Часть 2 (1161665), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следующим шагом стали функ- ции Литлвуда — Пелли (1937г.). Именно '3. это семейство функций получается при ~- М.4 построении одномерного иерархиче- У ского базиса. Функции строятся путем вырезания полосы частот в пространстве Фурье. Это дает строгую локализацию в пространстве частот, но медленное затухание функции в физическом пространстве (во времени): функРис..6.15 ции описывают осцилляции, амплитуда которых падает как ! /~. Важным этапом в развитии идеи локального анализа спектральных (частотных) свойств стало преобразование Габора (1946г.), называемое также фурье-преобразованием в окнах. Функции Габора представляют собой гармонический сигнал, модулированный функцией Гаусса.
Они хорошо локализованы и во времени и в частотах, но каждая функция Габора характеризуется тремя параметрами: положением центра окна ~„, шириной окна т и частотой осцилляций ~ (рис.6.15). При этом функции различного масштаба не являются подобными (имеют различное число ос цилляций).
Вейвлеты обьединили в себе два важных свойства - подобие и выраженную локализованность в физическом и фурье-пространствах. Сформулируем требования, которым должно удовлетворять семейство функций, чтобы быть вейвлетами. 1) оп стимость. Функция ~(~), которую будем называть анализирующим вейвлетом (употребляют также термин материнский вейвлет), должна иметь нулевое среднее значение: 89 ) Ву (~) и' = О. (6.45) Это условие может быть сформулировано и более строго.
Говорят, что ~у(~) есть вейвлет порядка м, если для всех пу < м выполняется условие ~ ра'у)у (г)42'2 = О, (6.46) требующее равенства нулю М первых моментов вейвлета. 22 Подобие. Все функции семейства получаются из анализирующего вейвлета путем масштабного преобразования и сдвига, у)у, „(~) =у)у (6.47) Таким образом, вейвлеты образуют двухпараметрическое семейство функций, в котором параметр а отвечает за масштаб растяжение) функции, а параметр Ь вЂ” за ее положение (сдвиг).
32 Обратимость, Вейвлет-преобразование должно быть обратимо, то есть должно существовать обратное преобразование, однозначно восстанавливающее исходную функцию по ее вейвлет-представлению. 42 Ретущйность. Функция т (2)должна быль хорошо локализована и в физическом пространстве и в пространстве Фурье. аь .ь .2 е 2 * Рис.6Л 6 Согласно последнему требованию и функции Хаара и функции Литлвуда - Пелли не попадают под определение вейвлетов.
По сути, они являют собой два предельных случая (в одном случае резкие границы в физическом пространстве приводят к бесконечным в принципе хвостам в пространстве частот и,наоборот, обрыв в пространстве частот дает длинные хвосты в физическом пространстве в другом). В отличие от преобразования Фурье, вейвлет-преобразование допускает широкий выбор анализирующей функции. Согласно первому требованию, вейвлет всегда является знакопеременной функцией, включающей обычно небольшое количество осцилляций. Выбор конкретного вида вейв- 9О В задачах, требующих лучшего спектрального разрешения, часто использу- ется вейвлет Морле — комплексная функция вида (6.49) На рис.6.16,б сплошной линией показана его вещественная часть, а пунктриной - мнимая.
Сама функция (6.49) совпадает с видом функций, используемых в преобразовании Габора, но семейство вейвлетов отличается от функций Габора тем, что один раз выбрав частоту о, для анализирующего вейвлета и задав тем самым число осцилляций, мы в дальнейшем сжимаем или растягиваем функцию как целое, не нарушая подобия отдельных функций семейства. б.4. Непрерывное вейвлет-пре образ ование Непрерывное вейвлет-преобразование одномерной функции ~0) есть (,ь)= '~Л М"~ уа~, .(~ — ь) (6.50) где )~0) - вещественная или комплексная функция, удовлетворяющая тре- бованиям 1-4 раздела 6.4.
Если цт(со) = ~~!~(~)е ""й есть фурье-образ анализи- рующего вейвлета и выполнено условие (6.51) то для преобразования (6.50) существует формула обращения (6.52) лета зависит от целей проводимого анализа. Приведем несколько примеров широко используемых вейвлетов. Простым вещественным вейвлетом, широко используемым в задачах, требующих хорошего пространственного разрешения и не требовательных к спектральному разрешению, является вейвлет, получивший название «мексиканская шляпа» (рис.6.16,а), ! 0) =0-~')е "".
