Часть 2 (1161665), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Величина я определяется энергией, вводимой в поток на единицу массы, и характеризует поток энергии, прокачиваемой вдоль всего инерционного интервала до диссипативных масштабов. Приняв сформулированные гипотезы, можно получить ряд важных результатов, пользуясь только соображениями размерности. Напомним, что, говоря об энергии, мы все время имеем в виду энергию на единицу массы, то есть энергия измеряется в ~ '/я-'.
Тогда размерность скорости диссипации энергии есть ~ '/яз, и для пульсаций скорости можно составить только одну комбинацию величин в и 1 с требуемой размерностью ( ~/я) Формулу (4.23) называют законом Колмогорова, а входящую в нее константу С - константой Колмогорова. Чтобы увидеть степенной закон, соответствующую зависимость нужно представить в логарифмических координатах (рис.4.4).
В таком представлении инерционному интервалу соответствует прямолинейный участок спектра, наклон которого должен быть равен показателю степени в законе (4.23). Можно ли оценить диссипативный масштаб Х? Исходя из первой гипотезы Колмогорова этот масштаб может зависеть только от скорости диссипации энергии и величины молекулярной вязкости (размерность кинематической вязкости (~ 1 = ~ ' /я). Тогда подбор нужной размерности приводит к формуле (4.24) Рис.4.4 (4.25) Формула (4.25) дает возможность оценить число степеней свободы, возбу- жденных в турбулентном течении при заданном числе Рейнольдса.
Считая, что 1~ -(~/Х)-',немедленно получаем д 914 (4.2б) Выражение (4.26) может служить оценкой размеров сетки, необходимой для прямого численного моделирования турбулентного течения с заданным числом Ре йнольдса. Интересно выразить диссипативный (внутренний) масштаб через макропараметры турбулентности.
Пусть течение на макромасштабе ь характеризуется скоростью г1. Характеристикой течения является число Рейнольдса А =ш,И. Скорость диссипации энергии, равная скорости подвода энергии в турбулентность, может быть выражена и через макропараметры в - ~~'2 '. Тогда 16 4.3.2. Корреляционные функции Методом анализа размерностей удалось получить оценки (4.21)- (4.22), качественно описывающие корреляции скорости в двух точках однородного и изотропного турбулентного течения, отстоящих друг от друга на расстояние 1. Продолжая следовать работам Колмогорова 1941 года, покажем, что существует и точный результат, касающийся структурной функции третьего порядка. Рассмотрим двухточечный корреляционный тензор второго ранга (4.27) В, =( (~ 2 — У,.)(~ „ — ~,~ ) > , где Р, и ~, - скорости в двух точках, отстоящих на расстоянии 1 (см.
рис.4.3). Считаем, по-прежнему, что турбулентность однородна и изотропна, а средняя скорость равна нулю. Введенный тензор в силу изотропии и однородности потока может зависеть только от модуля вектора 1, соединяющего две точки. Введем единичный вектор й, направленный вдоль вектора 1, и запишем общий вид симметричного тензора второго ранга, зависящего от расстояния 1, (4.28) В„= А(1)б,„+ В11)п,.~г (4.29) В„(1) = А11)+ В(1), В„„(1) = А(1), В„(1) = О. Используя (4.29), перепишем ~4.28) в виде (4.30) Раскроем произведение в определении (4.27) Чтобы придать физический смысл функциям А11) иВ(1), направим вектор 1 вдоль одной из осей координат (это возможно опять же благодаря изотропии). Компоненту скорости вдоль этой оси обозначим как ~,, а перпендикулярную компонекгу - как ~„. В таком представлении компонента В„равна среднему квадрату относительной скорости частиц в двух точках в направлении друг к другу.
Компонента В„„равна среднему квадрату относительной скорости частиц в перпецдикулярном направлении и характеризует, таким образом, вращательное движение частиц относительно друг друга. При выбранном направлении отрезка единичный вектор й =11,0,0) и согласно (4.28) 17 В~ =<У2 У22 > — <УУУ22 > — <УпУ2. >+< У|Уп > и учтем, что в силу однородности потока одноточечные корреляции не зависят от положения точки дп 2 <У2 У„>=<У! Уп >= ' <У >, а в силу изотропии < УУУ22 >=< УпУ2; > (при перестановке точек местами результат не меняется).
Тогда 2 В,,„= — < У > Б,,„— 2Ь,,„, (4.31) где Ь„=<УУУ2„> есть вспомогательный, симметричный тензор, компоненты которого стремятся к нулю при ~ -+ (бесконечно удаленные точки статистическии нез ависимы). Выражение (4.31) продифференцируем по координатам точки 2 и воспользуемся уравнением неразрывности: (4.31) д,„В„.
= — 2д„.Ь,, = — 2 < У„д2Р„>= О д„В, =д„В (~)д„)+(В„(1) — В„„(1))л п~д2)+(В„(1) — В ЯЯ,(п.п,) = = ~В,', + — („— В„„) и,. = 0 2 где штрихом обозначено дифференцирование по ~ . При вычислениях было учтено, что д,,1=д,~~х, =х, I1=п, д,,п,. = д,.(х,, I1) = (Б,, — п,п,)П, д„12„= 2/), д„(п,п,.) = п,.д„п, +п,д„п, = 2п, I1. Таким образом, мы получили уравнение, называемое первым уравнением Кармана — Ховарта, полученное этими авторами в 1937 году. Дифференцирование В,„по координате второй точки эквивалентно диффе- ренцированию по соответствующей проекции вектора ~, поскольку тензор зависит только от этого вектора. Следовательно, д,„.В„=д„В, =0 и, под- ставляя в эту формулу выражение (4.30), получим 18 д,()'В„) В„„= В„+ — В,', = 2 2Г (4.33) и посмотрим, как выглядит связь между величинами В„и В„„при конкрет- ных степенных законах для корреляций.
