Часть 1 (1161664), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Предельный цикл после бифуркации замыкается только на втором витке, удваивая тем самым период движения системы в фазовом пространстве. Рис. 2.24. 3) о = 2. Теперь в числителе под знаком суммы стоит квадрат ве- роятности попадания точки в ячейку, то есть совместная вероятность одно- временного попадания пары точек. Таким образом, 1п ~~1 р, О, =1пп '=' = 1пп 1 М(1) (2.40) 1п1 1п1 75 При это в сечении Пуанкаре число точек удваивается, а в спектре Фурье появляется новая частота, вдвое меньшая той, что была до бифуркации.

Прекрасной иллюстрацией свойств субгармонического каскада является работа Фейгенбаума «Универсальное поведение квадратичных отображений» (Ге1депЬашп М.У., ТЬе ип1чег5а1 ргорег[1е5 о[' поп11пеаг [гап5[огта11оп5, .1.3[а1.РЬу5., 1979, У.21, Р.бб9.), содержание которой мы в основном и постараемся пересказать. Рассмотрим отображение первого возвращения (2.41) х„,, = 1'(х„) = 4их„(1 — х,) где х~[0,1] и О< [х <1. Отображение ставит в соответствие каждой точке из интервала [О,Ц другую точку из этого же интервала.

р- управляющий параметр. При р <0,25 существует только одна точка, в которой х„„=х,. Это точка х = 0 и она устойчива. Действительно, Г'(х) = 41х(1 — 2х) 1'10) = 4[х. Это означает, что при [х <114 производная в точке пересечения функции Рис. 2.26. Рис. 2.25. 76 7(х) с биссектрисой х,, = х, остается меньше единицы, что обеспечивает устойчивость решения (см. рис.2.25). При 0,25< 1х < 0,75 решение х =0 становится неустойчивым, но появляется другое решение 1 х =1 — —, 4 1х которое устойчиво, так как 0,25 < 1х < 0,75 при ! г"'(х*) 1= 211 — 21х 1< 1. Путь, по которому решение выходит в этом случае на устойчивую точку, по- Рис.

2.27 казан на рис.2.26. В точке и = и, = 0,75 и эта точка становится неустойчивой. Характер возникающего решения иллюстрирует рисунок 2.27, где показано решение для 1х = 0,8. В решении возникают две неподвижные точки. Это так называемый 2-цикл, при котором решение возвращается в данную точку через шаг. Иначе говоря, решение определяется условием: х„., = х„. Запишем х,. „= Ях„,, ) = 1' 1х, ) = я 1х, ), где явный вид функции с есть Рис.

2.28. Рис. 2.29. 77 д(х) =16р (х — х' — 41хх'+8рх' — 4рх'). График этой функции показан на рисунке 2.28, а два выделенных квадрата поясняют тот факт, что в них воспроизводится картинка, представленная на рис.2.2б. В дальнейшем все повторяется. Функция д(х) теряет устойчивость при р = и, = (1+ Гб) /4 = 0,86237... Далее рассматривается функция 6(х) = д (х) = ) (х), представленная на рис.2.29. Квадрат на рисунке снова показывает, что вблизи каждой устойчивой точки воспроизводится ситуация рисунка 2.26. Функция й(х) становится неустойчивой при и = 1х, =0,875, и т.д. Каждый раз имеет месть бифуркация удвоения периода (период цикла удваивается).

Фейгенбаум обнаружил два закона подобия, характеризующих субгармонический каскад. Во первых, он показал, что последовательность 1х, быстро сходится Рис. 2.30. р = 0,892486418..., и существует предел Важно, что величина 8 не зависит от конкретного вида функции 7(х) (любая выпуклая, непрерывная, дифференцируемая функция с одним максимумом) и равна 8 = 4,6692016091... Это первый закон подобия. Второй закон подобия касается положения устойчивых точек. На рисунке 2.30 схематически показана структура решений уравнения (2.41). Рассматриваются точки пересечения с прямой х =0,5 до ближайшей к ней точки на устойчивом 2 -цикле.

Для соответствующих расстояний с1„справедливо соотношение и вторая константа Фейгенбаума а = 2,5029078750.... Отметим, что в результате бесконечной гюследовательности бифуркаций удвоения при а= а. возникает бесконечное множество (аттрактор Фейгенбаума), который имеет размерность Хаусдорфа 77=0,548....

Важно, что при всех р < а. показатель Ляпунова отрицателен, стремясь при и -+ а. к нулю. Следовательно, аттрактор Фейгенбаума не является странным. Хаос возникает при а > а„, где показатель Ляпунова в основном положителен. Поведение в этой области достаточно сложное. Хаотические области чередуются с «окнами периодичности» (светлые зоны на рис.2.31). Рис. 2.31. 79 2.8 Некоторые примеры 2.8.1 Система Лоренца Рассмотрим подробно свойства системы Лоренца, полученной ранее в параграфе 1.5 как пример маломодовой модели конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости.

Имеем систему (1.35) х =~(у-х), у =-хл+ х -у, е. = ХУ вЂ” Ы. (2.42) Напомним, что управляющим параметром является относительное число Рейнольдса е, а число Прандтля и параметр Ь для определенности во всех случаях, когда будут обсуждаться численные результаты, будем полагать о = 10, Ь = 8/3. Уравнения (2.42) имеют тривиальное решение х, = 1; = к, = О, отвечающее отсутствию конвекции.

