Часть 2 (1161665), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В первом приближении можно ограничиться сравнением низших моментов, или коэффициентов асимметрии и эксцесса. Зависимость асимметрии и эксцесса всех величин от масштаба (номера яруса) приведена на рис.7.5 для случая а =0.5. 1гг Точки, принадлежащие различным величинам, хорошо совпадают. Следует отметить, что модель демонстрирует существенный рост неравномерности распределения вероятности с ростом волнового числа - коэффициент эксцесса возрастает в 1000 раз. Рис.7.6 показывает результаты проверки второй гипотезы.
В двойном логарифмическом масштабе по- казана зависимость величин <11„р ' >/<11," ,> от соответствующих значений <11,', >/ <11," ,' >. Верхний график соответствует случаю 8 =0.42 (параметр незначительно превосходит значение, при котором наступает стохастизация решений) и показывает, 0.1 <да> 6.61 6.661 0.6661 16- 16-", 16-" < р'„> что в этом случае, гипотеза не Рис.7.7 выполняется — группы точек, относящиеся к моментам различного порядка, образуют отрезки с разными углами наклона. Такая ситуация сохраняется для 8 < 0.45. При больших значениях параметра (показаны случаи: Ь)8 =0,7; с)8 =1,25; /)8 =3,0 соотношение (7.34) хорошо выполняется - все точки ложатся на общую прямую, наклон которой позволяет одно- 1 значно определить соответст- 1, Ф - вующее значение параметра 0 .
о Рис.7.7 касается проверки третьей гипотезы. Ои дает зааи- /1,Л 1 симость безразмерного потока Ог4 энергии от структурной функ- 6.2 . 6 ции третьего порядка для трех различных значений параметра б . Во всех случаях можно выделить прямой участок, соответ- 1 ствующий степенному закону Оеб 2 4 6 8 16 Е (7.35), и определить значение коэффициента л. Верхняя группа точек соответствует случаю а =5/4 (при этом моделируется инерционный интервал переноса энстрофии в двумерной турбулентности). Точки лежат почти горизонтально (Л = 0.013), что говорит об очень низком уровне пере межае мости.
Этот 0.8 О.б Д, з.'й 0.4 0.2 0 6 6.2 0.4 0.6 0.8 1 Е Рис.7.8 1гз а ао" о -22 Рис.7.9 результат хорошо согласуется с результатами, полученными при обработке данных прямого численного моделирования интервала переноса энстрофии в двумерной турбулентности (параграф 5.4). Результаты определения параметров Л и 11 суммирует рис.7.8, на котором приведена зависимость этих величин от параметра модели а (напомним, что этот параметр связан с законами сохранения). На рисунке разделены результаты для а <1 и а >1, так как свойства системы в этих двух областях отличаются принципиально, о чем свидетельствует и рис.7.8.
Последний рис.7.9 показывает результаты непосредственного вычисления функции распределения вероятности для потока энергии Р(л„) при двух значениях я . а) ~ =0.42, б) а =3.0. На обоих графиках пунктиром проведена линия, соответствующая лог-пуассоновскому распределению. В первом случае полученная функция распределения далека от этой ы кривой (что согласуется с рис.7.6,а), в то время как на втором — совпадение достаточно хорошее.
Видно, что функция распределения несимметрична (напомним, что логнормальное распределение в таком представле- ,а' нии должно было бы дать симметричную параболу). В заключение отметим, что полученные значения параметров 11 и ~ при подстановке в формулу (7.36) дали значения ~,, совпадаюШие с точностью не ниже 10% о'а со значениями, полученными не- о.ооо посредственно гю расчетам н а- КЛОНа ГРафИКОВ СтРУктУРНЫХ о.еоеа функций. Подтверждение формулы (7.36) является интегральной проверкой работоспособности модели турбулентности ШЛД. 124 7.5 Модель конвективной турбулентности Рассмотрим турбулентные течения, описываемые в рамках приближения Буссинеска для термогравитационной конвекции несжимаемой жидкости.
Уравнения движения запишем в безразмерной форме тз,й+/й Ъ')й = — тР+ххх "'Лй+еТ, О,Т+ й. з/Т = д ''Стт '""/дт, з/ !! =О, (7.36) (7.37) (7.38) с/,И„= ~',! Т„а!И„,/)! — /хе ' /с~/)„+ Е,О„, и,! с/,О, = 1 Н„,„!И„,О! — /с,~(аЛе) !О„, (7.39) (7.40) где Е„= Р,2", Т„„, = 2' Т„„„, „, Н„„„= 2' Н, „, „, а значения элементов для центральных частей матриц т„„, и н„„„приведены в таблицах. Структура матриц следует из разбиения пространства волновых векторов на октавы и из требования сохранения кинетической энергии Р., = ,'> ~Н„~', энстрофии хх=~ )2"//„) и энергиипульсаций температуры Е, =~ ~2"О„~ . ' Фрик П.Г. Моделирование каскадных процессов в двумерной турбулентной конвекции // Журнал при- кладной механики и техыической физики.
