Часть 1 (1161664), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

2.16. стейшем случае это гармонический сигнал (синус или косинус) и его спектр состоит из одной ненулевой компоненты с частотой ~(т. Для периодического сигнала другой формы в спектре появляются кратные гармоники (с частотами 2lт, 3(Г, 4(т,.....) (рис.2.14). Более сложно выглядит спектр квазипериодического сигнала. Как уже указывалось выше, аттрактор квазипериодического движения представляет собой тор размерности й. Это означает, что у функции существует д аргументов, по которым функция периодична с соответствующими периодами д,.

В общем случае спектр квазипериодического движения может иметь довольно сложный вид. Просто он выглядит только тогда, когда сигнал есть суперпозиция периодических функций и спектр в силу линейности преобразования представляет собой сумму спектров отдельных периодических функций.

Если квазипериодическая функция есть нелинейная комбинация периодических функций, то ее спектр содержит комбинационные частоты типа ир, + лр, + ...+ п„~„. На рисунке 2.15 показаны два спектра квазипериодических сигналов с двумя частотами ~,и ч,. При этом, на рис.2.15а показан случай, когда отношение частот есть величина иррациональная, а на рис.2.15б это отношение рационально и равно 2/3. Во втором случае все пики в спектре соответствуют гармоникам с частотами, кратными разности частот (~, -~,) . В обоих случаях спектр сигналов остается дискретным.

На рисунке 2.16 показан типичный спектр апериодического сигнала. В отличие от предыдущих спектров он непрерывен (сплошной, или заполненный спектр). На практике вопрос о принадлежности спектра апериодическому или квазипериодическому сигналу не всегда прост, так как квази- периодический сигнал с большим числом частот приближается по своему виду к спектру стохастического сигнала.

Предельный вид стохастического сигнала называют белым шумом. Это сигнал с плоским спектром, корреляционная функция которого есть дельта-функция. 2.5 Странный аттрактор Теперь вернемся к вопросу о том, каким должен быть аттрактор хаотического движения. Мы уже упоминали выше, что первый сценарий перехода к Хаосу был предложен Ландау и представлял собой бесконечную цепочку бифуркаций Хопфа. Такому движению соответствует аттрактор в виде тора г . Но уже система с тремя степенями свободы дает сплошной спектр Фурье, что является признаком хаотического движения. Необходим аттрактор, который объясняет хаотическое поведение системы в фазовом пространстве низкой размерности (для определенности будем иметь в виду трехмерное фазовое пространство, так как известно, что в трехмерных нелинейных системах возможно существование хаотических режимов).

Соответствующий аттрактор был предложен Рюэлем и Таккенсом в 1971г. и назван странным аттрактором. Эти же авторы предложили и сценарий перехода к турбулентности, состоящий в том, что в системе после двух бифуркаций Хопфа (приводящих к появлению в спектре двух независимых частот) происходит третья бифуркация, приводящая к возникновению странного аттрактора (и появлению заполненного спектра). Важнейшим свойством, которым должен обладать аттрактор хаотического движения является чувствительность к заданию начальных условий (ЧЗНУ). Это означает, что близкие траектории должны расходиться (должны быть положительные показатели Ляпунова) или, иными словами, система должна забывать о начальных условиях благодаря наличию малых возмуще ний.

В то же время нужно помнить, что речь идет о диссипативных системах, в которых объем в фазовом пространстве сокращается и объем аттрактора должен быть равен нулю. Потеря памяти о начальных условиях обеспечивается и сокращением объемов, так как независимо от начальных условий фазовая траектория выходит на аттрактор. Чтобы объем множества точек был равен нулю, его размерность ~должна быть меньше размерности пространства.

