Часть 2 (1161665), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Число Рейнольдса Ке =10', магнитное число Прандтля Рг„, =10 '. На рис.7.13 показан характер эволюции кинетической (пунктирная линия) и магнитной (тонкая сплошная линия) энергии в трехмерной МГД- турбулентности (уравнения решаются для случая: в =1/2, в. =1/3). Видно, что за короткое время (безразмерное время, определенное по характерному времени оборота макроскопического вихря е/1/, порядка единицы) магнитная энергия достигает уровня порядка 1/10 от уровня кинетической 133 энергии.
Затем наступает относительно долгий промежуточный этап (порядка двадцати безразмерных единиц времени), в течение которого магнитная энергия остается на том же уровне. После этого происходит новый рост магнитного поля и его энергия становится сравнимой с кинетической энергией, оставаясь все же меньше ее. Одновременно происходит медленное снижение общего уровня энергии, обусловленное вязкими и омическими потерями. На том же рис.7.13 толстой сплошной линией показана эволюция магнитной энергии в так называемом кинематическом приближении.
Кинематическое приближение предполагает рассмотрение уравнения индукции магнитного поля для заданного распределения поля скорости, то есть пренебрежение обратным действием магнитного поля на поле скорости. В нашем случае это приближение соответствует отбрасыванию членов с переменными в„из уравнения (7.54). Соответствующая кривая эволюции магнитной энергии дает неограниченный рост (система уравнений не удовлетворяет более законам сохранения), хотя нарастание энергии и не происходит монотонным образом, а включает и отдельные интервалы, в течение которых энергия поля падает.
Такое поведение соответствует качественным представлениям о поведении магнитного поля в турбулентной проводящей среде. В то же время, известные попытки прямого численного моделирования МГД- турбулентности, вопреки ожиданиям, дают рост магнитного поля только до уровня, в несколько раз меньшего уровня кинетической энергии потока. Приведенный результат решения каскадных уравнений дает возможную интерпретацию этого факта. Дело в том, что самые продолжительные численные решения полных уравнений не выходят за временной интервал ОО О 0.01 00001 0 10 10 ОО 40 00 ОО 00 0 10 01 ЭО 40 ОО 00 70 00 00 100 1 Рис.7. 13 Рис.7. 14 (~ =1О).
В свете полученных результатов это означает, что система не успевает выйти за рамки промежуточного этапа эволюции. На рис.7.14 показаны результаты моделирования поведения вырождающейся двумерной турбулентности. Пунктир по прежнему показывает уровень кинетической энергии, которая в двумерном потоке убывает край- 134 не медленно. Тонкая сплошная линия описывает поведение магнитной энергии в полной нелинейной системе, а толстая линия - в кинематической постановке. Замечательно, что в этом случае и решения полной нелинейной системы, и решения в кинематической постановке дают затухание энергии магнитного поля со временем (выполняется теорема запрета Зельдовича, исключающая возможность устойчивого динамо в двумерном потоке).
Характерное время затухания в обоих случаях одинаково, хотя эволюция в нелинейном случае имеет значительно более гладкий характер. В то же время характер свободной эволюции двумерной МГД- турбулентности существенно отличается и от характера эволюции двумерной гидродинамической турбулентности. Напомним, что в двумерной турбулентности энстрофия, а вместе с ней и скорость диссипации энергии, со временем могут только убывать. Присутствие магнитного поля нарушает закон сохранения энстрофии. В процессе свободного вырождения энстрофия возрастает, а это приводит к росту скорости диссипации энергии. Принципиальное отличие в поведении скорости диссипации энергии в вырождающейся двумерной гидродинамической и магнитогидродинамической турбулентности иллюстрирует рис.7.15 (сравните с рис.5.2, где показана эволюция скорости диссипации энергии в двумерной турбулентности).
Помимо эволюции интегральных характеристик, каскадные модели позволяют проследить и за изменением спектральных распределений энергии. На рис.7.16 показаны распределения кинетической (светлые точки) и магнитной (темные точки) энергии двумерной МГД-турбулентности гю спектру (точнее, по октавам), полу- -МЗ ченные осреднением по различным 1,5 интервалам време ни. Следует отметить, что, несмотря на значительное превышение общего уровня кинетической энергии над магнитной, сущест- 6,5 вует диапазон масштабов, в котором магнитная энергия имеет тот же поря- Р док что и кинетическая.
Это относительно мелкие масштабы, непосредст- Р .7.15 ис.. венно прилегающие к диссипативному интервалу (5< и <8). Эволюция спектров энергии в трехмерной МГД-турбулентности показана на рис.7.17. В этом случае существует протяженный интервал масштабов, в котором магнитная и кинетическая энергии близки по величине.
Магнитная энергия затухает на более крупных масштабах, чем кинетическая - это естественный результат, так как магнитное число Прандтля мало (10 ). Спектр кинетической энергии с хорошей точностью следует закону «-5/3» ( на рисунке этому закону соответствует прямая линия). Спектр магнитной энергии более крут (что-то порядка «-2»). В заключение отметим, что принципиальные отличия в поведении двумерных и трехмерных МГД-потоков принято объяснять топологическими аргументами и тот факт, что простые каскадные модели, которые теряют всякую информацию о пространственной структуре течений, воспроизводят эти различия, свидетельствует, с одной стороны, о чрезвычайно важной роли законов сохранения (только через них и сохраняется в модели память о размерности пространства) и, с другой стороны, о том, что возможности динамических систем в моделировании сложных нелинейных систем далеко не исчерпаны.
ьг В 10 ~ь 33 гг Рис.7.17 Рис.7.16 Список рекомендуемой литературы 1. Гледзер Е.Б., Должанский Ф., Обухов А.М. Системы гидродинамиче- ского типа и их применение. М.: Наука, 1981. Збб с. 2. Зимин В.Д., Фрик П.Г. Турбулентная конвекция. М.: Наука, 1988. 178 с. 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Турбулентность, составившая предмет настоящего курса, столь сложна и подходы к ее изучению столь разнообразны, что она не оставляет шансов на систематическое и, главное, полное изложение в рамках годового курса.
Автор ставил перед собой более скромную цель, состоящую в том, чтобы оставить у слушателей цельное представление об этом разделе гидродинамики и дать представление о том широком наборе методов и моделей, которые применяются в этой области. Удалось ли достичь эту цель- судить читателю. Любые критические замечания и советы будут восприняты автором с благодарностью. Фрик Петр Готлобович ТУРБУЛЕНТНОСТЬ: МОДЕЛИ И ПОДХОДЫ Курс лекций Часть 11 Редактор И.Н.Жеганина Корректор В.А.Козьмина Лицензия ЛР-020370 от 29.01.97 Подписано к печати 15.03.99. Печать офсетная. Набор компьютерный. Формат 60 х 90/16. Уел.печл.
Тираж 100 зкз. Заказ 88 Редакционно-издательский отдел и ротапринт Пермского государственного технического университета Адрес: 614600, Пермь, Комсомольский пр., 29а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
