Часть 2 (1161665), страница 10
Текст из файла (страница 10)
вала масштабов и возбуждении на про- 59 5.4. Перемежаемость в двумерной турбулентности 10* Мы видели, что в двумерной турбулентности, как и в трехмерной, получаемые спектральные распределения отличаются от законов, предсказываемых из соображений размерности. Локальная структура оказывается значительно сложней, чем предполагает гипотеза о статистической однородности турбулентности. В этом параграфе мы попытаемся дать количестве нные характеристики перемежаемости в двумерной турбулентности на основе модели Ше — Левека - Дюбрюль и сравнить полученные характеристики с теми, что были получены для трехмерной турбулентности.
Мы будем использовать результаты тех же трех численных экспериментов (А, В, С), о которых уже шла речь выше. Приложение модели, описанной в параграфе 4.5.3, к двумерной турбулентности требует ряда дополнительных комментариев. Прежде всего, нужно остановиться на вопросе о том, что понимать под величинОй 11,. ЭтОт вОпрОС раСпадаЕтСя, в свою очередь, на два: какую из двух квадратичных величин (энергии и энстрофии) рассматривать и что конкретно и как измерять в численном 104 10-' 10 ' 10 "1 1О* 1 104 10' 1а* 1О' 10 4 1а-' 10" 10 ' 10 4 101 <ЕИ') 10 ' Рис.5.14 межуточных масштабах. Влево от масштаба возбуждения формируется инерционный интервал переноса энергии и спектр близок закону «-5/3» (5.14). Справа от масштаба возбуждения присутствует достаточно широкая область (й, < й < ~„), в которой нет выраженного степенного закона.
Эта область масштабов соответствует тем самым изолированным вихрям (когерентным структурам), о которых шла речь выше. Далее (й,о < ~ < йо) виден инерционный интервал переноса энстрофии, наклон спектра в котором в этом численном эксперименте близок к «-4». бО (5.26) равную потоку завихренности через границу области (квадрата) со сторо- ной 1. Далее, следуя модели ШЛБ (см.
п.4.5.3), введем величину э.о Требуется доказать справедливость гипотез и предположений, лежащих в основе модели. Модель ШЛБ включает в себя идею расширенной автомодельности (ЕЮ). Для начала необходимо убедиться в том, что она работает в двумерной турбулентности. На рис.5.14,а показаны структурные функции поля скорости четных порядков (д= 2,3,4,6,8,10,12.) и третьего порядка, вычисленные в эксперименте В и представленные в двойных логарифмических координатах как функции масштаба. На рис.5.14,б эти же структурные функции представлены с использованием идеи расширенной автомодельности, то есть по оси абсцисс отложена структурная функция третьего порядка.
Можно видеть, что линии на графике выпрямляются, но особенно на- ьо 1 ю э.о ьо ю' 1 эо-' ю4 Рис.5.15 эксперименте? Мы уже обсуждали выше вопрос о том, что вместо скорости диссипации энергии, которая традиционно присутствует во всех моделях турбулентности, следует рассматривать спектральный поток, который реально определяет динамику инерционного интервала.
В двумерном случае речь может идти о потоке энергии, либо о потоке энстрофии. Численные опыты показывают, что использовать можно и ту и другую величину, причем независимо от того, рассматривается ли интервал переноса энергии или энстрофии. Сгатистически более устойчивые результаты получаются при вычислении потоков энстрофии. Итак, определим в качестве характеристики спектрального потока на масштабе 1 величину б1 глядно эффект виден на рис.5.15, где показаны степенные показатели ~,, 1О> с0Е+ >1<00> 10 11 10' 004 „101 <10юГ> 1О 1 10' 1а> 1 10' <! 10.1 10-1 Рис.5.17 Рис.5.1б 10-* $0> вычисленные соответственно по данным рисунка 5.14,а и 5.14,б.
Если в первом случае (рис.5.15,а) на графике вовсе отсутствуют горизонтальные участки (а именно они и должны подтверждать наличие инерционного интервала), то во втором случае (рис.5.15,б) выраженные горизонтальные участки появляются, по крайней мере, для о <8. Следует обратить внимание на то, как быстро растет уровень ошибок с ростом порядка структурных функций.
Таким образом, применение ЕЮ действительно помогает выделить инерционный интервал и определить значения степенных показателей. Следующим положением, требующим проверки, является существование предельной величины 10> л,"~5.27) и возможность ее получе- <к "> ния с помощью поддающихся измерению моментов относительно небольшого порядка. Наличие преде- 10 ' ла последовательности (5.27) под- А тверждает рис.5.16, причем можно видеть, что последовательность сходится уже при ц = ~0.
Убедив- в шись в существовании предельной ! величины л,", можно приступить к А 00 непосредственной проверке третьей гипотезы модели ШЛД (4.92), ка- Е сающейся наличия степенного за- Ео -1 10' кона у величины ~е,. На рис.5.17 Рис.5.18 показана последовательность гра- б2 фиков величин<в, >/<л,(7) > для все возрастающих значений д, полученных также для данных эксперимента В.
По оси абсцисс отложены значения структурной функции поля скорости третьего порядка. Использованы логарифмические координаты. Можно вцдеть, что последовательность сходится и в интервале каскадного переноса энергии (~, < ~ < й,) предельная функция подчиняется степенному закону. Наклон прямой дает значение показателя степени в законе (4.92) Л = 0.47. Аналогичные измерения, проведенные в эксперименте А для инерционного интервала переноса энстрофии, дали значение Л = 0.13.
