Часть 1 (1161664), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Эта система стала одной из наиболее известных динамических систем, иллюстрирующих переход к хаосу и возникновение странных аттракторов (см. следующую главу). На данном этапе нас интересует сам процесс получения конечномерных проекций уравнений движения жидкости и переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Учитывая общепринятый вид системы Лоренца, мы сохраним единицы размерности и обозначения его работы (Еогепг Е., Ре1егппп1з11с Хопрег1ос11с Нож, 3'опгпа1 о1'АГгпоярЬег1с Яс1епсез, 1963, У.20, Р.130-141.) Как и в описанной выше задаче Релея рассматриваются только плоские движения жидкости (конвективные валы). Вектор скорости имеет две КОМПОНЕНТЫ 47=(4„0,г ) И ураВНЕНИя БуССИНЕСКа, ЗаПИСаННЫЕ ПОКОМПО- Далее снова вводится функция тока (мы повторяем вывод уравнений, так как теперь в них сохраняются нелинейные слагаемые) д д~р д~ д Ч~ ду д у 1 дР д~ хЛ р, дх д~ 1 дР +хл +ят ро д2 д2 д1 д~ й дхд~ дх дхд~ д д~ д~ д~р д~р дхр й дх дг дх' дх дхд~ дТ д~р дТ д~р дТ вЂ” — — — + — — = хлт й д~ дх дх д2 д ог —.л~~+ ~ч.л~~ 1=~лл~~+а0 д~ дх — + ~р,т~1= хлт, д~ (1.31) где для упрощения записи использованы скобки Пуассона 1А,В~ =— дА оВ дА оВ ох дг д2 дх Учитывая линейную зависимость равновесной температуры по высоте, представим, как и ранее, температуру в виде суммы лт~ 6 где В - есть отклонение температуры от линейного профиля.
Тогда д д — л~+~р,л~ ~= лл~+яр —, Й дх дВ ~ ~ Лтд~ дв й 6 дх (1.32) На границах: р =лц =в =о и после обычной процедуры дифференцирования первого и второго урав- нений соответственно по ~ и по х и вычитания первого из второго, полу- чаем 39 Дальнейший путь состоит в том, что функция тока и температура раскладываются в двойные ряды Фурье с зависящими от времени коэффициента- (72П2Х ~ . (ррП2 ~ 11/(х,2,1) = ~ 11/ррррр11)К!П вЂ” $1П вЂ” р ( 22П1Х . 22П2 О1Х,2,1) = ~ 0„,„11)СОЯ~ ~$1П~ Безразмерная система уравнений примет вид д ~ ~ ОЬ 4ог дО '1'+ '1' -4,2 Ч''Ь 2 д дО +~ О~ др12 Ь д1 дх 421 ' 11.33) (1.34) В эти уравнения подставляются разложения для функции тока и для темпе- ратуры в виде Подставляя эти разложения в уравнения и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях от хи ~, получают систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов 112„„,11) и О„,„(1). Отличительной особенностью модели Лоренца является то, что в разложениях оставлено минимальное число членов, сохраняющих нелинейность системы, а именно, один член из ряда для функции тока и два - для температуры.
Этот выбор был обусловлен результатами численных исследований конечномерных систем, проведенных Сольцменом (Ба11лпап В. Г1п1ге атр111ис1е аггее сопчеспоп ая ап 1пй1а1 ча1ие ргоЫет, Зоигпа1 оГ Агшозрпег1с Яс1епсеь, 1962, Ч.19, Р.329-341.), в которых было показано, что при некоторых значениях параметров системы действительно возникают режимы, при которых все остальные переменные стремятся к нулю, а гюведение трех оставшихся характеризуется нерегулярными непериодическими колебаниями. Мы, следуя Лоренцу, сразу оставим в разложениях только эти три члена, обозначив амплитуды соответствующих мод как х,уе~. Отметим, что при этом используется не совсем обычный способ обезразмеривания, в том смысле, что в единицы измерений входят критические параметры. За единицы измерения приняты величины: длины — Ь, времени т = Ь' /121'(1+а')Х), функции тока - 12'/2, температуры - я'.
Вводится обозначение Ь = 4/(1+ а') и нормированное число Релея 21 д~) Я'Ь1 а2 Я,, У1 П (11-а ) 4О ~Г2 ~1! = Х (!) $1п(бах) 31п(л2) 1 О = — [У(!)~Г2 соя(пах) яп(п~) — х. (!) к(п(гп~)~ В уравнении (1.33) скобки Пуассона равны нулю и простые преобразования приводят к уравнению (производные по времени обозначаем точками) Х =о(У вЂ” Х) Уравнение (1.34) дает 1 — [У~Г2 соя(пах) яп(п~) — У яп(гп~))+ лх ~Г2 Х вЂ” сок(пах) яп(п~) [У~Г2 соя(пах) соь(н~) — 2У сок(гп~)~+ 3х Гг, Х яп(пах) соя(х~)У~Г2 яп(пах) яп(п~) = е х ,Гг .,Гг . ь Х со~(!хах) яп(п~) — У со~(пах) яп(л~) + — х, яп(гп~).
Учитывая, что сумма слагаемых, содержащих произведение ХУ, дает 1ХУ(пх)-' яп(гп~)~ можно упростить уравнение '(У вЂ” хХ + У)сок(пах) яп(п~) — 2Хх, соя(пах) яп(п~) сок(гпх) = [У вЂ” ХУ+ ЬУ~яп(гп~). 1 Гг Это уравнение разделяется на два путем последовательного умножения на яп(п~) и на ип(гпту) и интегрирования по координате -. Таким образом, система уравнений для амплитуд трех выбранных мод выглядит следующим образом Х =о(У вЂ” Х) У = — ХЕ+ хХ вЂ” У х. =ХУ вЂ” И (1.35) Напомним, что система (1.35) имеет отношение к реальным конвективным движениям только при небольших надкритичностях (относительное число Релея не намного превосходит единицу).