1986. Х.2. С.71-79. где й — скорость, Р— давление, Т вЂ” температура, е — единичный вектор вдоль вертикальной оси, хдг = Я/зТ"х '- число Грассгофа,о = х/х - число Прандтля, х — кинематическая вязкость,т- температуропроводность. В качестве единицы длины выбран макромасштаб Ь, единицы температуры — характерная для этого масштаба разность температуры т", единицы скорости1т = 1'я~Т.Т" )'" и единицы времени - т=1Л~. При выбранной единице скорости число Грассгофа просто связано с числом Рейнольдса 6т = к'т.'х ' = гхе'. Мы построим каскадную модель, позволяющую рассмотреть специ11ику каскадных процессов вблизи масштаба Болджиано в двумерной турбулентности (смотри параграф 5.5), а также каскадных процессов при очень низких и очень высоких значениях числа Прандтля.
Эти задачи выбраны потому, что являются примером случая, когда рассмотрение нелокальных взаимодействий становится принципиальным и модель типа хдОУ может привести к неправильным результатам. Каскадная модель для двумерной турбулентной конвекции, вклю- 22 чающая нелокальные взаимодействия, бьр1а построена в работе и имела вид 125 тп,„, Опиз -0.0537 1.493 0.0941 -оз53 0.125 0.720 -0.0058 -0,0145 -0.0374 -0.0996 -0.221 -0.365 -0.145 О. 0018 0.00468 0.0125 0.0277 0.0457 0.0181 0.00196 0.0113 0.00239 0.00018 0.00291 0.00030 0.00004 0.00001 0.00073 3 2' .
„„„2" — 1 — Й ' 1те ' У + 7' О й О. ='2 )„(На . ~~7.— 0 8Г7. -~0.— )+ ~ы + Нац,(Ц*,О*„, — 2" Г1„*,,0,*,,)) — ~,(а Ке) 0„. (7.42) Параметр 1 фиксирует наиболее далекие взаимодействия (при У =1 система возвращается к стандартному виду каскадных уравнений, описывающих только локальные взаимодействия).
' Ложкин С.А., Фрик П.Г. Моделирование каскадных процессов в турбулентной конвекции при экстре- мальных значениях числа Прандтля д Математическое моделирование систем и процессов, Перм. гос. техн. ун-т, Пермь, 1996. 1х1.4, С.53-60. Эта модель была модифицирована в работе . Во-первых, в рас- 23 смотрение были введены комплексные переменные, использование которых существенно снижает время интегрирования, необходимое для получения устойчивых статистических характеристик. Во-вторых, в матрице 77„„, были оставлены только члены, описывающие генерацию неоднородностей температуры крупномасштабным полем скорости (строки ! =+1, тп < о), и диагонали п1=п и 1=пт, которые очевидно доминируют над соответствующими боковыми столбцами.
Тогда, с учетом связей между элементами матрицы, следующих из законов сохранения, можно записать 126 Перечислим некоторые результаты„полученные с помощью этой мо- дели. Умеренные числа Прандтля (о -1). Рассмотрим эволюцию спектров двумерной турбулентной конвекции при очень больших числах Грассгофа, когда большой интервал значений волновых чисел позволяет проследить за формированием спектров по обе стороны от масштаба Болджиано. Система уравнений (7.41Н7.42) для случая, когда число Прандтля равно единице, а число Грассгофа О~ =10" (что соответствует Ке =10'), интегрировалась методом Рунге - Кутта четвертого порядка с постоянным шагом по времени для 0 < и < 30.
Равномерный нагрев на макромасштабе моделировался путем поддержания стационарного значения модуля переменной 1Оо !=1 ° В отличие от трехмерного случая, в двумерной гидродинамической турбуленгности существование инерционного интервала с прямым каскадом энергии невозможно. Это обстоятельство препятствует установлению стационарного распределения энергии по спектру. Процесс передачи энергии к мелкомасштабному движению блокируется на масштабе Болджиано 1.„, вправо от которого формируется инерционный интервал переноса энстрофии. Влево от ь„развивается интервал обратного переноса энергии к крупным масштабам со спектральным законом "-5/3", причем граница этого интервала продвигается влево по мере накопления системой энергии. Стационарной ситуации удается добиться путем введения дополнительной диссипации кинетической энергии на больших масштабах (в уравнение для 11„дописывается член вида -у12„, так называемое линейное трение, обычно используемое и при прямых численных экспериментах с двумерной турбулентностью).
На рис.7.10 показаны осредненные по времени значения энергии пульсаций скорости и температуры в отдельных октавах Е,. и Е,„. Проведены линии, соответствующие степенным законам для спектров е,(й) и е,,(~). Этот рисунок нужно сравнить с рис.5.24, где качественно были изображены ожидаемые спектральные распределения для двумерной турбулентной конвекции.
При рассматривании рисунков следует помнить, что показатель степени для величины Е„(й„)на единицу меньше, чем для самого спектра Е(й), что связано с принятым делением оси волновых векторов на октавы. Границы различных интервалов более четко выражены в спектре пульсаций скорости. В спектре пульсаций температуры переходы размытые и степенные участки не столь ярко выражены. Малые числа Працдтля (а«1) приводят к возникновению инерционно-диффузионного интервала в спектре пульсаций температуры. Он возникает в масштабах, на которых сохраняется обычный инерционный интервал в поле скорости, но существенна тепловая диффузия. Из сопостав- 127 ления соответствующих членов уравнения (7.37) мьГ,е ' - Ото' и спектра Крейчнана для пульсаций скорости в инерционном интервале переноса энстрофии Е~й) - 7~-' получается Е,И)-У' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
