Часть 1 (1161664), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ограничиваясь рассмотрением силы тяжести и сил давления, запи- шем а так как равенство должно быть справедливо для любого объема, то подынтегральное выражение должно удовлетворять уравнению Учитывая, что ~ Р юг=о (интеграл берется по жидкой частице, то гор Д1 есть по заданному количеству жидкости, а не по заданному объему), можно переписать уравнение в виде ') р — Ю =()(ри -чрев И сй ~К х7Р— =Ф~й (1.3) й~ Входящая в уравнение производная — — это субстанциональная сй производная, которая описывает изменение скорости жидкой частицы.
Рассмотрение движения отдельных жидких частиц называется подходом Лагранжа к описанию движения жидкости. В большинстве случаев предпочтительным является подход Эйлера, который заключается в описании характеристик жидкости в заданной точке. Чтобы получить уравнение движения в форме Эйлера, нужно получить связь между субстанциональной и локальной производными.
Запишем приращение скорости Ж д1 д~ дю Й' = — Й1 + — Ых+ — ф+ — И2 д~ дх ~~ дг и получим из него связь субстанциональной (полной) производной по времени с частной производную скорости по времени (изменение скорости в заданной точке) сУ Ь' Ь дх дг ф' Ъ с~~ д1' дг дя ди + + + Х ~' 2 Л д~ дха дул аж а 'дх "ду 'а' или Й~ дя ( ) сй д~ (1.4) Используя полученное соотношение, приходим к уравнению Эйлера, полученному им еще в 1755 г.: — +(лф=- — и+у .
дР 1 (1.5) й р и, снова исходя из произвольного выбора объема частицы, перейти к дифференциальной форме ш — =О е Р=О. д~ Т'аким образо м, 1 — — Чр+я =О, Р (1.6) илиЧР = ря . Учитывая, что сила тяжести направлена вертикально вниз и считая, что по вертикали направлена координата к, т.е. я = — де, получим дР =-ря, а Р=Р,-ряб д2 Запишем теперь поток импульса в тензорных обозначениях.
Отметим, что в дальнейшем мы иногда производную по времени будем обозначать как д, . д,(р~,) = рдр, +д,ра,, Уравнение непрерывности перепишем в виде д(р~,, ) д х„ а уравнение Эйлера (1.5) в виде д~', 1 дР др, = — я ч дх,, р дх, Подставим две последние формулы в выражение для изменения импульса: дч, дР д(р~, ) д,(р~,.) = — р~„ дх, дх, ' дх, = — д„— (р~р„) = — (Ь„Р+ ряр„) дР д д ' дх„ дх„ ' дх, дх дх и введем тензор плотности потока импульса, описывающий перенос ~-ой компоненты импульса через площадку, перпепдикулярную к-ой оси Гидростатичсское приближение получается при условии отсутствия движения, то есть равенства нулю скорости и производной по времени: 11 (1.7) П, =д,„р+р,ч„ Тогда уравнение для изменения импульса запишется в виде д дП„. — (р,) =- д1 ' дх„ а для конечного объема (1.8) ~ — рч,Л =~- "Л =-~П„Л, д оП,„ ,, д1,, дх,, Переходя от переменных Лагранжа к переменным Эйлера, получаем — +(т)у =о.
д5 д1 (1.9) 1.1.3 Реальная жидкость Реальная жидкость — это жидкость с вязкостью (внутренним трением) и теплопроводностью. Начнем с рассмотрения уравнений движения для изотермической жидкости и для начала еще раз напомним, что уравнение непрерывности (1.1) справедливо и для реальной жидкости, так как его вывод основывался только на законе сохранения вещества. Далее воспользуемся уравнением Эйлера, записанным в форме закона для переноса кчпульса (1.7)-(1.8), и попытаемся дописать в него слагаемые, отвечающие за перенос импульса в результате действия вязких сил д д — (рч ) = — (рч.ч + рд + поток импульса из — за вязкости) = д1 ' '' дх, ' д = — — (рч,ч, + рд„— о,'„) х, Нами не использован закон сохранения энергии.
Напомним, что рассматривается идеальная жидкость, а это означает, что в жидкости отсутствуют теплообмени трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице. Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что энтропия каждого жидкого элемента остается гюстоян- ной где величина од= гэда — о,', называется тензором напряжений, а о,'„- тензором вязких напряжений. Тензор вязких напряжений о,'„должен характеризовать неоднород- ности поля скорости, которые можно описать производными поля скоро- сти д'т, дх„ дх„дх, дт, йу6 = — е д.т„ Гздесь и далее подразумевается суммирование по повторяющимся индексам).1 Общий вид тензора второго ранга, удовлетворяющего поставленным условиям, есть (ди, ди, 1 ~дх, дх, ) Принята несколько иная форма записи ' Убедимся, ито эти две комбинации равны нулю ири твердотельном вращении жидкости. т=йхк т, =й,," — й,у т„=й у — й,.~ т =й,у — йь,в ди, дт,, ди, =О еда.
