Часть 2 (1161665), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Полученный результат заставляет пересмотреть сложившийся взгляд на природу солнечного цикла. 11-летний цикл объясняют, исходя из точки зрения, что он является свойством динамо-процессов. Следуя этой точке зрения, нужно признать, что во время остановки динамо должен исчезнуть и этот цикл. Приведенный результат заставляет думать, что природа 11- летнего цикла не связана собственно с динамо-процессом. Механизм его зарождения не ясен, но представляется, что он действует независимо от динамо, модулируя активность последнего.
Когда динамо не работает, энергия этого процесса выливается в гидродинамическую моду, приводя к 11- летним вариациям диаметра звезды. Список рекомендуемой литературы 1. Зимин В.Д., Фрик П.Г. Турбулентная конвекция. М.: Наука, 1988. 178 с. 2. Фрик П.Г. Вейвлет-анализ и иерархические модели турбулентности // ИМСС УрО РАН. Пермь, 1992. 40с. 3. Астафьева Н. М.
Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук, 1996. Т.1бб. Х.11. 4. Но1зсЬпеЫег М. Жа~е1еЬ: Ап Апа1уяз Тоо1. ОхГогс1 13п1чегягу Ргезз, 1995. 109 7. КАСКАДНЫЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 7.1. Каскадные модели ~„<) 1с )< 1с„, „ (7.1) ~, =ч'~, (этот шаг повторяет идеологию построения иерархических моделей). Далее, для каждой зоны вводится одна (действительная или комплексная) переменная Ц,, квадрат которой равен энергии всех пульсаций, заключен- Во второй главе мы видели, насколько полезными оказались маломодовые динамические системы для понимания путей перехода от детерминированных движений к хаосу.
В этой главе мы познакомимся с простейшими моделями развитой турбулентности, по сути, также представляющими собой динамические системы, но относительно высокой размерности (несколько десятков обыкновенных дифференциальных уравне ний). Отметим, что при построении простых динамических моделей течений (типа модели Лоренца для конвекции в подогреваемом снюу слое жидкости) все моды описывают структуры близкого масштаба. Основ- 45~6 ным признаком развитой турбулентности является наличие широ- 'Ы„, ) В кого диапазона возбужденных мас- 4' штабов и соответствующего ему большого числа степеней свободы. Спрашивается, можно ли построить маломодовую модель развитой турбулентности, которая не ограничивается рассмотрением крупномасштабного потока (как полуэмпири- й1 ческие модели), а описывает кас- 4~ Ф~~/ кадные процессы переноса энергии Рис.7.1 по спектру от интегрального масштаба до диссипативного.
Идея моделей этого типа, получивших название «каскадных моделей» (в последнее время стало употребляться и пришедшее с запада название «оболочечные модели» - перевод английского термина «яЬе11 шос1е1я»), состоит в рассмотрении цепочки переменных, каждая из которых описывает пульсации поля скорости определенного масштаба. Для реализации этой цели ось волновых чисел разбивается на прогрессивно расширяющиеся зоны 11О ных в соответствующей области волнового пространства (рис.7.1). Величину Б„называют иногда коллективной переменной для всех пульсаций, ле- жащих в выделенном диапазоне волновых чисел.
Для переменных 1)„требуется написать уравнения, которые будут моделировать «базовые свойства» уравнений движения жидкости Гкак правило, речь идет об уравнениях Навье - Стокса для несжимаемой жидкости). Под «базовыми» свойствами понимается, как минимум, выполнение законов сохранения и квадратичная нелинейность уравнений. Общий вид каскадных уравнений можно записать в виде Щ, =~ Т„„,1)„Ц вЂ” К„11, «1„ Г7.2) 7.2. Модель Новикова - Деснянского Каскадные модели являются спектральными моделями турбулентности, так как описывают процессы переноса энергии по спектру. Покажем, как получить простую каскадную модель с помощью фурье-представления уравнений Навье - Стокса.
Для этого запишем уравнение движения для компонент поля скорости д «1 = — Г«„д„)«,. — Р 'д,Р+«д,11, Г7.3) а скорость представим в виде ряда Фурье «;Г г) = ,'1'«,ГУс )е"" . Подставим Г7.4) в Г7.3) Г7.4) д,~~1 «1ГР)е'"" = — > ~~ «Г р)е' "ГЧ,. )«,.ГЧ)е"' — р ' '~ Г р1)РГ р)е"' — « ~~~ Р «.,ГР) Конкретные модели отличаются, в основном, видом матрицы нелинейных взаимодействий т„„„. Параметр О, определяющий ширину отдельной зоны, как правило, выбирают равным двум, что соответствует разбиению пространства волновых векторов на октавы. Диссипативное слагаемое записывается в виде К„1)„=1с„'1)„, повторяющем вид диссипативного члена уравнения Навье — Стокса в пространстве Фурье, а переменная 1„описывает действие внешних сил в заданной октаве волновых чисел.
