Часть 1 (1161664), страница 5
Текст из файла (страница 5)
0 Подставляя в уравнение для энтропии и ограничиваясь членами, линейными по Т', получаем + (Л7)Т' = ЬТ', Далее, откажемся от написания штрихов (не забывая при этом, что темпе- ратура отсчитывается от среднего значения, а давление — от гидростатиче- ского давления) и запишем результат - систему уравнений для термограви- тационной конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска д19 ЧР— +(Л~)Р = — " ~Ы+ ф37е,, Ро дТ вЂ” +(гх~)т = Тлт, д~ йчй =О.
(1.25) Мы учли, что я= — ф, и ввели коэффициент температуропроводности 7 =к /рс„. Систему необходимо дополнить граничными условиями. Для скорости можно принять, например, условия прилипания (Г!А=О), а для температуры — либо задать ее распределение на границе (Т 1„- = /,(А)), либо теплопоток через границу "Т = ~' (А). дл „- Обсудим возможные способы представления уравнений свободной конвекции в безразмерной форме. Особенностью конвективных задач является отсутствие заданной характерной скорости — скорость есть результат приложенной (заданной) разности температуры.
Возможный набор единиц измерения есть:расстояния - характерный размер 7„ температуры - характерная разность температур О, скорости - величина ~/7., времени - 7.'/~ и давления - рр '/7.' . Переходя к безразмерным величинам, получаем систему уравнений — -г-(Лг)г = — КР+ Лгт+ 6Те, ду дг дТ 1 +(Л')Т = — ЬТ, дг о г11чР = О. (1.26) В уравнения входят два безразмерных комплекса: число Грассхофа ф33Т.' Ч' и число Прандтля Число Грассхофа характеризует отношение архимедовых сил к вязким и свидетельствует о сильной зависимости конвективных механизмов от размера (в число Грассхофа размер входит в кубе). В отличие от числа Грассхофа, число Прандтля есть физический параметр жидкости, не зависящий от конкретной задачи, и характеризующий отношение коэффициентов кинематической вязкости и температуропроводности.
Приведем несколько типичных примеров значений числа Прандтля. Для газов число Прандтля порядка единицы, у воды о =7, у ртути о =1О-', у глицерина - о =10'. В жидкостях с малым числом Прандтля теплопередача эффективней конвекции и наоборот, при высоких Прандтлях температура «вморожена» в жидкость и перенос тепла за счет конвекции становится более эффективен, чем теплопередача. Наряду с двумя введенными безразмерными параметрами, в конвективных задачах часто используется число Релея, являющееся произведением чисел Прандтля и Грассхофа д13Эг.
— + (Лг)э = — КР + Лг + ЯаТе, Ю дг О +(Л7)Т = лт, дТ дг йчР =О. (1.27) Если за единицу скорости взять величину Х/Т., оставив все остальные еди- ницы измерения прежними, то мы придем к системе уравнений, содержа- щей число Релея з! дР 1 — + (Л~)Р = — х~Р+ — Л1з+ Те„ д~ + (Л~)Т = Л?', дг аН АУ =О. (1.28) В уравнениях появилось число Рейнольдса, что обусловлено введением ха- рактерной скорости. Используя выражение для введенной единицы скоро- сти, просто получить связь появившегося числа Рейнольдса с числом Грассхофа 1.4 Конвективная устойчивость Рассмотрим вопрос о том, может ли жидкость оставаться неподвижной при наличии неоднородного распределения температуры.
Чтобы убедиться, что равновесие неравномерно нагретой жидкости возможно, достаточно вспомнить школьный опыт гю кипячению воды в наклоненной пробирке, на дне которой находится лед, а нагревается только верхняя часть. Найдем необходимое условие механического равновесия жидкости (при наличии неоднородности температуры). Механическое равновесие подразумевает отсутствие скоростей и стационарность: д 17=0, — =О. д~ С учетом этих условий от уравнений Буссинеска остается 1 — — 'Г?Р+ д~?е = О Ро Л?' = О. За единицу скорости можно выбрать и скорость, приобретаемую жидкой частицей, перегретой на величину Э относительно окружающей ее жидко- сти и разгоняющейся на расстоянии 7..
