Часть 2 (1161665), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(7.43) При столь быстром затухании энергии пульсаций трудно рассчитывать на формирование протяженного интервала. Это подтверждают и результаты численного счета для случая о=10 ", приведенные на рис.7.11, где не удается выделить интервала с постоянным степенным законом. 1оХХ„,11о '2 -10 — 20 20 25 0 10 15 Рис.7.10 На рисунке даны результаты счета с различными значениями параметра 1.
В конвективном интервале отличие невелико, так как здесь доминируют локальные взаимодействия полей скорости и температуры. Различия хорошо видны в мелкомасштабной части спектра, где формируется инерционный интервал переноса энстрофии. Известно, что каскадные модели испытывают проблемы с описанием каскада энстрофии, выражающиеся в том, что поток энстрофии в них слаб в сравнении с пульсациями энстрофии в отдельном масштабе и падает с ростом и, а спектры энергии не следуют единому степенному закону.
Увеличение 1 усиливает поток энстрофии и приводит к появлению протяженного интервала, в котором спектр кинетической энергии следует степенному закону с наклономЕ~Й)- /<-'"'-. Интересно отметить, что именно такой наклон спектра был получен при исследовании двумерной турбулентности с помощью иерархической модели, в которой число переменных растет как 2'" по мере роста волнового !25 числа )~„= 2", что позволяет в отличие от каскадных моделей учитывать и пространственную неоднородность турбулентного течения. !о5Х„РР !о52 — 20 20 25 0 5 !О !5 Рис.7.11 Большие числа Прандтля (о» 1) способствуют формированию вязко-конвективного интервала, в котором соответствующие масштабы поля скорости подавлены вязкостью, но остается спектральный поток пульсаций температуры, поддерживаемый лишь крупномасштабным полем скорости.
Поскольку диффузия тепла происходит на существенно меньших масштабах, то поток энергии пульсаций температуры по спектру остается постоянным, но характерное время переноса определяется крупномасштабными пульсациями скорости и может считаться для этого интервала постоянным. Эти рассуждения приводят к спектру Бэтчелора (5.41), Ет()~ ) - )с (7.44) Между конвективным (обуховским) и вязко-конвективным интервалами можно ожидать появления интервала (5.51), в котором вязкий член становится весомее нелинейного, но остается существенной сила плавучести.
Тогда баланс архимедовых и вязких сил вместе с (7.44) приводит к спектру Е„(й) — й '. (7.45) Результаты вычислений для случая о =10',Ке=!0 представлены на рис.7.12 и показывают, что интервал, в котором устанавливаются законы (7.44-7.45), может быть достаточно протяженным. Можно видеть, что уве- 129 личение 3 приводит к растяжению интервала (7.44), но практически не влияет на распределение энергии пульсаций скорости. 1о~ Л „/ 1оВ 2 1Π— 20 --зо о Рис.7.12 7.6. Каскадные процессы в МГД-турбулентности В1 д,г+(Л7)г =(ВГ/) — ~7 Р+ + Лг, 2 Ке (7.4б) В,В+(Я)В = (В~7)г ь ЬВ, Кт Юг=О, 17В = О. (7.47) (7.48) (7.49) Здесь Ке = /7/./ч — обычное гидродинамич еское число Рейнольдс а, а кт =г//./~„, = ке-рг,„- магнитное число Рейнольдса, определенное через магнитную вязкость ~„, =1/цо (р - магнитная проницаемость среды, а - электрическая проводимость).
Отношение кинематической вязкости к магнитной вязкости называется магнитным числом Прандтля рг„, =~ /~ „,. Основные особенности МГД-течений связаны с тем, что проводящая жидкость увлекает силовые линии магнитного поля. В пределе идеальной проводимости наступает эффект вмороженности - силовые линии поля оказываются связанными с жидкими частицами. Наиболее интригующим свойством МГД-потоков является их способность генерировать магнитные поля.
Впервые идею МГД-динамо, а именно идею о том, что источником магнитного поля Солнца являются течения в его недрах, высказал Лармор еще в 1919 году. Однако, попытки построить теорию динамо или хотя бы дать примеры течений, способных генерировать магнитные поля, долгое время оставались неудачными. Первые точные результаты были негативными и вылились в так называемые В качестве последнего примера рассмотрим модель развитой турбулентности проводящей жидкости. Специфика движений жидкости с электрической проводимостью состоит в том, что жидкость не только подвержена действию дополнительного силового поля (в магнитном поле возникает сила Лоренца), но и сама оказывает воздействие на магнитное поле.
