Часть 1 (1161664), страница 13
Текст из файла (страница 13)
дит до тех пор, пока на очередном витке в точке максимума траектория не выйдет за значение У = 38,5. Как только траектория превысит это значение, она уходит в область притяжения другого фокуса и все повторяется вновь. При этом число витков, которое совершит траектория, зависит от величины превышения траектории над этим критическим значением перед перебросом. Лоренц использовал метод точечных отображений, позволяющий перейти от системы с непрерывным временем к системе с дискретным временем - вариант сечения Пуанкаре, называемый отображением первого возвращения. В качестве отображения использовалось значение величины ~ в текущем локальном максимуме, как функция от значения в предыдущем максимуме (рис.2.36).
Левая, восходящая часть функции соответствует процессу раскручивания, а переход за пик — перебросу к другому фокусу. Лоренц предложил простейшую модель наблюдаемого процесса - отображение отрезка [0,1] на себя вида (рис.37) Периодические последовательности. Они возникают, если И, = и/2' ~, гр'1 ~и 2.2 и где ц,ч - простые числа. Тогда и,, „=т+ =т+ . Простешие при- "У меры получающихся периодических последовательностей есть ~г/'з,).....
12/5,4/5,1..... ~2/7,4/7,6/7,).... ~2/9,4/9,8/9,1.... 3) Апериодические последовательности. Эта модель иллюстрирует еще одно важное свойство системы - неустойчивость к малым возмущениям (ЧЗНУ). Действительно, если рассмотреть последовательность с малым возмущением начального элемента и,' = и, + с, то после и итераций и,',=~„+г"~и,+ )=и.+г", что свидетельствует об экспоненциальном росте возмущений. Отметим, что модельное отображение (2.45) при всей своей простоте сохраняет важнейшее свойство, приводящее к ЧЗНУ в диссипативных системах - это растяжение в сочетании со складыванием. Растяжение на каждом шаге приводит к экспоненциальному росту начального смещения (расхождению траекторий), а складывание обеспечивает возвращение в ограниченную область (в данном случае интервал). 2.3.2 Модель динамо Рикитаке Другой пример динамической системы со стохастическим поведением дает так называемая модель двух- дискового динамо Рикитаке, предложенная в связи с задачей об инверсиях геомагнитного поля.
Магнитное поле Земли в первом приближении представляет собой диполь, который по палеомагнитным данным многократ- Рис. 2.38. 85 1 1 1 2' '~ ~2 + ~~2 МГ" 2~1' Са, =а-МУ,, Са, =6-МУ„ 12.4б) где ~ - коэффициент самоиндукции, к- сопротивление каждой цепи, М- коэффициент взаимоиндукции, С - момент инерции диска.
Два последних уравнения (2.46) показывают, что разность угловых скоростей есть величина постоянная Гы СМ где А — константа. Это позволяет перейти к системе трех уравнений. но и нерегулярно менял свою полярность. На сегодняшний день шкала полярности геомагнитного поля восстановлена более чем за 1700 миллионов лет, что составляет порядка половины возраста Земли.
За это время зарегистрировано 593 переброса магнитного поля, причем время между двумя перебросами колеблется в интервале от 10 тысяч до сотен миллионов лет, демонстрируя хаотическое поведение, лишенное каких-либо периодичностей. Согласно принятой на сегодня точке зрения, магнитное поле Земли возбуждается в результате конвективного движения в жидком (электропроводящем) ядре.
Процесс возбуждения магнитного поля в движущейся проводящей среде получил название МГД-динамо. Земное динамо представляет собой сложный нелинейный магнитогидродинамический процесс, исследование которого находится лишь на начальной стадии. Большой интерес представляют поэтому любые упрощенный модели процесса генерации магнитного поля, способные приводить к случайным сменам полярности генерируемого магнитного поля. Самые простые модели оперируют не потоками проводящей жидкости, а движущимися проводниками. Первая попытка построить такого рода модель принадлежит Булларду (Вп11агс1 Е.С., Ргос.СатЬгЫде РЫ!о8. Кос.,1955, ч.51, р.744.), который предложил однодисковое динамо, но такая модель не дает смены полярности генерируемого поля. Рикитаке (КЖ11а1се Т., Ргос.СатпЬпдде РЬ11о8. Кос.,1958, ч.54, р.89.) рассмотрел систему двух дисковых динамо, связанных таким образом, что ток от одного диска питает катушку возбуждения другого и наоборот.
Эта ситуация изображена на рис.2.38. Оба диска вращаются без трения и находятся под действием одинаковых моментов сил 6, компенсирующих омические потери в дисках и обмотках. Уравнения, описывающие эволюцию токов 1„1, и угловых скоростей й,,й, можно записать в виде Система записывается в безразмерном виде. При этом за единицу тока принимают величину ЧЮМ, угловой окороети — ЛС7НМ, а ва виннику времени — величину,~т,т„, .
Единица времени выражена через два характерных масштаба времени, присущих системе. Это время тю, за которое диск под действием приложенного момента сил разгоняется до характерной скорости ЮМ, ся СМ и время электромагнитной диффузии г А характеризующее время вырождения магнитного поля при остановке диска. Их отношение является безразмерным параметром системы т СК' Р= — = т, 6уМ Обозначая безразмерные токи как х„а безразмерные угловые скорости как У, (в уравнениях остается одна переменная У, так как У, — К, = А ), прихо- Рис.
