Часть 2 (1161665), страница 5
Текст из файла (страница 5)
4.5. Фракталы и турбулентность Ъ ~ ~в ~~в ~» ЮЪ Ф» с» к» м а~ ° ЬООО ЬСьЬО ЬООО ООЬЬ ы'* ос> о ~:3 С:3 СЪ сз Рис.4.6 Идея использования фракталов для описания структуры поля диссипации энергии впервые была высказана в работе Новикова и Стьюарта в Колмогоровская модель однородной турбулентности (К41) подразумевает равномерное заполнение пространства вихрями каждого масштаба.
Такую структуру турбулентности иллюстрирует рис.4.6,а, на котором схематически изображен каскад энергии от вихрей большего масштаба к вихрям меньшего масштаба и для простоты представлена ситуация, когда каждый вихрь данного масштаба имеет под собой два вихря меньшего. При этом вихри каждого масштаба занимают все пространство (на рисунке оно одноме рно). Иная картина соответствует турбулентности с перемежаемостью (рис.4.6,б). В рамках аналогичной схемы в этом случае часть вихрей не получает энергию от вихрей верхнего уровня. На следующем уровне энергия оставшихся (активных) вихрей вновь передается только части вихрей и так далее. В результате в пространстве образуется многомасштабная система активных и пассивных областей, которая по построению представляет собой фрактальное множество (см.
п.2.6 части 1). 28 1964г.' Простейшая динамическая модель инерционного интервала, приво- дящая к фракталам, предложена в работе . Эта модель, названная автора- 3 ми Р -моделью, описана в следующем параграфе. Фракталы принесли в теорию турбулентности еще одну важную идею - идею о неоднозначности масштабных показателей, иначе говоря, идею о сосуществовании в развитых турбулентных полях подмножеств с различными законами масштабного подобия (скейлинга). Напомним, что уравнения Навье - Стокса подчиняются шести прин- ципам инвариантности, то есть, допускают шесть видов преобразований, при которых любое решение уравнений й(гл) остается решением этих уравнений: 1) пространственный сдвиг, 2) сдвиг по времени, 3) преобразование Галилея, 4) четность, 5) вра!цение, 6) масштабная инвариантность (скейлинг).
Последнее свойство означает, что уравнения Навье - Стокса инвари- антны к преобразованию г,г,й! — э7' "1,Хг,Х "т Действительно, такое преобразование приводит к появлению в уравнениии движения следующих множителей 7-г 1п —, + 7-г -11(;,тг)-, + -~АР) ч7„- -гд-, При конечной вязкости инвариантность (подобие) обеспечивается единственно возможным решением а =1, эквивалентным требованию постоянства числа Рейнольдса (во сколько раз увеличивается масштаб, во столько же раз должна быть уменьшена скорость).
Однако, при ч — эо масштабное подобие обеспечивается любым а. К41 дает решение а =1/3, монофрактальная модель типа р -модели приводит к другому, но также единственному, решению. Бифрактальная модель (параграф 4.5.2) предполагает сосуществования в потоке двух подмножеств с различными законами подобия (различными а), а мультифрактальная модель (параграф 4.5.3) рассматривает непрерывную последовательность таких подмножеств, приводя к понятию мультифрактального спектра.
Новиков Е.А., Стьюарт Р.В. Перемежаемость турбулентности и спектр диссипапии энергии д Изв. АН СССР: Серия геофизическая. 19б4. кг!З. С.408-413. ' Рг!зсЫЗ., 8п1егп Р.-Ь., !че!!ап М. А з!пгр!е с1упаппс пгоде1 оГ !п!егпг!иеп! Гп!1у с1ете!прес! !пгьп1епсе // У Р!и!д Мес!гап!ся. 1978. Чо1.87. Р.719-73б. 29 4.5.1. Р -модель Обратимся к турбулентности в кубической области и рассмотрим последовательность масштабов а 0 Π— 3 ~1„= ~3" =Ь =2"" ", (4.57) а 1Э есть фрактальная размерность активной области. Величина 1=3 — 1э, равная разности размерности пространства и размерности фрактального множества, называется коразмерностью и просто связана с параметром 11: Рис.4.7 1п2 1п 13 (4.58) Рассмотрим теперь каскад энергии в такой модели. Характерное значение пульсации скорости на масштабе 1„обозначим как М„. Тогда характерное время (время оборота вихря соответствующего масштаба) есть ~„-1„1й„.
При сплошном заполнении пространства (случай однородной турбулентности) плотность энергии пульсаций масштаба п (4.59) а скорость переноса энергии через данный масштаб есть На каждом масштабе и исходная область разбивается на кубики с ребром 1„, общее число которых есть М =(1О11„)' =2'". Следуя схеме рис.4.б,б, будем считать, что при переходе к каждому следующему масштабу активной остается только заданная часть кубиков 11, причем эта часть есть величина постоянная, являющаяся параметром модели. Двумерная картинка, соответствующая такому построению с 11 = 3/4, представлена на рис.4.7.
На масштабе и число активных вихрей есть М =М~3„, где зо Е„й„' 1„ (4.60) Тогда из гипотезы постоянства потока энергии в любом масштабе, относящемся к инерционному интервалу, я „= Г = сопя~ (4.61) немедленно получается колмогоровское выражение (4.62) Е„-й„~3„. (4.63) Гипотеза (4.61) остается в силе - поток энергии по-прежнему постоянен, но, по мере движения к малым масштабам, он сосредотачивается все в меньшей части пространства.
