еху )!У„.(у ), 79 ленности.
Если области локализации в ~ и й пространствах имеют, соот- ветственно, размеры ~~ и лй, то, требуя (6.20) ЛЫЙ = 2к, получаем, что плотность функций заданного масштаба р, связана с площадью области локализации функции в пространстве фурье л5, как Л5, Зк 4л' 4 (6.21) При вычислении (6.21) учли, что Л5„есть площадь кольцевой области (6.1). Формула (6,21) отражает тот факт, что число вихрей при переходе от масштаба к масштабу растет в четыре раза (естественно, что в трехмерном случае это отношение будет равно восьми). Вопрос о распределении функций в пространстве более сложен.
Формулируя требования к базису, мы хотели воспроизвести структуру турбулентного потока, в котором мелкие вихри переносятся крупными. Это означает, что радиус-вектор центра функции должен подчиняться уравнению (6.22) Подчеркнем, что суммирование в (6.22) ведется по всем масштабам, большим данного.
Введенный таким образом базис ортогонален по индексу м, так как в фурье-пространстве функции различного масштаба занимают неперекрывающиеся области. Неортогональность функций по малому индексу, отвечающему за положение вихрей в пространстве, можно оценить путем вычисления интеграла ~ в„в,„Ю для двух вихрей одного масштаба, расположенных друг от друга на расстоянии р, "', равном среднему расстоянию между вихрями данного масштаба. Такая оценка дает для функций (6.19) значение порядка 0,1.
6.1.3. Трехмерный базис Построение иерархического базиса для трехмерного скалярного поля принципиально не отличается от двумерного случая. В пространстве Фурье функции локализуются в сферических слоях и, после перехода в физическое 80 пространство, получаются функции со сферической симметрией, имеющие вид ,,с„Яп 2з — 2ксо82ь — Яп з+ Ясо8з сса 3 > Ю (6.23) Р „, =а(е, хх)г" „(,с).
(6.24) Здесь е„- единичный вектор, направленный вдоль одной из осей координат, а ~',„(~) - скалярная функция с шаровой симметрией. б.2. Иерархическая модель двумерной турбулентности Используем функциональный базис, введенный в п.6.1.2 для построения модели двумерной турбулентности.
Речь идет именно о модели, а не о прямом численном расчете с помощью этого функционального базиса, так как базис не является строго ортогональным и не решает проблемы граничных условий. Рассмотрим уравнение для завихренности д,со + (Ф)со =несо (6.25) и спроектируем его на базис (6.14)-(6.19). Получаем уравнение вида ,~~с~Ассв~~ сслсди = ~~» ~~~~~сспутссАмпАсс +~ ~~~~АсувгКц~ущ (6.26) где сс мю ~ мп мю (6.27) мьыю ~ сса мт (6.28) и чяи ~ ми( м~и ) и (6.29) где сс - нормировочный коэффициент, а 5 имеет тот же смысл, что и в двумерных функциях. Для векторных полей ситуация отличается, так как появляется третий индекс, связанный с ориентацией вихря в пространстве. Так, например, функцию для поля скорости можно записать в виде 81 Элементы матриц Р,м,„, К,„„, и Е,м „,м зависят от времени, так они зависят от взаимного расположения взаимодействующих вихрей, а положения вихрей меняются в соответствии с уравнением (6.22).
Энстрофия и энергия системы определяются выражениями Р№м А№,Ам,» Фп Ме Е = ' ~ Р„'„...„А№, Ам,„, (6.30) (6.31) № Ме~ где М~ №~Мв~ ) Мл М~в й~ (6.32) На этом этапе делается первое сильное предположение, состоящее в том, что мы пренебрегаем недиагональностью матриц Р, Р' и К по малому индексу (по большому индексу матрицы диагональны в силу способа разбиения пространства волновых векторов).
Тогда й=~~> А„ Е=Е Х2 2ФА (6.33) а уравнение (6.26) принимает вид д,А „=~ '~ К№„мм,Ам„,Ам — мКо2~ А (6.34) Следует подчеркнуть, что диагональность матрицы Р не влечет за собой диагональности матрицы К (этим замечательным свойством обладает представление функций в ряд Фурье) и последнее является самостоятельным предположением. Ясно, что степень простоты (или сложности) получаемой модели зависит от структуры матрицы нелинейных взаимодействий Е,„„„„,. Перед тем, как приступить к следующим конкретным шагам по упрощению модельных уравнений, проанализируем общую структуру этой матрицы.