Из условия рГ" - р'е?. получаем 1~ -,ЯЭХ. Принимая за единицу времени величину 7./1~, получаем зг На первое уравнение подействуем оператором го1. Так как гогЪ' = 0 го!(Те ) = Т го! е + Ч Т х е = О, а гаге = о, то условие равновесия жидкости сводится к требованию КТхе =О, то есть градиент параллелен вертикальной оси и температура может меняться только по вертикали: Т = Т(~). Это означает, что любой горизонтальный градиент температуры приводит к возникновению конвективного движения. Из второго уравнения ЬТ= — „=0 д'Т д2 следует, что температура может быть только линейной функцией высоты: Т = А~+В.
Мы не получили никакой информации даже относительно знака градиента температуры. Опыт подсказывает, что устойчивым может быть нагрев сверху. Более точный ответ состоит в том, что неустойчивость наступает при подогреве снизу после превышения некоторого (совсем небольшого) критического граРис.
1.10. диента температуры. Например, в горизонтальном слое с твердыми границами критическое число Релея, при котором возникает конвекция, равно 1708. Оценим соответствующую критическую разность температуры, имея в виду для определенности слой воды толщиной й: ч1! 1708 !О ' 1.4 !О" !О ' адаа я!3Ь' 10 2 !О 'Ь' Ь' ! 33 Таким образом, в слое воды глубиной 1 метр при подогреве снизу неустойчивость возникает уже при вертикальной разности температуры величиной всего 10 "градуса, в слое толщиной 1 сантиметр критическая разность температуры равна 0.1 градуса, а слой воды толщиной один миллиметр практически абсолютно устойчив. Задача об устойчивости горизонтального слоя жидкости при наличии вертикального градиента температуры (задача Релея-Бе нара) является классической задачей о конвективной устойчивости. Именно в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости со свободной верхней границей Бенар в 1900 году обнаружил возникновение после превышения критического Рис.
1.11. градиента температуры гексагональных структур, получивших название ячеек Бенара (рис.1.10). Фотография, взятая из работы [КоясЬппес1ег Е.1.. Ас1ч.СЬет.РЬуя., 1974, У.26. Р.177-212.], иллюстрирует высокую чувствительность гексагональной структуры к возмущениям— слабая деформация поверхности медной пластины, образующей дно сосуда, приводит к локальному нарушению вида ячеек. Течение в слое силиконового масла визуализируется с помощью алюминиевой пудры. Отметим, что гексагональные структуры возникают в слое только при наличии свободной поверхности и направление циркуляции в жидкостях и газах при этом противоположно.
В жидкости горячий поток поднимается в центре ячейки, а в газах наоборот — в центре ячейки холодный поток жидкости направлен вниз. Отметим, что возникновение гексагональных структур связано с действием поверхностного натяжения. При твердых горизонтальных границах возникают конвективные валы. Этот вид конвективных течений иллюстрирует рис.1.11, где показана валиковая конвекция в слое силиконового масла в круглом сосуде, закрытом сверху стеклом. Форма сосуда навязывает валам осевую симметрию.
Задача Релея. Теоретически задачу о конвективной устойчивости жидкости впервые решил Релей в 1916 году. Он рассмотрел горизонтальный слой жидкости толщиной йсо свободными, но не деформируемыми границами (такие не совсем реальные граничные условия дают самую про- стую постановку), на которых поддерживается температура Т, и Т„соот- ветственно. Уравнения Буссинеска записываются в безразмерной форме (на этот раз единицы измерений выбраны следующим образом: единица длины — 6, температуры — (Т, -Т,), времени — й'(ч, скорости — Т. Iй): — + — (Л7)з = — — КР -~ ЛР+ ЯТе, Ю 1 1 д~ о о а +(Л7)Т= ЬТ, дТ дк йч1т =О.