Близкие значения были получены и в эксперименте С, где одновременно наблюдались оба ингервала (л =0.4 для интервала переноса энергии и Л =0.1 для интервала переноса энстрофии). Заметим, что малые значения ~ соответствуют низкому уровню перемежаемости (в трехмерном случае Л = 0.67) и, следовательно, полученные результаты свидетельствуют о том, что именно в инерционном интервале переноса энстрофии перемежаемость почти отсутствует (несмотря на то, что отклонение от ожидаемого закона «-3» очень значительно).
Вторая гипотеза модели ШЛД (4.91) может быть проверена двумя способами. Можно строить моменты различного порядка <л,' > как функции момента первого порядка, проверяя тем самым справедливость соотношения (4.94), вытекающего из (4.92). При выполнении гипотезы на графиках должны выделяться инерционные интервалы, а углы наклона дадут оценку параметра Р .
Такой график, построенный для эксперимента С, показан на рис.5.18, на котором хорошо различимы оба инерционных интервала. Возможна и прямая проверка формулы (4.92). Этот способ иллюстрирует рис.5.19, на котором сведены вместе результаты вычислений для экспериментов А и В. В точном соответствии с формулой (4.92) строятся отношения последовательных моменгов друг от друга.
Каждая группа точек соответствует определенному значению величины О. При невыполнении связи (4.92) эти группы точек дали бы непараллельные отрезки (либо вообще не отрезки), а при выполнении равенства с отличающимися константами А, отрезки были бы параллельны, но не лежали бы на одной прямой. 01 0.1 <Я1Р>/сЖ1Р"1 > Рис.5.19 63 Таким образом, рисунок свидетельствует о выполнении соотношения (4.92), причем с одинаковыми константами А,. Последнее обстоятельство свидетельствует в пользу логпуассоновского закона распределения случайных величин. Вычисленные значения параметра ~ дали близкие, но отличающиеся значения (~3 = 0.7 в интервале переноса энергии и ~ = 0.55- в интервале переноса энстрофи и). Вернемся к вопросу о физическом смысле гипотез, лежащих в основе модели. В соотношение (4.91) (и/или (4.81)) входят относительные моменты, каждый из которых также можно записать в степенной форме вида (5.28) Последовательность показателей б, ограничена, с одной стороны, членом ~о~ б„характеризующим поведение среднего значения потока Ч, =<в, >, и членом б„,, отвечающим за поведение ч,' ', с другой стороны.
Ряд б, образует неубывающую последовательность и может иметь одну из следующих четырех форм ~рис.5.20): случай 8 а) соответствует модели К41 (й„= О); случай б) характеризует ситуацию, когда даже момент первого порядка зависит от масштаба, но степень неоднородности не растет с ростом порядка (б, =-У); случай в) воспроизводит картину, заложенную в модель Ше - Левека (среднее значение не зависит от масштаба усреднения, но существует предел для больших моментов, б, = О, б.
= 2/3); и последний случай г) описывает ситуацию, когда среднее значение зависит от масштаба, но показатель растет с ростом о. Легко видеть, что гипотеза (4.92) эквивалентна утверждению (5.29) то есть параметр л в модели ШЛД характеризует разность б., -б,. Ряд 5, можно представить тогда в виде Рис.5.20 (5.30) где й(д) есть монотонно убывающая функция, такая, что й(о) =1, а й(= ) = О. Простейшая подходящая функция есть экспонента й(ф=ехр(-аф, причем а=5, (о)/(~,Л). Непосредственная подстановка (5.30) в (4.81) показывает, что вторая гипотеза Ше - Левека равносильно предположению об экспоненциальной форме функции Ь® и Р =ехр1 — а1.
Возвращаясь к результатам численного моделирования двумерной турбулентности, нужно отметить, что ее поведение различно в интервалах переноса энергии и энстрофии, но нигде не соответствует модели ШеЛевека (т.е. рис.5.20,в). В интервале переноса энстрочми уровень перемежаемости низок (неблизка к нулю), но первый момент потока л (среднее значение) зависит от масштаба усреднения. Такая ситуация отвечает случаю, показанному на рис.5.20,б, и вызвана наличием сильных изолированных вихрей. Именно с вихрями связано сильное отличие в спектре инерционного интервала энстрофии (а не с перемежаемостью, как таковой). Более сложно поведение в интервале обратного каскада энергии.
Уровень перемежаемости в нем близок тому, что получается в трехмерных течени° Чф~ ях, но в отличие от последних 5, ~ О. Это означает, что нарушается основная гипотеза Колмогорова относительно постоЕ янства потока энергии по спек- СФ тру! Естественно, речь не идет о нарушении закона сохранения энергии и нужно еще раз обратить внимание на определение величин ч, (5.26) (и величины а, в случае трехмерной турбулентности). Эта величина характеризует интенсивность процессов переноса энергии независимо от их направления. Это означает, что полученный нами результат свидетельствует о наличии потоков энергии, обратных основному направлению переноса, и общая интенсивность потоков изменяется с изменением масштаба. Качественно такой сценарий переноса энергии по спектру иллюстрирует рис.5.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