Проверим это решение на устойчивость. Для этого представим все три переменные в виде Х =Х,+хе ",У=У,+уе "',У=У,+~е ", (2.43) считая х,у,~ - малыми возмущениями. (2.43) подставляем в (2.42) и Рис. 2.32. зо отбрасываем нелинейные по малым возмущениям члены. В результате, после сокращения на экспоненты, получаем линейную алгебраическую систему (Л вЂ” о )х+ау = О, гх+(Л вЂ” 1)у =О, (Л+ Ь)~ = О. Решая задачу на собственные значения, приравниваем нулю определитель системы и получаем ~+1 (а+1)'-4 (1-.) + г г Видно, что при г >1 один из двух корней становится отрицательным, то есть в точном соответствии с результатом Релея (иначе и быть не мажет) при ~ =1возникает конвективное движение. Система (2.42) имеет и нетривиальное решение Х=1 =+,/й -1), (2.44) У переменных Х и У действительная часть появляется при х >1. Таким образом, в точке х =1 имеет место нормальная бифуркация вилки и появляется два устойчивых решения, соответствующих стационарной валиковой конвекции с противоположным направлением вращения конвективных валов.

Повторяя линейный анализ устойчивости для решения (2.44), приходим к кубическому уравнению Рис. 2.33. 81 ).' — (о + Ь ->1)) ' + (~+ о )Ь) — 2Ы(г — 1) = О, в одном из корней которого появляется отрицательная действительная часть при с. (а + Ь+ 3) с — Ь вЂ” 1 При о =1О,Ь=8/3 это выражение дает значение ~=24,74. В этой точке имеет место субкритическая бифуркация Хопфа. Особенность поведения системы Лоренца в том, что устойчивый предельный цикл не возникает в ней вовсе (напомним, что согласно сцерарию РюэляТаккенса, странный аттрактор возникает после двух бифуркаций Хопфа) и странный аттрактор возникает сразу после первой (обратной) бифуркации Хопфа.

Бифурка- -ж ционная диаграмма представлена на рисунке 2.32. Следует отметить, -3) -М . 6 % 26 М Рис. 2.35.. что «чистый» странный аттрактор существует в небольшом интервале числа Релея 24,0б < ~ <30,1. Обратим внимание и на то, что на левомкраю этого интервала существует гистерезис - при понижении числа Релея странный аттрактор существует до г=24,0б, а не до г=24,74. Левее этой границы в интервале чисел Релея г >13,93 существует область так называемого мета~К+1 стабильного хаоса.

В этой области малые возмущения стационарного решения монотонно затухают, но большие возмущения приводят к хаотическим режимам, которые в конечном итоге также затухают, но успевают при этом выписать в фазовом пространстве многочисленные хаотические петли, напоминающие поведение системы на г странном аттракторе. При г>30,1 диаграмма режимов представляет собой чередование областей с хаотическим и периодическим движениями, напоми- .,ЙО 30 40 УО ная поведение отображения Фейгенбаума в области р„< р <1 (рис.2.31). Появлению области с периодическим аттрактором предшествует обратный каскад, а само «окно периодичности» включает субгармонический каскад. Число «окон периодичности», по-видимому, бесконечно и при больших числах Релея их ширина растет.

Последнее окно неограниченно и занимает всю область ~ > 214,364 . В своей знаменитой работе Лоренц численно исследовал поведение системы при ~ = 28. На рисунке 2.33 показан фрагмент поведения во времени переменной х®при этом значении ~, а на рис.2.34 - характерный вид фазовой траектории системы на странном аттракторе. На рис.2.35 - проекции фазовой траектории на плоскости (Х,У). Наблюдение за эволюцией фазовой траектории показывает, что траектория описывает витки вокруг точек, соответствующих ставшим неустойчивыми решениям (2.44), переходя случайным образом от вращения вокруг одного фокуса к вращению вокруг другого. Наблюдая за эволюцией фазовой траек- 7Ч л тории в плоскости (Х,У), Лоренц сделал важный вывод.

'Граектория раскручивается вокруг одного фокуса, увеличивая на каждом витке радиус орбиты. Этот процесс происхо- Рис. 2.37 83 1 М, <— 2 1 М„>— 2 2М„ (2.45) М„, = 2(1 — М„) Если рассматривается последовательность, начинающаяся со значения М„то она будет развиваться по следующей цепочке: 8Мо 2-8М, 4-8Мо 4М, 2 — 4Мо 4 — 4М, -2+4М, (гм, 12 — 2М, 6 — 8Мо 8Мо -2+8М, -4+8М, -6+8Мо М„= „-ог" М,. Здесь т„- четное число, такое, что оно сдвигает величину 2" М, в интервал 10,11. Все возможные последовательности можно разделить на три типа: Последовательности, заканчивающиеся в нуле. Таких последовательностей счетное множество и они начинаются с элемента видаМ, = и/2', где и - нечетное целое число. Тогда М,, = 1/2 и М, = О.

Характеристики

Список файлов лекций