При этом важно, что воздействие не сводится к запутыванию силовых линий и размельчению структуры поля (как это происходит при перемешивании пассивной примеси или тепла), а может, в определенных условиях, и генерировать магнитные поля. Хорошо проводящие жидкости - это жидкие металлы, но в сферу действия магнитной гидродинамики (МГД) попадают и многие другие среды - электролиты, плазма (особый интерес представляют солнечная и звездная плазма), межзвездная среда.
Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции В. Уравнения движения включают уравнение Навье - Стокса, дополненное силой Лоренца, уравнение для вектора индукции, уравнение неразрывности и условие соленоидальности магнитного поля. Систему уравнений можно записать в безразмерном виде 131 е =11ч' ~-В')Ю и, =)1- в)!Р, Оа =1(А В)дг, (7.50) (7.51) (7.52) где А есть векторный потенциал магнитного поля (В = госА). В случае дву- мерного течения последний интеграл заменяется квадратом векторного по- тенциала а =1(А )е!Р. (7.53) Наличие у каскадных моделей типа (7.22) знакопеременных интегралов позволяет рассчитывать на построение модели, удовлетворяющей всем известным в МГД законам сохранения.
Такая модель была предложена в работе "в форме '(д, — ч1с„е )! 1, = й„ф.1,,1.1„е — В„, В„„)— --'1и.',и;, -в.' в„',1~ ' ' 1с,",,и.' -в.',в.',!)+ с, (7.54) (7.55) "Рпс1с Р.С., оп!со!ой'1Э.1Э. Саасаде апд дупато аспоп т а аье!1 тоде! оГ1пеЬп1епсе // РЬуедса1 Кее1еп Е, 1998, Чо!.57.14.4.
Р.4155-41б4. теоремы запрета (или антидинамо теоремы). Первую теорему доказал Каулинг (1934г.), показав, что никакое осесимметричное течение не может генерировать магнитное поле. Вторую теорему запрета доказал Зельдович в 1956г. Суть теоремы в том, что магнитные поля не могут генерироваться двумерными потоками (это не исключает возможности временного усиления магнитного поля, но запрещает его устойчивый рост и стационарное поддержание). Таким образом, было доказано, что механизм динамо может быть реализован только в существенно трехмерном потоке, причем важнейшую роль в этом процессе играет спиральность.
В контексте изложения свойств и возможностей каскадных моделей МГД-турбулентность интересна как пример сложного турбулентного течения, характеризуемого особым набором интегралов движения. Уравнения (7.46)-(7.49) в бездиссипативном пределе сохраняют три квадратичные величины. В случае трехмерного движения это общая энергия е, перекрестная спиральность и, и магнитная спиральность иа: 132 При 8„=0 система (7.54)-(7.55) совпадает с моделью СОТ (7.22). В общем случае модель содержит дополнительный ггараметр г.,„.
Огметим, что энергия и перекрестная спиральность, выражаемые в модели в виде Е = ~ (~ Н ~' +1В 1') и и, = Х(г/.в.'+ г/.В.), сохраняются системой при любом значении параметра яи,. Требование со- хранения величины Н„=,'Г(-1>и/„' ~ В„~', и (7.58) служащей аналогом магнитной спиральности (7.53), приводит к однозначному определению обоих параметров: а =1/2, а,и =1/3. Отметим, что параметр ~ совпадает при этом со значением, получаемым в модели трехмерной турбулентности из требования сохранения гидродинамической спиральности. Это означает, что в приближении слабых магнитных полей система (7.54)-(7.55) вновь сохраняет гидродинамическую спиральность. Для моделирования двумерной МГД-турбулентности нужно потребовать сохране ния величины а =~г„! В„! и (7.59) (квадрата векторного потенциала), что приводит к следующим значениям параметров: в =5/4, ви, =-1/3.
Мы приведем только некоторые результаты, касающиеся моделирования поведения свободно вырождающейся МГД-турбулентности, хотя каскадная модель, о которой идет речь, дала новые результаты и при исследовании поведения стационарно возбуждаемой МГД-турбулентности. Свободное вырождение подразумевает равенство нулю сил /„и у„в уравнениях (7.54)-(7.55) и решение задачи с заданными начальными условиями. В качестве начальных условий рассматривается распределение энергии по спектру, соответствуюгцее спектральным законам вида Е, - Е„- й ' (для всех и > О), уровень магнитной энергии существенно ниже соответствующего уровня кинетической энергии (Е, =1, Е„= 0,0001).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