111 (здесь р и 7 — волновые векторы) и, после умножения уравнения на е ' ", интегрируем его по Ю. В результате получаем Пользуясь уравнением неразрывности, которое в пространстве Фурье име- ет вид исключим из уравнения давление. Для этого умножим уравнение на й,. и после простых преобразований получим После подстановки получаем (7.6) Структура нелинейного слагаемого в (7.6) такова, что во взаимодействиях всегда участвуют три моды Фурье д(/~), ч(д) и г(~с — ч) - это значит, что взаимодействуют три волны, волновые векторы которых образуют треугольник.
Рассмотрим выборку волновых чисел, таких, что ! й„1= /с,2" и выберем из суммы (7.6) только слагаемые, описывающие взаимодействия соответствующих мод. Набор возможных комбинаций на таком наборе векторов ограничен, так как из них можно построить только равнобедренные треугольники, в которых основание меньше или равно боковым сторонам (возможен, конечно, и равносторонний треугольник, но он соответствует взаимодействиям внутри данной октавы волновых чисел, которые в рамках данных моделей не рассматриваются), и предельный случай, когда две боковые стороны вдвое меньше основания, и треугольник вырождается в прямую. Это значит, что если мы примем за каскадные переменные соответствующие гармоники Фурье (С„=д(й„)), то в матрице Т„, уравнения (7.2) останутся только диагональные члены Т„„„„и Г„„„„(т = п — 1,и ~-1,и+2,......). В простейшем случае можно ограничиться рассмотрением лишь локальных взаимодействий, то есть взаимодействиями ближайших соседей в цепочке.
Тогда одна из возможных форм модельных уравнений есть 112 Цепочка уравнений (7.7) и представляет собой каскадную модель Новикова - Деснянского - первую каскадную модель турбулентности. Уравнения со1б держат одну константу и, которая выбирается, исходя из закона сохранения. Кинетическая энергия всей системы есть (7.8) (7.9) Требование сохранения энстрофии (7.9) приводит к значению константы 6=8. Важно отметить, что модель (7.7) может одновременно удовлетворять только одному закону сохранения. Уравнения (7.7) имеют стационарные решения, соответствующие наличию инерционного интервала. Эти решения могут реализоваться при малой вязкости (большом числе Рейнольдса) и должны иметь степенной вид У„= У,/с„" .
(7.10) Нетрудно увидеть, что для й„= й,2" стационарное решение вида (7.10) воз- никает при )од, Ь а=— 3 (7.1 1) При 6=2 (сохраняемой величиной является энергия) это дает решение П Е1„= У,2 ', а при Ь = 8 (сохраняется энстрофия) решение есть У„= У,2-". Пер- вое решение соответствует колмогоровскому спектру для инерционного интервала переноса энергии ЕФ)-й -", а второе - спектру Крейчнана Е(й) - й для инерционного интервала переноса энстрофии, реализующемуся в двумерной турбулентности. Отметим, что если спектр энергии подчиняется степенному закону Е(И) - й', то энергия октавы н Е„= )ЕЯ)сй - ~с„х (7.12) "Деснянский В.Н., Новиков Е.А. Моделирование каскадных процессов в турбулентных течениях д При- кладная математика и механика, 1974.
Т.38. 1~1.3. С.507-513. Если потребовать, чтобы при отсутствии диссипативного слагаемого сис- тема уравнений (7.7) сохраняла энергию, то из этого условия легко нахо- дится значение константы: Ь = 2. Аналогом энстрофии в каскадной модели является величина 113 и из сравнения (7.12) с (7.10) следует, что 7+1 а= г (7.13) Простейшее обобщение модели (7.7) состоит в добавлении дополнительной пары членов У„= 7с„[с7„', — гГ7„'су„„+ ЯЯ„,ބ— ггпу„~ )1 — ч7с'Ю„. 1'7.14) 7.3. Модель СОУ К моделям вида (7.2) можно прийти различными путями.
Более формализованый путь основан на введенном А.М.Обуховым понятии системы гидродинамического типа (СГТ). Системой гидродинамического типа называется динамическая система, удовлетворяющая четырем условиям: 1) в бездиссипативном пределе система сохраняет фазовый объем; 2) система имеет не менее одного квадратичного интеграла движения; 3) уравнения содержат квадратичную нелинейность; 4) при рассмотрении длинных цепочек уравнений, последние ограничиваются локальными взаимодейстиями, то есть взаимодействуют только ближайшие соседи. Простейшая СГТ представляет собой триплет. Собирая цепочку из отдельных триплетов, можно прийти к системам вида (7.2). Удается построить системы гидродинамического типа, обладающие несколькими интегралами движения.
СГТ с двумя интегралами движения была построена в работе'7, а на ее основе позже была построена каскадная модель двумерной турбулентности вида'~ Г7„= 7с„(агу„,с1„, +И7„,Г7,ч + сИ„,Г7„,) — здс„т7„. (7.15) "Гледзер Е.Б. Система динамического типа,допускакипая два квадратичных интеграла движения Я Док- лады Академии Наук СССР, 1973. Т.209. 1х1.5. "Гдедзер Е.Б., Макаров А.Л. О построении каскадной модели двумерной турбулентности Я Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1979.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