Следовательно, с~ (3. Из требования ЧЗНУ следует, что траектории в фазовом пространстве должны расходиться, однако, система является детерминированной, а это означает, что в каждой точке должно существовать единственное решение и траектории не должны пересекаться (разве что в конечном числе особых точек). С учетом того, что траектория должна занимать конечную область фазового пространства, на плоскости эти два требования совместить не возможно и мы приходим ко второму ограничению на размерность аттрактора: 65 Таким образом, апериодический (странный) аттрактор должен: а) притягивать фазовые траектории из области притяжения; б) удовлетворять требованию ЧЗНУ вЂ” 3 А, Рис.

2.17. в) иметь дробную размерность (в конкретном случае размерность между двойкой и тройкой). Отложим вопрос о дробной размерности до следующего параграфа и приведем несколько качественных соображений, касающихся возможной структуры аттрактора с такими свойствами. Моделью возможного построения странного аттрактора является так называемая подкова Смейла. Эта модель отражает важное свойство странных аттракторов — они всегда содержат в себе элементы растяжения с последующим складыванием.

Построение подковы Смейла иллюстрирует рисунок 2.17. Имеется прямоугольник, который растягивается в 2 раза вдоль оси х и сжимается в 2и раз вдоль оси у. Коэффициент и >1 и характеризует степень сжатия площади. На втором шаге вытянутый прямоугольник складывается в подкову и возвращается таким образом в исходную область пространства. При этом бб он занимает не всю исходную область, так как появились пробелы, обусловленные сжатием. Третий шаг повторяет первый и так далее. Отметим, что деформацию можно характеризовать числами (показателями) Ляпунова.

Растяжение по оси х характеризуется положительным показателем Х, =1п2, а сжатие по оси у — отрицательным показателем 1,, = — 1в2п . Н Рис. 2.18. Вертикальное сечение полученного объекта в точности воспроизводит так называемое канторово множество, размерность которого будет определена в следующем параграфе. Здесь же отметим только, что в пределе слабой диссипации (Ч -+1) размерность подковы стремится к двум (она занимает почти всю плоскость).

В пределе сильной диссипации (ч -+~) на плоскости остаются редкие линии и размерность множества стремится к единице. Другую попытку представить возможность существования аттрактора с требуемыми свойствами представляет рисунок 2.18. На первом шаге происходит разбегание траекторий (обеспечивающее ЧЗНУ). На втором происходит складывание и на третьем - сворачивание полученной пространственной структуры в «кольцо» таким образом, что сложенная вдвое растянутая сторона смыкается с начальной недеформированной. Вспоминая, что траектории не должны при этом пересекаться, мы приходим к выводу, что должна образоваться многолистная структура.

б7 2.б Фракталы 2.6.1 Понятие фрактала Пусть имеется множество точек, расположенных в некотором пространстве размерностью О. Введем сферу радиуса а(гиперсферу, если 2) >3) и будем подсчитывать среднее число точек )~, попадающих в сферу при различных ее положениях в пространстве. Естественно рассчитывать на то, что зависимость числа точек от радиуса сферы будет иметь степенную форму М(г) = г~ (2.32) и размерность множества есть !и М(г) !и~ (2.33) Если точки множества расположены на линии, то ! =1, если они лежат на плоскости, то ! =2, а если точки занимают все трехмерное пространство, то опять же получается обычная (евклидова) размерность д = 3.

Фракталами называют объекты с нецелой размерностью. Простейшим примером фрактального множества является канторово множество, строящееся по следующему правилу. Единичный отрезок разбивается на три равных части и средняя часть удаляется. На втором шаге каждый из оставшихся двух отрезков снова делится на три части с последующим удалением центральных частей.

Процедура повторяется до бесконечности (рис.2.19). Таким образом, получается такое множество, что любой сколь угодно малый объем области обязательно содержит точки, этому множеству Рис. 2.19. не принадлежащие. Оценим размерность построенного множества по формуле (2.33). Из процедуры построения множества следует, что при каждом увеличении радиуса сферы в три раза, число точек, в нее попадающих, увеличивается вдвое (~ = 3", М = 2" ). Следовательно, б8 д = — = 0,63.

Характеристики

Список файлов лекций