(6.48) 91 Условие (6.51) эквивалентно условию (6.45), так как интеграл (6.51) расходится при наличии в спектре вейвлета нулевых частот, что равносильно отличному от нуля среднему значению. В определении (6.50) присутствует параметр к - показатель степени масштабного множителя.
Конкретный выбор этого параметра зависит от целей анализа. Широко используется нормировка к =-1, при которой равные значения вейвлет-коэффициентов и(а,Ь) соответствуют равным амплитудам пульсаций сигнала, независимо от масштаба пульсаций. Вейвлет-образ и(а,Ь) функции ХГ~) можно выразить и через ее фурье- образ Х(оО) . Действительно, 1 ~~ ( ) ( ) „„,ОГайЬ О— КК 1 и Г а, Ь ) =, ~ ц7 (аоэ ) ХГ о )е" ОГоО .
4л' (6.54) Пользуясь соотношениями (6.53)-(6.54) и теоремой Парсеваля (2.26) несложно получить аналог этой теоремы для вейвлет-преобразования ~Х) Г~)Х,'Г1Ф =, ~ ~ОО,Га,ь) О'Га,ь) 1 ° ОГаОГЬ С,', „а"' (6.55) из которого, в частности, следует ~~ХГс)~'ОЬ= —,~~УГОО)~О оО= —,~~~ Га,Ь)~' "„, . (6.56) 4ОО С, С а'' Напомним, что в фурье-анализе спектральной плотностью энергии является величина е(оО) =1 Х9(оО) 1' (называемая также спектром энергии) и введем величину М (а) = ~! ОО!Га, Ь) !' ОГЬ, (6.57) которая характеризует интенсивность всех пульсаций заданного масштаба. Если в определении вейвлет-преобразования положить к = — 112, то форму- лу (6.56) можно переписать в виде 92 да Е =1 Е(в)сМ = ~М(а) —. о о (6.58) В этом случае М(а) описывает распределение энергии пульсаций по мас- Рис.6.17 Рис.6.18 штабам и называется интегральным вейвлет-спектром.
Из сказанного следует, что нормировка к =-1/2 должна использоваться, если результаты вейвлет-анализа предполагается сопоставлять с фурье-представлением сигнала. Действительно, если фурье-спектр следует степенному з акопу Е(т) -ь, то при этой нормировке интегральный вейвлет-спектр будет иметь тот же степенной закон М(а) - а - в (это следует из формулы (6.58) с учетом того, что со -1(а, а Нв - - 1а(а'). Вейвлет-преобразование отображает пространство функций одной переменной (время) в пространство функций двух переменных (время и частота, или время и масштаб) и является избыточным. Избыточность непрерывного вейвлет-преобразования выражается в коррелированности вейвлет-коэффициентов, которая тем больше, чем больше рассматриваемый масштаб а. Иначе говоря, чем больше масштаб, тем меньше независимых точек в вейвлет-разложении.
Этот недостаток устраняется в дискретном вейвлет-представлении (пример тому - рассмотренный выше ие- Рис.6.19 рархический базис, в котором число функций геометрически уменьшается с ростом пространственного масштаба). Преимущество вейвлет-преобразования перед преобразованием Фурье состоит в том, что оно позволяет проследить за изменением спектральных свойств сигнала со временем, указать, какие частоты (масштабы) доминируют в сигнале в каждый конкретный момент времени. На рис.6.17 и 6.18 показаны два примера вейвлет-разложения простых временных сигналов с помощью вейвлета Морле (6.49). В верхней части каждого рисунка показан модуль вейвлет-разложения на плоскости (а,Ь), а в нижней - фаза. На рис.6.17 сигнал представляет собой суперпозицию двух гармоник, а в сигнале на рис.6.18 эти же две частоты появляются последовательно друг за другом.
