Часть 1 (1161664)
Текст из файла
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Пермский государственный технический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов П.Г.Фрик ТУРБУЛЕНТНОСТЬ: МОДЕЛИ И ПОДХОДЫ Курс лекций Часть 1 Рекомендовано учебно-метолическим отделом по направлению «Электроника и прикладная математика» в качестве учебного пособия для студе нтов с нециаль ности «Прикладная математика» Пермь 1998 УДК 532.517.4 Турбулентность: модели и гюдходы. Курс лекций. Часть ? / П.Г.Фрик; Перм. гос.
техн. ун-т. Пермь, 1998. 108 с. кафедра физики Пермского государственного технического университета, д-р физ.-мат.наук, профессор Д.В.Любимов Рецензенты: 1БВМ © Пермский государственный технический университет, 1998 Первая часть курса лекций включает в себя введение и три из семи разделов курса «Турбулентность: модели и подходы». Первый раздел содержит базовые сведения из механики жидкости, необходимые для дальнейшего изложения. Второй посвящен вопросам, связанным со стохастическим поведением маломодовых систем гидродинамического типа. В третьем разделе выводятся уравнения для статистических моментов пульсаций скорости и дается краткий обзор моделей, используемых для их замыкания. Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей.
Ил.64. Библиогр. 12 назв. ВВЕДЕНИЕ ..... 1 ОСНОВЫ. 1.1 Уравнения движения жидкости. .21 1.2 Устойчивость течений. .26 1.3 Свободная копвекпня несжимаемой жидкости.. .31 1.4 Конвективная устойчивость. .37 1.5 Маломодовая модель конвекции(система Лоренца) 2 ХАОС В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. ..42 .43 2.1 Консервативные и диссипативные системы 2.2 Бифуркации .50 Как описать переход и хаос? 2.4 Спектры Фурье..
.63 2.5 Странный аттрактор. .67 2.6 Фракталы.. 2.7 Субгармонический каскад .74 .79 2.8 Некоторые примеры . 3 ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . .92 3.1 Развитая турбулентность 3.2 Уравнения для статистических моментов. ... 102 3.3 Турбулентная вязкость ... 3.4 Длина пути смешения.. . 103 ..105 3.5 Модели переноса турбулентной вязкости.. .... 105 3.6 Двухпараметрические модели. ВВЕДЕНИЕ Турбулентность остается одним из наиболее сложных объектов исследования механики жидкости и газа. За почти столетнюю историю ее изучения предложены десятки различных подходов, почти всегда отражающие наиболее активно развиваемые перспективные направления математики и физики соответствующего периода времени. Статистическая физика и теория вероятности, теория размерности, фурье анализ и прямые численные методы, теория динамических систем, теория фракталов и вейвлет-анализ - вот далеко не полный перечень областей науки, которые давали основные идеи исследователям турбулентности.
Теория турбулентности далека от своего завершения. Продолжают появлятся и все новые подходы к ее изучению. Растет число моделей, предлагаемых для лучшего понимания отдельных ее свойств. Дать представление об основных идеях, движущих этот процесс, продемонстрировать возможности различных подходов и показать проблемы, ими не разрешенные, представить современные модели, не вошедшие еще в учебники и не ставшие хрестоматийными - вот цель предлагаемого курса лекций. Курс предназначен для студентов специальности "прикладная математика", ориентирующихся на работу в научно-исследовательских учреждениях и на кафедрах, в особенности тех, что связаны с решением задач механики жидкости и газа.
В то же время, в курсе рассматриваются и общие подходы к моделированию сложных динамических систем, которые могут быть полезными специалистам, занимающимся моделированием самых различных (и не только механических) систем и явлений. Курс рассчитан на студентов, получивших широкую базовую подготовку по основным математичеким дисциплинам, включая методы математической физики, функциональный анализ и теорию вероятности, а также прослушавших спец- курсы по механике (механику сплошных сред, теорию определяющих соотношений).
Курс лекций состоит из двух частей. В первую часть включены три главы, включающие в основном сведения, которые можно найти в различных учебниках и монографиях, но собранные воедино и изложенные в свете задач, обсуждаемых в этом курсе. Вторая часть содержит результаты, которые, за редким исключением, не вошли еще в книги и могут быть найдены только в оригинальных статьях.
Первая глава содержит базовые сведения по динамике несжимаемых жидкостей, включая вывод уравнений движения для идеальной и вязкой жидкости и примеры задач, имеющих точные ре|иения. Даны основы тео- рии устойчивости, имеющей важнейшее значение в понимании проблем перехода от ламинарных течений к турбулентным. Подробно обсуждаются две задачи : устойчивость плоского течений Пуазейля (задача ОрраЗоммерфельда) и задача Релея о конвективной устойчивости подогреваемого снизу горизонтального слоя несжимаемой жидкости.