' = = -' =О дх ду д2 дц ди, '+ '= — й +й, ду дх Требуется угадать форму зависимости тенз ора вязких напряжений от этих производных. На этом этапе делается самое важное ограничение на пути получения уравнения движения. Оно состоит в том, что учитываются только линейные комбинации первых производных поля скорости.
Кажется естественным, что однородное гюле скорости не приводит к появлению вязких напряжений. Нужно, однако, учесть, что есть специальный случай, когда поле скорости неоднородно, а вязкие напряжения возникать не должны. Это случай твердотельного вращения жидкости. Существуют только две линейные комбинации первых производных, удовлетворяющие этому требованию. Это 13 удобная тем, что сумма диагональных членов в скобке равна нулю. В выраже нии присутствуют два коэффициента: и -сдвиговая вязкость ~ -обьемная (вторая) вязкость.
Таким образом, уравнение движения приобретает вид р '+~„' = — ~- и '+ ' — — д„лай + ~ " . (1.11) Коэффициенты вязкости зависят от температуры и давления и не являются постоянными вдоль жидкости. Однако, во многих случаях можно считать эту зависимость слабой и вынося коэффициенты вязкости за операторы дифференцирования, прийти к виду р ~ — ~- (Л7)Р~ = — 17р ~-т~Ла + ~ Г, ~- — ) угад йч Р д (1.12) который и принято называть уравнением Навье-Стокса. Важным частным случаем является случай несжимаемой жидкости. Тогда уравнения движения (1.1),(1.12) записываются в виде дР 1 — + (Л7)Р = — — КР+нМ д~ р (1.13) йчю =О Течение Куэтта. Рассматрива- 24 ется течение несжимаемой жидкости в горизонтальном слое толщиной с1, нижняя граница которого неподвижна, а верхняя движется с постоянной Рис. 1.1. где ~ =и / р — коэффициент кинематической вязкости.
Для решения конкретной задачи уравнения должны быть дополнены граничными условиями (например, условие прилипания на твердой границе или условие отсутствия касательных напряжений на свободной границе). Основные проблемы решения уравнений Навье-Стокса связаны с нелинейным членом. Известно небольшое число задач, в которых этот член обращается в нуль и задачи приводят к точным решениям.
Приведем только два хорошо известных примера таких задач. горизонтальной скоростью т„направленной вдоль оси х . Ось к направлена вертикально вверх. Ищется стационарное решение, то есть производная по времени равна нулю. Считается также, что задача плоская, то есть нет зависимости от координаты у и нет соответствующей компоненты скорости (т, = 0).
Более того, течение горизонтально и тг = О. Отсутствует также горизонтальный градиент давления. Из уравнения непрерывности немедленно следует, что оставшаяся компонента скорости не может зависеть от координаты х. ду, дх Следовательно, г, = ~(:), и нелинейный член исчезает х к т,— '+и,,— '+г,— '=О. ' дх ' ду ' д~ В результате, от уравнения Навье-Стокса остается дггг = 0 или т. = гг2+Ь. д~ Постоянные интегрирования находятся из граничных условий т, =0 при ~=0 при ~ =д и получается результат 2 т, =т,—. д При этом, отлична от нуля только одна компонента тензора вязких напряжений х 0 о„=п ' = — т1, д~ д с которой просто связана сила, действующая на площадку поверхности площадью $ т оч~ И 15 Течение Пуазейля. Второй хорошо известный пример задачи о течении вязкой жидкости, имеющей точное решение, является задача Пуазейля о течении жидкости в слое с твердыми границами (или трубе) под действием приложенной к краям разности давления.
Рассмотрим сначала плоский горизонтальный слой толщи- ной 2И и длиной Е, на концах которого задано давление Р, и Р„соответстРис. 1.2. венно. Как и в предыдущей задаче, ищем стационарное решение (д, = 0) ТОЛЬКО дЛя КОМПОНЕНТЫ СКОрОСтИ 2, (2,, =я =0) И ПО тЕМ жЕ ПрИЧИНаМ д, =д, =О. В этом случае снова исчезает нелинейный член, так как возникающий градиент скорости направлен перпендикулярно самой скорости. Тогда уравнение Навье-Стокса принимает вид 1 ВР д 2'„ — — — +~," =О, Р дх д2' а его решение, с учетом граничных условий (1„=0 1де ~ =+И) есть 1 2 2 12 221 Ь Для цилиндрической трубы радиуса В задача решается аналогично. В этом случае оператор Лапласа нужно записать в цилиндрической системе координат 1 2 и его решение примет вид ~! ~2 2 2 = г +С1п2.+В.
4212. Постоянная интегрирования С = О, так как при г = 0 значение скорости должно быть конечно. Определив вторую константу из условия прилипания на стенке трубы, получим 16 Р1 Р2 (д2 2) 4т~/. 1.1.4 Число Рейнольдса Полученные уравнения движения несжимаемой жидкости приведем к безразмерному виду. Имеем (1.13), дч ч/Р— +(Л')ч = — — +чМ, дг р а1чэ = О. В уравнения входят следующие физические величины: время /, расстояние /, скорость ч, плотность р, давление Р и вязкость ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