Пусть Г столь малы, что соответ- ствуют диссипативному интервалу (Г<Х). В этом случае можно ограни- читься первым членом ряда Тейлора и, предположив, что й, — Г, записать В„= сГ (4.34) где с - некоторая константа. Подставляя (4.34) в (4.33), легко получаем, что В„, = 2сГ'.
Следовательно, в диссипативном интервале корреляции связаны как В,„= 2В„ В инерционном интервале (). «Г «г) согласно (4.21) имеем оценку В„=с,)'". С помощью (4.33) вновь получается связь продольных и попе- речных корреляций, которая в этом случае имеет вид 4 3 Важный вывод, который следует из уравнений (4.32), состоит в том, что при любом степенном поведении корреляционные функции В„и В„„с точностью до постоянного множителя следуют одному и тому же степенному з акопу.
Теперь введем корреляционный тензор третьего ранга (4.35) В,ь„— < Г~'ъ ~~, )Г ~'п ~'и )Г ~'гг я„„) ~ и вспомогательный тензор Это уравнение дает связь между продольными и поперечными корреляция- ми В„и В,„. Важно подчеркнуть, что при его выводе использовалось только уравнение неразрывности. Уравнение (4.32) перепишем в виде 19 (4.3б) Ьг, =< г ~ г1гггл > < г ггггу1 ~ > (4.37) В,.„„, = 2(Ь,.„„, +Ь„„„.
+Ь,„,). Затем записываем общий вид тензора, симметричного по первой паре ин- дексов и зависящего от компонент единичного вектора В: (4.38) Ьг — С(У)Б „и +О(1)(Б и. +Б, и )+РЯп.гг.п Требуется выразить функции С(Г), П(С) и Г(~) через имеющие физический смысл корреляционные функции третьего порядка. Для этого снова воспользуемся уравнением неразрывности, из которого следует, что (4.39) Подставляем в (4.39) выражение (4.38) и учитывая, что 2п,п„ дг (п,п,.п„,'') = 1 получаем два уравнения, позволяющие выразить функции О® и Ь'(~) через С(г): О= — С— 1С' 2 В =1С' — С В результате Ь„,„= СБ„п,„— (С+ — 1С')(Б„„п, + Б„,„п,) + (1С' — С)п,п,п„, 2 и выражение для корреляционного тензора также включает только одну неизвестную функцию С(!): В, „= — 2(гС'+ С)Ь,ггг,„+Б,,„п, +Б,,„п,.)+ 6(гС' — С)гг,п„п,„ (4.40) Тензор Ь,.„„симметричен по первой паре индексов, относящихся к одной точке, и меняет знак при перестановке точек местами, так как эта перестановка эквивалентна изменению знака ~, а инверсия координат меняет знак тензора третьего ранга.
При ~-э~ все компоненты тензоров (4.35) и (4.3б) должны стремиться к нулю. Раскрывая произведение в (4.35) и учитывая, что <гпг,„гп„>=< г„.г,„ч,„, >= О (среднее значение произведения нечетного числа случайных сомножителей, средиее значение каждого из которых равно нулю), получаем Вновь направим вектор 1 вдоль одной из осей координат (й=(1,0,0)) и вы- пишем компоненты тенз ора (4.40): (4.41) В„,„= — 2(С+ 7С'), В„„= В„,„= О. В„, = — 12С, Таким образом, отличны от нуля только две компоненты тензора, которые можно связать соотношением В„„, = — (1В„,)'. (4.42) 6 Ь,,„= — — Впо,.„п„, ~- — 11В,„', + 2В„,)Ь,,„п, + о„„п,) — — (1В„', — Вп,)п„п,п,„.
14.43) 1 1 1 Еще раз подчеркнем, что при выводе уравнений Кармана — Ховарта использовалось только уравнение непрерывности. Чтобы связать корреляционные тензоры второго и третьего порядка нужно использовать уравнение Навье — Стокса. Вычислим производную по времени от тензора Ь,„=< ~„~,„>, используя уравнение Навье — Стокса для производных от скорости Двухточечная корреляционная функция давления и скорости равна нулю. Это следует из того, что в силу изотропии эта функция должна иметь вид < р, Р >= й)'(1), а ее дивергенция должна быть равна нулю (д,„< рр„>=< р,д„~„>=0). Действительно, чтобы удовлетворить последнему требованию, нужно положить Д~1)=с/1' (тогда В,„~ — п„)=с~, и,'.
+ —,— )=О), а так как при 1 — эО корреляционная функция должна быть конечна, то единственно возможное значениее константы есть с = О. Комбинируя формулы (4.38)-(4.41), выразим вспомогательный тензор Ь„,„через компоненты тензора В,„„, (это есть 2-е уравнение Кармана - Ховарта) 21 и,окончательно, (4.44) д,Ь„= д,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