Фурье-преобразования этих двух сигналов практически не отличаются друг от друга, так как спектр Фурье теряет всякую информацию о том, когда какая гармоника присутствовала в сигнале. Вейвлет-анализ позволяет восстановить полную эволюцию спектрального состава сигнала во времени. Общее представление о спектрально-временной структуре сигнала можно получить по распределению модуля вейвлет-преобразования. Ширина полосы, получаемой при разложении гармонического сигнала, характеризует спектральное разрешение используемого анализирующего вейвлета.
Распределение фазы вейвлет-преобразование менее информативно, особенно для сложных сигналов. В то же самое время, именно фаза дает наиболее точную информацию об особенностях (сингулярностях) в сигнале. Так на рис.6.18 можно видеть, что именно по распределению фазы можно с большой точностью идентифицировать момент смены частоты. На рис.6.19 показан результат вейвлет-разложения сигнала, представляющего собой суперпозицию двух гармонических составляющих с непрерывно меняющимися частотами (снова использован вейвлет Морле). Сам сигнал показан в нижней части рисунка, модуль вейвлет-разложения- в верхней части.
Вейвлет-представление позволяет получить точный вид эволюции частоты каждого из двух сигналов. На рис.6.20 дан пример использования действительного вейвлета типа (6.48). В качестве сигнала использован тот же временной ряд, что и в примере на рис.6.18 ( удвоение частоты гармонических колебаний). В этом Рис.6.20 случае результатом преобразования является действительная величина, модуль которой показан на рисунке.
Белые полосы на вейвлет-плоскости, неизбежно появляющиеся при работе с вещественными функциями, соответствуют смене знака вейвлет-коэффициентов и содержат, по сути, информацию, которую в комплексном представлении несет фаза. В заключение отметим важное свойство вейвлет-представления функций, состоящее в том, что на этапе разложения сигнала по вейвлетам (анализа) и этапе восстановления исходного сигнала по его вейвлетюбразу (синтеза) можно использовать различные семейства вейвлетов.
Пусть для анализа используется вейвлет ! (0, а для синтеза - вейвлет д(0. Тогда прямое преобразование по-прежнему описывается выражением (6.50), а формула восстановления сигнала (6.52) примет вид (6.59) Восстановление (6.59) возможно, если выполнено условие Это условие мягче, чем условие (6.51), так как теперь один из двух вейвлетов может и не удовлетворять требованию (6.51) (но, при условии, что его «недостатки» компенсирует вейвлет, используемый на втором этапе). Пре- 95 имущество восстановления по формуле (6.59) состоит в том, что она позво- ляет использовать на одном из этапов преобразования сингулярную функ- цию (например, о - функцию), которая сама по себе не попадает под опре- деление вейвлета.
6.5. Дискретное вейвлет-преобразование Чи Ч~ м для которого доказана возможность получения полного ортогонального функционального базиса. Последнее возможно не при любом выборе значений величин а и ь. Наиболее естественным представляется принятое и в иерархических моделях разбиение спектрального пространства на октавы, что соответствует случаю а = 2. Для одномерной функции ~(х) соответствующее разложение в ряд выглядит как ~(х)= ~~> ~~~ и„„ц~„(х — т 2 ), (6.60) где у„(х)= 2 '~р Здесь и далее в данном параграфе принята нормировка к = -1/2 и для удобства записи эта нормировка включена в определение вейвлета. Задача о выборе функции ~(х),обеспечивающей ортогональность разложения (6.60), т.е.
соблюдение условия ~~рм(х — т 2 )р„(х — п.2 )Ых =О О„„, (6.61) далеко не тривиальна и была решена лишь недавно (И.Мейер,1986; И.Добеши, 1988). Условиям (6.59Н6.61) соответствуют, правда, и давно Наряду с непрерывным вейвлет-преобразованием можно рассмотреть разложение по конечному набору вейвлет-функций, заданных на некоторой сетке и получаемых определенным масштабным преобразованием. Если ограничиться логарифмическим масштабированием и равномерной для заданного масштаба пространственной сеткой, то одномерную базисную функцию можно записать в виде где коэффициенты и „, определяются как и,„= ~~'у, (~ — пг 2 ), 1= а условие сохранения энергии принимает вид ХХ'=Х' М-1 в~в Функция ~ (~), являющаяся дискретным аналогом функции ~р(х), должна вместо (6.61) удовлетворять условию ~~) ц~„(~-т 2 )у„(~-и 2")=о„о,о„„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