Решается двумерная задача в плоскости (х,х), то есть имеются в виду кон- вективные валы, направленные вдоль оси у. Граничные условия: ' =О, д. Ъ,, "' =О д~ =О, Т=1 ч =О, Т=О. 2 =1: Температура задается в виде Т =Э вЂ” ~, так что величина Э описывает откло- нение температуры от равновесного (линейного) распределения. Для поля скорости вводится функция тока д~/ У д~ дх д дЭ вЂ” Л1 =ЛЛ1+К д~ дх дЭ д~р д~ дх Последнее слагаемое во втором уравнении - это остаток от нелинейного слагаемого, так как (Л7)Т = (Л7)Э вЂ” ~ .
Граничные условия на верхней и нижней границах имеют одинаковый вид: Рассмотрение ведется в рамках линейной теории устойчивости, то есть из уравнений выбрасываются все члены, квадратичные по скорости и возмущениям равновесного профиля температуры. В результате получаются линейные уравнения 35 Следующий шаг состоит в использовании нормальных возмущений, которые задаются в форме периодических возмущений с экспоненциальной зависимостью амплитуды от времени: ч =ч~,е "$1П(Еда)$101 ) Э =Э„е "яп(лп~)сок(лах). Учитывая, что Л~р = — к ~и +а )у КЬу = л'(и +2а'п'+а')у, получаем уравнения ~л'(п'+и')у, =к'(и" +2а'и +а')у, — Вано, — — (~ +а 1з„+ представляющие собой систему линейных, однородных уравнений для амплитуд ~р, и Э,: л (а +л )(х — к (л +а ф„+Лало, =О л~~р +~Хо — л ~~ + ф =О. Система имеет решение, если ее определитель равен нулю Раскрывая определитель, получаем уравнение решение которого дает значения для декре мента Х: 2о 36 и (и + а ) ' (1 — о ) 4оа' На рис.1.12 показан график зависимости вещественной части декремента затухания от числа Релея.
На графике отмечены три области: 1 — область затухающих колебательных возмущений, 11 - область монотонно затухающих возмущений и 1?1- область монотонно нарастающих возмущений. Найдем критическое значение числа Релея, при достижении которого начинается нарастание возмущений. Из условия Х =Ополучаем Р и (а+и) 2 а Так как требуется найти самые опасные возмущения, то нужно определить соот- ветствующие значения а и и. Диффе- ренцирование по а дает а — (а +п) (2а — п)=0 М 2Л 2 2 2 2 2 да а' Рис. 1.13. По виду решения (1.29) можно сделать ряд полезных выводов.
Вопервых, видно, что при положительных значениях числа Релея (а при принятых обозначениях положительным числам Релея соответствует нагрев слоя снизу) подкоренное выражение всегда положительно. Это означает, что оба корня уравнения являются вещественными величинами и, следовательно, возмущения эволюционируют монотонным образом.
При этом один корень всегда положителен, а Р® ! второй при некотором значении ! Л = 11, меняет знак. /// Во-вторых, при отрицательных числах Релея (подогрев сверху) вещественная часть обоих корней всегда положительна. Следовательно, все ! возмущения при подогреве сверху зааа тухают. В то же время с ростом велис чины подогрева возникает ситуация, когда выражение под корнем станоРис. 1.12. вится отрицательным, то есть появляется два комплексно-сопряженных корня, описывающих затухающие, но колебательные режимы. Это происходит при 37 П 4П4 4 П Гг' Самые малые критические значения появляются при и =1, что соответству- ет одному слою конвективных валов.
Следовательно, 27 4 17, = =657,5. 4 1 ,Гг ' Вид нейтральной кривой показан на рис.1.13. 1.5 Маломодовая модель конвекции (система Лоренца) нентно, имеют вид д4, дг, д4", 1 дР ' +4, ' = — — +Ч~Ь„ й 'дх 'д2 р,дх д44 д4 дг. 1 дР— '+1,=+4 — '= — — — +НЛ4, +ЯТ, д~ 'дх 4д~ р,дх д7' дТ дТ +1, +4 = Т.ЬТ, й 'дх й дг '+ дх д~ (1.30) В заключение вводной части курса остановимся на выводе простой динамической системы, описывающей конвективные течения в той же самой задаче Релея о конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое несжимаемой жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