239. 87 дим к системе х, +ух, =)'х,, х, +их, =(г-А)х,, (2.47) г=)-х,х,. Система (2.47) имеет стационарные решения 2.8.3 Реальная конвекция Наибольшее число экспериментальных работ по исследованию перехода от упорядоченных течений к хаотическим выполнено, пожалуй, в исследованиях конвективных течений. Мы приведем некоторые результаты исследований перехода от ламинарного движения к турбулентности при конвекции в кубической полости, взятые из работы: Зимин В.Д., Кетов А.И. Надкритические конвективные движения в кубической полости.
Изв.АН СССР, Механика жидкости и газа, 1974, Х.5, С.110. Рис. 2.40. х, =+к, х, =+к-', г=г, =рк', г, =рк-', где А=фк' — К '). Мы не будем подробно описывать свойства системы Рикитаке, оставляя ее изучение для самостоятельных работ. На рис.2.39 показана только фазовая траектория системы для случая и =1,5; К = 2. Можно видеть, что ее топология близка аттрактору Лоренца. к'с Рис. 2.42. Рис.
2.41. Измерения проводились подогреваемой снизу в кубической полости с ребром 40 мм, образованной медными стенками. Горизонтальные стенки термостатировались, обеспечивая заданную разность температуры, а вертикальные обеспечивали равновесный однородный градиент температуры. Надкритические течения, возникающие в кубической полости и имеющие наиболее низкие уровни устойчивости, схематически показаны на рис.2.40, где стрелками показано направление движения жидкости в верхней части полости, а знаками «плюс» и «минус» обо- -У значены области, в которых температура Ф оказывается выше или ниже средней.
Критические числа Релея для движений типа А и Б равны 8224, для  — 9184 и для Г— 14032. В полости были установлены диф- -Р фере нциальные термопары, расположен- Х ные таким образом, что их показания позволяли выделять движения всех четырех типов. —.г Не останавливаясь на сценариях Ф развития неустойчивости и переходов от одного режима движения к другому, приведем лишь некоторые данные, иллюстри—.г руюшие поведение системы в одночастотном режиме, двухчастотном и стохастическом режимах. Для каждого из трех режимов на рисунках представлены изменения 4Ю~ 4ке ,Ю ~;гц во времени показаний термопар, соответРис. 2.43.
ствующих каждому из выделяемых тече- ний, проекции фазовых траекторий на 89 Рис. 2.45. Рис. 2.44. плоскости, образованные всеми парами термопар и спектры мощности пульсаций температуры, регистрируемой каждой из четырех термопар. Рисунки 2.41-2.43 относятся к одночастотному режиму, регистрируемому при числе Релея Я = 2 10'. Первый рисунок показывает характер колебаний показаний всех четырех термопар, второй — соответствующие этим колебаниям проекции фазовых траекторий, ясно указывающие на сущест- 1~!!!~ вование предельного цикла. Об этом же свидетельствуют и спектры Фурье (рис.2.43) состоящих их одного главного пика на частоте 0,054 Гц и пика на удвоенной частоте, обусловленный негармонической формой колебаний. -1 Следующая группа рисунков представляет результаты для числа Релея К=2,24.!О' .
На рисунке 2.44 пока- -у заны пульсации показаний термопар, Ф на рис.2.45 - соответствующие фазовые -р ! ! траектории (за время соответствующее ! ! периоду низкочастотных колебаний), а на рисунке 2.46 - спектры, свидетельствующие о существовании двухчастотного режима (частоты 0,0451 Гц и 0,304 Гц). ! Движение становится стохастическим при Я = 2,50 10'.
Показания термопар для этого режима представлены на рис.2.47, фазовые траектории— Рис. 2.46 9О на рис.2.48, а спектры мощности - на рис.2.49. Видно, что фазовые траектории имеют чрезвычайно запутанную структуру, а спектры становятся сплошными, сохраняя лишь слабые локальные максимумы, свидетельствующие о сохранении периодических составляющих.
Рис. 2.47. Рис. 2.48. Рис. 2.49. Рекомендуемая литература ко второй главе: 1. Берже П., Помо И., Видаль Л. Порядок в хаосе. Москва: Мир. 1991. Зббс. 2. Шустер Г. Детерминированный хаос. Москва: Мир. 1988. 240с. 3. Странные аттракторы. Сборник статей. Серия «Математика. Но- вое в зарубежной науке», выпуск 22. Москва: Мир. 1981.
254с. 3 ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 3.1 Развитая турбулентность 3.1.1 Вводные замечания В данной главе мы начинаем рассматривать подходы к описанию развитой турбулентности, то есть течений, возникающих при значительном превышении критических значений управляющих параметров (числа Рейнольдса, если речь идет об изотермическом течении в отсутствии дополнительных силовых полей). Такие течения характеризуются наполненными спектрами Фурье, причем не только временными, но и пространственными. Напомним еще раз, что именно в этом и есть основное отличие турбулентности от хаоса в динамических системах невысокого порядка: в турбулентном потоке хаос и пространственный, и временной, а хаотическое поведение маломодовых систем (соответствующих например конвективным течениям при невысокой надкритичности) представляет собой хаотическую во времени эволюцию мод с относительно простой пространственной структурой.
Приступая к рассмотрению развитых турбулентных течений, следует сделать ряд важных замечаний. Первое из них касается уравнений движения жидкости. В первой главе мы получили уравнения Навье-Стокса, как основные уравнения, с помощью которых мы описываем в дальнейшем все течения жидкости. Снова подчеркнем, что мы действительно продолжаем считать, что эти уравнения описывают течения жидкости и в турбулентном режиме, даже при экстремально больших значениях безразмерных параметров (более того, мы будем рассматривать только случай несжимаемой жидкости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