Следовательно, ~3 "й„ Е„ Е Р! (4.64) а вместо (4.62) получается следующая оценка для пульсаций скорости: ( — )1л .„~з — !~~ Я ! (4.65) Очевидно, что фрактальная размерность о не может быть меньше двух, так как в этом случае интенсивность пульсаций скорости будет нарастать с уменьшением масштабов. Получим теперь оценку для структурных функций произвольного порядка. Имеем или д (3- й)(3- О) = — + 3 3 (4.67) В отличие от логнормальной модели, которая дает квадратичную поправку к колмогоровскому закону д/3 для масштабных показателей, ~3 В ~3 - модели энергия данного масштаба сосредоточена только в активной части потока и средняя плотность энергии на этом масштабе равна З1 модель дала линейную поправку, которая удовлетворяет условию ~, =1, но нарушает требование ~, = О.
4.5.2. Бифрактальная модель В основе ~ -модели лежит представление о турбулентном поле скоростей, как об однородном фрактале, характеризуемом единственным параметром. Даваемый этой моделью результат представляется разумным для больших д, где линейная зависимость ~(д) хорошо согласуется с известными экспериментальными данными, однако вступает в явные противоречия и с экспериментальными данными, и с теоретическими соображениями при д-+О. Среди попыток усовершенствования р -модели можно выде- > лить две. Первая - это так назы- У Т' ~ ваемая случайная р -модель. Если Г в стандартной р -модели области у /3 делятся на активные и пассивные, то есть вероятность того, что турбулентность в данной точке существует, равна либо нулю, либо единице, то в случайной р -модели О 1 2 3 4 5 вводятся два дополнительных па- Рис.4.8 раметра 0, и р„определяющие вероятность существования турбулентности при очередном дроблении на более активную и менее активную части.
Остановимся более подробно на второй модификации ~ -модели, получившей название бифрактальной модели. Идея этой модели состоит в том, что предполагается сосуществование двух фрактальных подмножеств с различными законами скейлинга вида (4.65) и соответствующими размерностями 1), и .О,. Для пульсаций скорости на масштабе и получаем оценку зг где р, - некоторые числовые множители, а вероятности появления элементов подмножеств определяются точно так же, как в предыдущем параграфе и равны Р = )з," = (/„ //,)' " . В результате, для пульсаций скорости имеем д~ Р~(/ //о) + Р2К //о) а для структурных функций произвольного порядка ,~,(/„) =(й,')-н,/."'Р+н /.'"'-Р, -н,(/„//о)"" "+и (/.// )""' ' ' (468) Нас интересует вид масштабных множителей в степенных законах 5„(/)-/'" (4.49).
Поскольку (/„//,) есть величина малая, то определяющий вклад в выражении (4.68) дает слагаемое с наименьшим показателем степени. Из этого следует, что ~, = пнп(да, + 3 — /),, да, + 3 — Р, ) . В качестве примера рассмотрим случай, когда одно из двух подмножеств представляет собой однородное колмогоровское поле (О, =З,о., =) /3), а второе - фрактальное (2 < /), < 3 а, = (/), — 2) /3). Условие (4 69) приводит к (4.70) при (з- о,)(з- /) 3 3 Полученный результат иллюстрирует рис.4.8, на котором показаны решения, соответствующие К41, Р -модели и их комбинации (4.70), к которой приводит бифрактальная модель.
4.5.3. Мультифрактальная модель Естественным обобщением описанной выше бифрактальной модели является мультифрактальная модель, которая основана на предположении, что в турбулентности существует непрерывная последовательность подмножеств, каждое из которых характеризуется своим показателем и. Значения а лежат в интервале а,„,, <а <а,„. Структурные функции получают вклад от всех подмножеств и определяются интегралами зз 5 =(М,~ >- 1 ~ — ~ Р(и)с1и, (~ /(е) в которых распределение вероятности записывается в виде Р(и) -— (,~о Тогда (4.71) Поскольку ~По «), то наибольший вклад в интеграл дает составляющая с минимальным показателем степени. Следовательно, ~, = пип(ди — г(а)).
(4.72) Условие минимума дает (4.73) О = г" '(и) . Рассмотрим алгоритм вычисления мультифрактального спектра. Пусть имеется положительно определенная величина ~ (это может быть плотность энергии, завихренности, скорости диссипации и т.д.). Исследуемую область разобьем на кубики с ребром ~ (всего М кубиков) и введем ве- личины где ~,. есть среднее по кубику ~' значение рассматриваемой величины. Оп- ределим структурные функции к,=~ р,', ! (4.74) и вспомним введенное в параграфе 2.6.3 части 1 понятие обобщенной раз- мерности, которая есть (см.
формулу (2.37) ) В такой модели и есть локальная характеристика скейлинговых свойств, а функция ('(и), называемая мультифрактальным спектром, описывает глобальную природу распределения областей с различным скейлингом. Очевидно, что мультифрактальная модель имеет по сути бесконечное число параметров и может описать любую экспериментально обнаруженную зависимость с(о) . 1п~~> р,' О, =1ип ' О 6у — 1)!п1 (4.75) Исходя из мультифрактальной структуры рассматриваемого поля, то есть считая, что в различных точках пространства исследуемая величина подчиняется масштабному закону типа р(1) -1 с различными значениями показателя а, структурные функции можно записать в виде (4.71), а именно (4.76) 1да — /(а) Ч Согласно определению (4.75) или (4.77) ~(а) = оа(о) — Л, (и — 1) . Выражение (4.77) дифференцируем по д.
Учитывая, что — = и ф ч1 сна сЦ Ыа Й) условие (4.73), получаем а (О) = — ~(Ч вЂ” 1))Э, 1. (4.78) При 1-+о в интеграле (4.76) доминирующую роль играют области, обеспечивающие минимальное значение показателя степени. Следовательно, значение величины ~, определяется условиями (4.72)-(4.73).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