Несмотря на это, поведение этой системы оказалось интересным само по себе и многочисленные численные исследования ее свойств проводились в очень широком диапазоне параметра !.. В вычислениях обычно используют число Прандтля о =10, а па- 41 раметр Ь = 8/З,что соответствует результату Релея для критического значе- ния а=1/ Г2. Рекомендуемая литература к первой главе: 1.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736с. 2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.736с. 3. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392с. 4. Валандер С.В. Лекции но гидроазромеханике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 296с. 42 2 ХАОС В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ Турбулентные течения представляют собой системы, характеризующиеся наличием хаотически распределенных и хаотически осцилирующих структур самого различного масштаба.
Турбулентность — это воплощение хаоса, а хаос долгое время ассоциировался с системами, имеющими огромное число степеней свободы, и развитая турбулентность считалась лишенной какого-либо порядка. Однако, начиная с конца 60-х годов нашего века наметился значительный прогресс в понимании природы турбулентности, связанный с осознанием природы и структуры хаоса. Во-первых, бьна установлена возможность хаотического поведения в нелинейных системах с совсем небольшим числом степеней свободы. Интересно, что впервые хаотическое поведение в простых гамильтоновых системах обнаружил А.Пуанкаре около ста лет назад, но только после работы Э.Лоренца (1963г.), в которой исследовалось хаотическое гюведение диссипативной системы из трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1.35), было оценено значение этого факта и началось активное исследования хаотического поведения динамических систем.
Правда, произошло это тоже не сразу, а только после ключевой работы Д.Рюэля и Ф.Таккенса 1971г., в которой было сформулировано понятие странного аттрактора и указана его роль в формировании нерегулярного поведения системы. Во-вторых, бьно понято, что даже в самом развитом турбулентном потоке существуют элементы порядка, а число реально возбужденных степеней свободы значительно меньше ожидаемого. В 70-80-х годах появляются многочисленные работы о когерентных структурах в турбулентных потоках и делаются первые попытки описания турбулентности на языке фракталов. Именно в это время сформировались такие науки, как теория катастроф и синергетика, появились первые книги о «детерминированном хаосе» и «порядке в хаосе». Важно подчеркнуть, что обычно рассматриваемые в этих книгах проблемы динамических систем невысокого порядка не имеют прямого отношения к развитой турбулентности.
В них речь идет о хаотическом во времени поведении небольшого числа заданных в пространстве мод (такие течения реально существуют при небольших надкритичностях, то есть вблизи порога неустойчивости), в то время, как «истинная» турбулентность хаотична и в пространстве и во времени.
Тем не менее, рассматриваемые в качественной теории динамических систем вопросы чрезвычайно полезны как для понимания путей развития турбулентных течений аз (сценариев перехода к хаосу), так и для отработки методов описания хаотических (в том числе и турбулентных) систем. Необходимо остановиться на самом понятии детерминированный хаос. Под ним понимают нерегулярное поведение нелинейных систем, эволюция которых однозначно описывается динамическими уравнениями при заданных начальных условиях. При этом нелинейность является необходимым, но не достаточным условием возникновения хаотического поведения, а его возникновение связано не с наличием источников шума или бесконечного числа степеней свободы, а со свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить решения в ограниченной области фазового пространства.
В данной главе мы остановимся на базовых понятиях теории динамических систем, рассмотрим основные виды бифуркаций и основные сценарии перехода от упорядоченного движения к хаосу. Мы подробно разберем свойства системы Лоренца, не только сыгравшей важнейшую роль в становлении науки о хаосе, но и имеющей самое прямое отношение к теме нашего курса.
Далее мы приведем пример еще одной динамической системы, имеющей отношение к гидродинамическим системам — это простейшая модель земного динамо Рикитаке. В завершение будут приведены некоторые результаты лабораторного исследования стохастизации конвективного движения в замкнутой полости. 2.1 Консервативные и диссипативные системы Любые движения мояно разделить на монотонные и колебательные, а колебательные в свою очередь, на регулярные (периодические) и нерегулярные. Среди периодических колебаний наиболее изучены гармонические колебания. Это вполне естественно, так как гармонические колебания чрезвычайно широко распространены в самых различных системах, а также потому, что любой колебательный процесс с помощью преобразования Фурье может быть представлен как сумма гармонических колебаний. Не удивительно, что знакомство с динамическими системами традиционно начинают с рассмотрения простого осцилятора.
Рассмотрим хорошо известный со школьной скамьи математический маятник - точечное тело массой ш, подвешенное на стержне длиной 1 и находящее- 9, ся в поле силы тяжести, характеризуемой ускорением свободного падения я (Рис.2.1). Маятник имеет одну степень свободы, описываемую углом отклонения от вертикали О . Основной закон механики приводит к уравнению, которое в цилиндрических координатах имеет вид О+ — япО =О. (2.1) ( Для малых угловых отклонений, когда япО =О, уравнение (2.1) становится линейным уравнением О+ — О =О, (2.2) решением которого являются г-армонические колебания 0 =О,яп(пи+д,) с круговой частотой гп =,Я/1 . 2.1.1 Фазовое пространство Состояние маятника в любой момент времени полностью задается двумя величинами: положением 0(~) и угловой скоростью 0(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