Для этого запишем вид ее элементов в пространстве Фурье Рис.б.б Л„„мм = ~оэ,„ГЧ„,„Ч) мсУР =2гг1ой,„(у-ККч„,„(у--у-') о„Г у')27 1у-'. (6.35) Интегрирование в (6.35) ведется по пересечению областей 2м ! - -~! 2м-1 2 <1у 1<г -', 2' <17'1< 2' ', (6.36) " АпгеП Е., Гг1с1г Р., ЯЬаЫпгоч Ч. Н1егагаЬ!са! Ггее-гпог1е1 о!' Гччо-г1Ьпепяопа! ГпгЬп1епсе Л РЬуяса 1Э, 1994.
Чо!.72. Р.95-109. что и определяет характер заполнения матрицы. Все три условия (6.36) выполняются только в случае, если два из трех индексов гЧ, м и ~ отличаются не больше, чем на единицу. Это означает, что все ненулевые элементы матрицы сосредоточены вблизи диагоналей Ч=М, 1Ч = 1. и 1.=М, причем третий индекс может сильно отличаться от двух, близких по значению, но быть меньше последних (можно построить треугольник из двух длинных отрезков и одного короткого, но нельзя построить из одного длинного и двух коротких).
Структуру матрицы иллюстрирует рис.6.6, на котором помечены все ненулевые элементы матрицы. Черным цветом выделен элемент т„,, а крестиками — диагональ 2;,„, Дальнейшее построение модели требует новых предположений и ги- потез, которые могут быть сделаны г11г-,р раЗЛИЧНЫМИ СПОСОбаМИ. НЕ ОСтанавливаясь на альтернативных способах, мы кратко опишем моу 11 дель, рассмотренную в работе, и !г приведем некоторые результаты. /11М/~ Ц~ ~ 6 Рц ~16 Модель называется иерархической потому, что базисные функции образуют иерархическую структуру, условно изображенную Ф Ф на рис.6.7. Совокупность вихрей одного масштаба будем называть ярусом. Каждый вихрь данного 1+2 яруса несет на себе четыре вихря следующего и так далее. При этом Рис.6.7 предполагается, что меньший вихрь переносится большим без деформации, то есть меньший совершает строго осесимметричное относительно большего движение, которое описывается уравнениями для центра вихря (6.22).
Это предположение означает, что расстояние между цент рами пары вихрей, связанных вертикальной связью на схеме рис.6.7, остается постоянным. Следующий шаг касается вида матрицы нелинейных взаимодействий (6.29). Обязательным условием является соблюдение законов сохранения- 83 уравнения при отсутствии диссипативного члена должны сохранять энергию и энстрофию, определенные выражениями (6.33). Для того, чтобы обеспечить сохранение квадратичных величин, нужно чтобы они сохранялись в единичном взаимодействии трех вихрей. Перепишем уравнение (6.34) в виде И,Ад„— — '~ ~ Т,„, „„,А~,„А„— чК02 Ал,„° (6.37) Т, „„,(Г „,>,„,>;„) =Т „,(т;„„,7;„) = 2~ Т,, (2 г„„„2 г„,), (6.38) где г,„„= г,„— г „и >;„= гц — ~; „.
С учетом (6.38) запишем условия сохранения энергии и энстрофии, используя только большие индексы матрицы: (6.39) (6.40) ~юп' ' . ~~~','-'.л~.ь 2 ~м -' л. Т „,. „„, + 2 ' Т „„„,, ~- 2Т... „, = 0 . Отметим, что наличие двух законов сохранения исключает наличие ненулевых ~в~~ диагональных членов и оставляет в матрице только элементы трех типов, вошедшие в соотношения (6.39)-(6.40). Решая А 4" систему (6.39)-(6.40), выражаем все элементы через один, который для упрощения обозначений переобозначим как т, (индекс 7' характеризует степень удаленности взаимодействующих вихрей: 7' =1 означает, что взаимодействуют вихри из трех последующих ярусов; 7' = 2 соответствует взаимодействию двух вихрей из соседних ярусов с третьим, который отстоит от них через один ярус, и т.д.), А 0 Аью Рис.6.8 2 1 — 2" Т„ ,, „, = 2 Т,' = ,., Т,, 2"' — 2 где матрица Т включает все взаимодействия между данной тройкой вихрей (матрицу Лсложили вдоль диагонали 7.=М) Т,„.„=Л„, „„+й„,„,„и заме- тим, что элементы матрицы Т зависят только от относительного положе- ния трех вихрей и отношения их масштабов (номеров ярусов) з г" т„,,„,.„, =г'т,".= .', .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