Последняя задача предворяется выводом уравнений свободной конвекции в приближении Буссинеска и обсуждением необходимых условий устойчивости неоднородно нагретой жидкости, находящейся в поле сил тяжести. Особое внимание уделяется вопросу о безразмерном представлении уравнений движения, о законах подобия и о безразмерных параметрах и их роли в описании процессов перехода к хаотическому поведению. Глава заканчивается выводом маломодовой модели конвекции (модель Лоренца). Этот вывод имеет методическую цель -показать и обсудить проблему проектирования нелинейных уравнений движения на конечномерный базис и переход от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
В то же время подробный вывод модели полезен, так как полученная система уравнений широко используется в следующей главе, где подробно обсуждаются ее свойства. Значительный прогресс в понимании природы и свойств турбулентности произошел в последние десятилетия благодаря успехам теории динамических систем, позволившим понять как хаотическое поведение возникает в детерминированных системах. Этим результатам посвящена вторая глава, в которой приводятся базовые сведения из теории динамических систем и обсуждаются некоторые приложения. Вводится понятие фазового пространства и даны примеры фазовых портретов некоторых простых динамических систем.
Обсуждаются особенности эволюции консервативных и диссипативных систем. Для диссипативных систем вводится понятие аттрактора, обсуждаются свойства аттракторов стохастических систем. Излагаются краткие сведения из теории фракталов, дается понятие обобщенной размерности и описаны алгоритмы определения размерности аттракторов стохастических систем. Даны основы теории бифуркаций, рассмотрены некоторые методы исследования перехода к хаосу и характреистики динамических систем при периодическом и хаотическом поведении (сечения Пуанкаре, показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова, спектры Фурье). Описаны и обсуждены основные сценарии перехода от порядка к хаосу: сценарий Ландау, сценарий Рюэля и Таккенса, субгармонический каскад.
В заключение главы рассматриваются примеры гидродинамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение. Проведен подробный анализ поведения модели Лоренца, уравнения которой выведены в первой главе. Рассмотрена также простейшая модель генерации магнитного поля Земли (динамо Рикитаки), воспроизводящая эффект случайных перебросов направления магнитного поля.
Показаны и обсуждены также результаты экспериментального наблюдения хаотизации конвективного течения в замкнутой полости. В третьей главе начинается знакомство с методами описания развитой турбулентности, а именно, с исторически первым и наиболее развитым подходом к описанию турбулентных потоков. Это подход Рейнольдса и выросшие из него многочисленные полуэмпирические модели турбулентности. Начинается глава с определения статистических моментов случайных полей, характеризующих турбулентный поток. Далее дан вывод уравнения Рейнольдса для средних полей и обсуждаются вопросы, связанные с появлением в уравнениях тензора напряжений Рейнольдса.
Показано, как получается цепочка уравнений Фридмана-Келлера и формулируется проблема замыкания. Разговор о путях решения этой проблемы начинается с описания гипотезы Буссинеска для тензора напряжений, определения понятия турбулентной вязкости, описания и обсуждения модели пути смешения Прандтля. В последующих параграфах рассмотрены более сложные модели: модели переноса турбулентной вязкости и двухпараметрические модели типа й-с модели. Полуэмпирическим моделям в предлагаемом курсе лекций уделено сравнительно скромное место по двум причинам.
Во-первых, именно этот подход наиболее полно освещен в литературе и может быть свободно изучен по учебникам. Во-вторых, основной целью данного курса является знакомство с методами изучения свойств мелкомасштабной турбулентности (однородной изотропной турбулентности), которая как раз и остается за полем зрения полуэмпирических моделей. Поэтому описание этих подходов необходимо только для общего знакомства с идеологией метода, дающего возможность ссылаться на него в дальнейшем и проводить не обходимые сравнения. 1 ОСНОВЫ 1.1 Уравнения движения жидкости Гидродинамика - это раздел механики сплошных сред, описывающий движение жидкостей и газов в рамках модели сплошной среды.
Последнее означает, что рассматриваются масштабы ~ » ~, где ~ - длина свободного пробега молекул. Рассматривается физически бесконечно малый объем, и вводятся характеристики среды: скорость ~ и две термодинамические величины: давление Ри плотность Р. 1.1.1 Уравнение непрерывности Законы движения выводятся из законов сохранения. Сначала используется закон сохранения вещества.
В пространстве фиксируется некоторый объем Ч, ограниченный поверхностью 5, масса которого равна Изменение массы этого объема есть д д — т = — 1 рл', Й д~„ а вытекающий из объема поток жидкости ~р „Л. Если за положительное направление принять направление движения из рассматриваемого объема, то условие сохранения массы можно записать в виде Правая часть равенства преобразуется по теореме Остроградского- Гаусса ~рч„сБ = ~ йч(рР)сЛ~. Тогда — + йч(ра) = О, др д~ которое называют уравнением непрерывности (неразрывности).
Для несжимаемой жидкости плотность есть величина постоянная (р = сопи) и уравнение (1.1) упрощается: йи(ю) = О (1.2) Важно отметить, что уравнение неразрывности справедливо и для идеальной, и для реальной жидкости. 1.1.2 Идеальная жидкость Уравнения для скорости выведем сначала для идеальной жидкости. Идеальная жидкость- это жидкость без вязкости и теплопроводности. Закон сохранения импульса для движущегося жидкого объема есть — () риа)= ~~~ 7",, где в правой части стоит сумма всех сил, действующих на выделенный объем.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
